Multivariate Analysemethoden
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Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen. Trendtests in ANOVA und rm ANOVA. Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz. Univariates Testen ANOVA & rm ANOVA. Trendtests in ANOVA und rm ANOVA. Allgemeines.

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Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen

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Presentation Transcript


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Multivariate Analysemethoden

und

Multivariates Testen

Trendtests in ANOVA und rm ANOVA

Günter Meinhardt

Johannes Gutenberg Universität Mainz


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen ANOVA & rm ANOVA

Trendtests in ANOVA und rm ANOVA

Allgemeines

  • Nach der Overall-Signifikanz die Ergebnisse der Wirkungsweise explorieren.

  • Trends sind definierbar, wenn die Stufen der UVs metrische Levels (Dosen, Zeiten, Anzahlen) repräsentieren, nicht jedoch bei kategorialen UVs.

  • Einfach zu interpretieren sind orthogonale Trendpolynome.

  • Jede Ordnung des Polynoms liefert eine orthogonale Trendkompo- nente, dessen Varianzanteil getrennt bestimmt und getest werden kann.

  • Ermöglicht Prognose des Erreichens von Kriterien.

Voraussetzung

  • Signifikanz des Faktors, unter dem Trends vermutet werden.

  • In rm Designs die üblichen Voraussetzungen der rm ANOVA (paarweise homogene Varianz-Covarianzmatrizen (streng), bzw. Homogene Varianzen der Abweichungen von Zellen (Spherizität), Normalverteilung).


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

quadratisch

linear

Univariates Testen Trendtests

Beispiel

Mittelwerte mit Konfidenzintervallen

20

16

12

Anzahl Fahrfehler

8

4

0

0 pm

0.2 pm

0.4 pm

0.6 pm

0.8 pm

1.0 pm

Alkohohl-Dosis

PrototypischeDatensituation

  • Ein Dosierungsfaktor mit k- Stufen, k > 5 oder Messwiederholungen über mind. 5 Zeitpunkte

  • monoton steigender oder fallender Gesamtverlauf

  • Strategie: 1. Absichern des Trends 2. Mit gezielten Einzelvergleichen Effekt gegen Baseline absichern 3. Superposition der signifikanten Trendkomponenten zur Trendberechnung und Kriteriumsvorhersage verwenden


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Trendpolynom

für einen Dosisfaktor mit k- Stufen beschreibt die Daten perfekt, wenn

alle Komponenten bis k-1 eingehen.

Übliche Polynome

  • Lineares Polynom: Anpassungsgerade

  • Ein quadratisches Polynom beschreibt monotones nichtlineares Wachstum oder Abfallen der Werte

  • Ein kubisches Polynom kann auch Änderungen im Verlauf der Kurve beschreiben


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Orthogonale

Polynome

Wird als Gleichung für die Mittelwerte der j Stufen geschätzt:

mit

usw.

Für Linearkombinationen Ci werden Koeffizienten so gewählt,

Daß die Trendkomponenten stets orthogonal sind:

Bedingungen

mit

(Kontrastbedingung)

(Orthogonalität der Ordnungen)


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Orthogonale

Polynome

Die Koeffizienten cij liegen bis zu hohen Anzahlen für k in Tabellen vor.


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Quadratsummen

Mit diesen Koeffizienten gilt

Die Treatmentquadratsumme zerlegt sich additiv in die Quadratsummen-

Anteile der einzelnen orthogonalen Trendpolynome.

Trend-QS:

Test

Jede Trendkomponente hat einen Freiheitsgrad (df = 1).

Dann gilt der F- Test:

Mit dfzähler = 1 und df Nenner = dferror.

In komplexeren Designs oder rm Designs ist die die jeweilige Testvarianz

des Faktors einzusetzen.


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Komponenten

Man teilt oft ein in lineare Komponenten und Restkomponenten, um

den nichtlinearen Anteil abzuschätzen.

Diese Komponente hat k-2 Freiheitsgrade (df = k-2).

Dann gilt der F- Test:

Nichtlinearer

Trend-Test

Mit dfzähler = k-2 und df Nenner = dferror.

Linearer Trend

Die Polynomkoeffizienten aller Trendkomponenten erhält man wie üblich

über die Methode der Normalgleichungen.

Für die lineare Komponente eines aufsteigend (1,2,3…) ganzzahlig gestuf-ten Dosisfaktor gibt es einfache Beziehungen aus den Quadratsummen:

(Steigung)

(falls Stufen aufsteigend Integer)

(Schnittpunkt)


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Univariates Testen Trendtests

h2

Das Eta Quadrat kann aufgefasst werden als das Quadrat der Korrelation

von den Daten mit der einem Polynom vom Grad k-1

Entsprechend kann man die einzelnen Trendanteile bewerten:

Trendvarianz-Aufklärung

Damit kann man die Zunahme der Varianzaufklärung durch Hinzunahme

einzelner Trendkomponenten bewerten.

Man kann eine Intraklassenkorrelation von Faktorstufen und Treatment

berechnen:

Intra-Class

Correlation

mit

Sie gibt den korrelativen Zusammenhang der Treatmentstufen mit den

Daten an.


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Einzelvergleiche

In der ANOVA prüft man Kontraste gewöhnlich über F- Tests. Wegen

ist ein t- Test einem F- Test äquivalent. Es gilt

Für den Standardfehler eines Vergleichs gilt

F-Test Kontraste

mit den Kontrastbedingungen

(Kontrast über F-Test prüfen)


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen Trendtests

Paarvergleiche

Für multiple Paarvergleiche muss das a- Niveau gegen multiples Testen

adjustiert werden (Bonferroni), um konservativ sicher zu testen.

Strategie

  • Teste Trends im Treatmentfaktor. Signifikanz des linearen Trends sichert bereits die monotone Folge der Stufen ab. Signifikanz des quadratischen Trends sichert den nichtlinearen Anstieg (Abfall).

  • Berechne das kritische Scheffe‘ Intervall. Bei grossen Effekten reicht die kritische Spannweite bereits aus.

  • Sichere den Unterschied der letzten Faktorstufen gegen den der ersten Faktorstufen mit wenigen Einzeltests ab. Damit ist zumeist der gesamte Gehalt der inhaltliche Hypothesen über Lernverlauf oder Sättigung statistisch geprüft.

[Excel-Beispiel]


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Univariates Testen rm ANOVA

Trendtests in rm ANOVA

Allgemeines

  • Trendanalyse ist ein häufig eingesetztes Verfahren in rm ANOVA Designs, da sie die Art der Wirkverlaufes einer Intervention beurteilen lässt.

  • Trends sind in rm Designs grundsätzlich definierbar, da die Stufen der UVs als Zeitpunkte oder Anzahlen der Wiederholung der Gabe eines Treatment grundsätzlich metrische Levels repräsentieren.

  • Trends sind ebenfalls in Mischdesigns mit Grouping-Faktoren und rm Faktoren definierbar. Für die Testung des Trends gilt, dass der Trend immer an der Prüfvarianz des Faktors geprüft wird.

  • Trendanalyse ermöglicht eine Prognose des Zeitpunktes, an dem ein Lern- oder Wirkkriterium voraussichtlich erreicht ist.

Voraussetzung

  • Die Testung der Signifikanzdes rm Faktors, der mögliche Trends enthält, ist in der rm ANOVA an strenge Voraussetzungen gebunden. (Eigenschaften der Varianz-Covarianz Matrix). Bei Verletzungen führt der F- Test zu progressiven Entscheidungen.

  • Verletzungen der Voraussetzungen können mit geeigneten Verfahren (Box, Greenhouse-Geisser) korrigiert werden.


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Voraussetzungen rm ANOVA

Sind für insgesamt k Messzeitpunkte die Korrelationen zwischen allen Messzeitpunkten gleich und ebenfalls die Varianzen, so erhält man als Varianz-Covarianz-Matrix

Verbundene

Symmetrie

(verbund-symmetrische Matrix). Diese strenge Forderung an dieStruktur der Daten für die rm-ANOVA ist aber nicht nötig.

Statt dessen muss für die Gültigkeit der F-Statistik folgende Bedingung

erfüllt sein:

Homogenitäts-

Voraussetzung

der rm ANOVA

Die Varianz der Differenz der Messwerte zweier beliebiger Messzeit-punkte j und j‘ muss dieselbe Konstante ergeben. Verletzungen dieser Voraussetzung führen zu progressiven Verfälschungen des F-Tests.


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Voraussetzungen rm ANOVA

Anders geschrieben:

Matrix-Bedingung:

Zirkularität

Varianz-Covarianz Matrizen S, die diese Bedingung erfüllen, heissen

zirkulär.

Beispiel

Man verifiziert ebenso, dass eine verbunden symmetrische Matrix

ebenfalls die Eigenschaft der Zirkularität besitzt.

[Excel-Beispiel]


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Voraussetzungen rm ANOVA

Sei A eine Matrix mit gleichen Zeilenelementen, so gilt

Generische

Regel

ist zirkulär.

Beispiel

(k=3, l=5)

Die Eigenschaft der Zirkularität der Varianz-Covarianz Matrix

ist über statistische Tests prüfbar. Dazu bedient man sich einer aus

der Zirkularität abgeleiteten Eigenschaft von S, der Spherizität.

Test über

Spherizität

Sei M eine (k-1) x k Matrix mit orthogonalen Zeilen.

Die (k-1) x (k-1) Matrix

ist sphärisch, gdw SX zirkulär ist.

[Excel-Beispiel]


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Voraussetzungen rm ANOVA

Man verwende als Matrix M eine Matrix der c-Koeffizienten, die einen vollständigen Satz orthogonaler Einzelvergleiche definiert. Die Vektoren normiere man zeilenweise (orthonormale Matrix M)

Sphärische

Matrix SY

Beispiel

(k=3)

Diagonalmatrix

SY

Da A gleiche Zeilenelemente hat, und die Summe der Zeilenelemente

von M Null ergibt, folgt

Damit:

Folgerung

Wenn SX zirkulär ist, ist SY sphärisch (diagonal)


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Voraussetzungen rm ANOVA

Abweichung von Spherizität

Man definiert ein Abweichungsmaß e für die Abweichung von der

Spherizität:

li die Eigenwerte von SY .

Damit kann man den Range der möglichen Abweichungen bewerten

(Beispiel: k=4):

Range der möglichen Abweichung

(perfekt)

(max. Abweichung)

Der Range der möglichen Abweichungen ist [(k-1)-1…1]


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

c2

-Test

Voraussetzungen rm ANOVA

Mauchley-Test

Man teste die Nullhypothese

über die Stichprobenmatrizen SX und SY .

Test-Statistik:

Mauchley’s W

mit

(tr die Spur der Matrix)

W ist austabelliert (e.g. Winer, Anhang D).

EntscheidungsRegel

Lehne die Nullhypothese (Spherizitätshypothese) ab, wenn

sonst behalte Spherizitätshypothese bei.

a sollte nicht konservativ gewählt werden (e.g. a = 0.25)

Aus W berechnet man die c2 verteilte Prüfstatistik

(nur approx.)

mit


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Voraussetzungen rm ANOVA

Mauchley-Test

W-Tabelle


Multivariate analysemethoden und multivariates testen

Mit der Box Formel lässt sich nach Verwendung von ein optimales

Ergebnis erreichen.

Voraussetzungen rm ANOVA

Freiheitsgrad-korrektur

Unabhängig vom Ergebnis des Mauchley-Tests kann der F-Test durch eine Adjustage der Freiheitsgrade konservativer gemacht werden.

Box-Correction

Nach Box ist die F- Statistik in rm Designs verteilt wie

(#)

Greenhouse-Geisser

Correction

Da die untere Grenze für e (maximale Verletzung) 1/(k-1) ist, folgt

als konservativster F- Test, der jede Spherizitätsverletzung auffängt.

Die Gültigkeit von (#) ist gut untersucht. Huynh und Feldt schlagen

vor, korrigierte e in (#) zu verwenden:

Huynh-Feldt-Correction

aber kombiniert mit der Regel:

(den Abweichungswert auf 1 setzen, falls größer wird)


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