Automatyka i robotyka wyk ad 2
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 36

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 2) PowerPoint PPT Presentation


  • 92 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 2). Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydzia łu: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesó w AGH. Przekształcenie Laplace’a.

Download Presentation

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 2)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Automatyka i robotyka wyk ad 2

AUTOMATYKAiROBOTYKA(wykład 2)

Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz

Nazwa wydziału:WIMiRNazwa katedry:Katedra Automatyzacji Procesów AGH


Przekszta cenie laplace a

Przekształcenie Laplace’a

  • Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a „s”.

  • Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje się konieczne przekształcenia

  • Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.


Definicja transformaty laplace a

Definicja transformaty Laplace’a

Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek:

dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki:

£

Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem

s =σ + jω .


Podstawowe twierdzenia

Podstawowe twierdzenia

1.Liniowość:

£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe

2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej:

£


Podstawowe twierdzenia cd

Podstawowe twierdzenia cd.

3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej:

£

  • pierwsza pochodna:

    £

  • druga pochodna:

    £


Podstawowe twierdzenia cd1

Podstawowe twierdzenia cd.

4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£

5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£


Podstawowe twierdzenia cd2

Podstawowe twierdzenia cd.

6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej

£ T jest stałą

7. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£ T jest stałą


Podstawowe twierdzenia cd3

Podstawowe twierdzenia cd.

8. Zmiana skali:

£ ,a jest stałą dodatnią

9. Splot funkcji (twierdzenie Borela):

£{f1(t) * f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £


Przyk ad wyznaczania transformaty z definicji

Przykład wyznaczania transformaty z definicji

Dana jest funkcja liniowo narastająca:

Wtedy z definicji można zapisać:

Przy wyznaczaniu całki zastosowana została metoda całkowania przez części:

gdzie u=At oraz dv=e-stdt


Transformaty laplace a najcz ciej spotykanych funkcji

Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji


Zastosowanie transformaty laplace a do rozwi zywania liniowych r wna r niczkowych zwyczajnych

ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY LAPLACE'A DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

Etapy:

1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę s przez transformatę Laplace'a przy użyciu tablicy transformat.

2. Przekształcanie transformowanego równania algebraicznego i jego rozwiązywanie.

3. Rozkładu transformowanego równania algebraicznego na ułamki proste.

4. Wyznaczenie odwrotnej transformaty Laplace'a z tablicy transformat.


Przyk ad 1 transformacji r wnania r niczkowego w dziedzin s

Przykład 1 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.

Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci

równań różniczkowych:

Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:


Przyk ad 2 transformacji r wnania r niczkowego w dziedzin s

Przykład 2 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.

Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci

równania różniczkowego:

Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:


Rozk ad na u amki proste

ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

Dana jest funkcja:

gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy założeniu, że rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być zapisany następująco:

gdzie a0 , a1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.


Bieguny funkcji g s s jednokrotne

Bieguny funkcji G(s) są jednokrotne

gdzie s1 ≠ s2 ≠…≠ sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący:

Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki (i = 1, 2, ..., n). Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.


Przyk ad

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Zapisujemy podaną funkcję w następującej postaci:

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:

Przekształcając:

Porównując współczynniki równania:

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy:


Przyk ad cd

Przykład cd.

Po podstawieniu otrzymujemy:


Funkcja g s ma bieguny jednokrotne

Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne

Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy niż stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika

C-liczba całkowita


Funkcja g s ma bieguny jednokrotne metoda residu w

Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów

Tzw. metodą residuów, polega na obustronnym pomnożeniu wyrażenia G(s) przez (s-si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie współczynnika Ki. Odbywa się następująco:


Przyk ad1

Przykład

Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuów) funkcję operatorową:

Rozwiązanie:


Funkcja g s ma bieguny wielokrotne

Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne

Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej G(s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas można zapisać:

W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) może być wyrażona w sposób:

współczynniki A1 , A2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą zostać wyznaczone metodą (klasyczną) podaną dla poprzedniego przypadku.


Przyk ad2

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Rozwiązanie:

Funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na ułamki proste odbywa się według zależności:

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano :

Po uporządkowaniu:


Przyk ad cd1

Przykład cd.

Porównując współczynniki równania otrzymujemy:

Rozwiązanie układu:

Po rozłożeniu na ułamki proste funkcja G(s) zapisujemy w postaci::


Funkcja g s ma bieguny wielokrotne metoda residu w

Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne-metoda residuów

  • Współczynniki wyznaczane są w następujący sposób:

……………………………………………….


Przyk ad3

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Rozwiązanie:


Funkcja g s ma bieguny zespolone

Funkcja G(s) ma bieguny zespolone

W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci:

gdzie: b, c – stałeoraz

Rozkładając tego typu funkcję na ułamki proste, funkcję G(s) zapisujemy:


Przyk ad4

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Otrzymujemy rozwiązanie:


Przyk ad cd2

Przykład cd.

Po rozłożeniu na ułamki proste podana transmitancja przyjmuje postać:

albo:


Wyznaczanie odwrotnej transformaty laplace a

Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a

Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru:

£-1

gdzie c jest stałą .

Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.


Przyk ad 1

Przykład 1

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):

Odczytując wprost z tablicy transformat:

i z własności transformat ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£


Przyk ad 1 cd

Przykład 1 cd.

Transformata odwrotna (czyli oryginał ) funkcji

ma następującą postać:


Przyk ad 2

Przykład 2

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):

Po rozłożeniu na ułamki proste:


Przyk ad 2 cd

Przykład 2 cd.

Składnik należy obliczyć następująco:

Korzystamy z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£

Otrzymujemy:

Wyznaczony oryginał:


Przyk ad 3

Przykład 3

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):

Oryginał pierwszego składnika:

Drugi składnik należy przekształcić w następujący sposób:

Korzystając z własności „Liniowość” £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s)

Otrzymano:


Przyk ad 3 cd

Przykład 3 cd.

Korzystając z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£

Otrzymujemy:

Odwrotna transformata:


Przyk ad 4

Przykład 4

Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniższym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a.

Rozwiązanie:

Podaną funkcję zapisujemy:

Albo f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a

F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)}

Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy:


  • Login