Klassische mechanik
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Klassische Mechanik. Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen ( Koordinaten und Impulsen ) beschrieben. Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird.

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Klassische Mechanik

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Klassische mechanik

Klassische Mechanik

  • Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben

  • Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird

  • Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und dieKräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität)

Gleichungen

Die Kräfte sind bekannt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Newtonsche gleichung

Newtonsche Gleichung

  • Newtonsche Gleichung

Differentialgleichung zweiter Ordnung, r(t) Unbekannte Funktion

Kraft

Beschleunigung

U=mgx

  • Potentielle Kraft

F=mg

Potential

v

x

  • Konservative Kraft – Potentielle Energie ist Zeitunabhängig

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Kinetische energie

Kinetische Energie

  • Kinetische Energie

U(0)

x(0)=0

f

U(dx)

x(dt)=dx

Wegen der Newtonschen Gleichung

Mechanische Arbeit der Kraft f auf dem Weg dx = Zuwachs der kinetischen Energie

Summe der kinetischen und potentiellen Energie ist konstant

Mechanische Arbeit = - Änderung der potentiellen Energie

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Lagrange funktion

Lagrange - Funktion

Lagrange Funktion (nichtrelativistische klassische Mechanik)

Potentielle Energie

Kinetische Energie

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Generalisierte koordinaten

Generalisierte Koordinaten

x

φ

y

n <= 3

Zwei gleiche Indizes fett geschrieben - Summe

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Wirkungsintegral und hamiltonsches prinzip

Wirkungsintegral und Hamiltonsches Prinzip

x(0)=0

f

Beliebige Zeitfunktion

Der eigentliche Weg

x(t0) = x0

Wirkungsintegral

x0

t0

Der Wirkungsintegral hat einen Extremwert wenn q dem eigentlichen Weg gleich ist

Jede kleine Variation des q(t) ergibt in erster Ordnung δw = 0.

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Lagrange gleichungen

Lagrange Gleichungen

Wir variieren die q(t)

δq(t0) = δq(0) = 0

q0

t0

Lagrange Gleichungen

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Lagrange gleichungen beispiel

Lagrange Gleichungen (Beispiel)

φ

Lagrange Gleichungen

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Hamiltonsche gleichungen

Hamiltonsche Gleichungen

Lagrange-Gleichung - differentialgleichung zweiter Ordnung

Wir versuchen aus LG zwei Gleichungen erster Ordnung herzuleiten…

Kanonischer Impuls wird definiert

Es ist möglich die Lagrange Funktion als Funktion von Impulsen und Koordinaten darzustellen

Hat die Form

Es fehlt noch…

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Hamiltonsche gleichungen 2

Hamiltonsche Gleichungen (2)

Definition – Kanonischer Impuls

Wir leiten die zweite Gleichung her…

Erste Gleichung

Variieren wir Lagrange-Funktion

Wir definieren die Hamiltonsche Funktion

Hamiltonsche Gleichungen

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Physikalische bedeutung der hamiltonschen funktion

Physikalische Bedeutung der Hamiltonschen Funktion

und

ergibt

Definition des Impulses

Definition der Hamiltonschen Funktion

Zweifache kinetische Energie

Hamiltonsche Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar

Für die Kartesische Koordinaten gilt:

und

Kanonische Impulse sind den gewöhnlichen Impulsen gleich

Daraus folgt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Poisson klammer

Poisson-Klammer

Zwei Funktionen der Kanonischen Impulse und Koordinaten

Eine nicht explizit Zeitabhängige Funktion F dynamischer Variablen p und q ändert Ihren Wert nicht wenn [F, H] = 0

F ist dann eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße)

Gesamtenergie bleibt erhalten

Impulskomponente bleibt erhalten wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Lineare vektoralgebra

Lineare Vektoralgebra

Vektoren

Vektorraum

Folgendes wird definiert:

Addition

Addition ist kommutativ

Multiplikation mit einer komplexen Zahl

Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Linearunabhängige Vektoren (Definition)

Ein Vektorraum mit nicht mehr als M linearunabhängigen Vektoren ist M-dimensional

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Vektoralgebra skalarprodukt

Vektoralgebra (Skalarprodukt)

Skalarprodukt (Innenprodukt) ist eine komplexe Zahl. Es gilt:

λ = Norm

Norm = 1, normierter Vektor

orthogonale Vektoren

Ein Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt definieren wir hier als Hilbert-Raum

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Darstellung des vektors in einer basis

Darstellung des Vektors in einer Basis

M Linearunabhängige Vektoren eines M-dimensionalen Raums bilden eine Basis

Jeder Vektor dieses Raums kann als lineare Kombination der Basisvektoren dargestellt werden

Eine orthonormale Basis

Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden

Für einen normierten Vektor φ gilt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Operator

Operator

Operator

Vektor

Operator (Abbildung)

Linearer Operator

Zwei Operatoren sind nicht immer miteinander vertauschbar

Kommutator

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Hermitesche operatoren und eigenwert

Hermitesche Operatoren und Eigenwert

ist adjungiert von

ist selbstadjungiert (ähnlich wie hermitesch)

Eigenwert Problem

Eigenwert

Eigenfunktion

Die Menge aller Eigenwerte eines Operators bildet sein Spektrum

Wenn mehrere Eigenvektoren demselben Eigenwert entsprechen, dann ist dieser Eigenwert entartet

Das Spektrum kann diskret oder kontinuierlich sein

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Eigenschaften hermitescher operatoren

Eigenschaften Hermitescher Operatoren

Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell

Beweis:

Konjugation

Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal

Beweis:

Konjugation

am ist reell

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Kommutierende operatoren

Kommutierende Operatoren

Einen Operator nennt man Observable wenn seine Eigenvektoren eine orthonormale Basis darstellen.

Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben siewenigstens eine Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bilden

Wenn zwei oder mehr Operatoren kommutieren und es gibt keinen weiteren Operator der mit ihnen kommutiert, bilden sie einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren. Diese Operatoren haben eine eindeutige Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bildet.

Die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Darstellung in einer basis und operator

Regel der Abbildung „A“

Mit 1 multiplizieren

Mit 2 multiplizieren

Mit 3 multiplizieren…

Darstellung in einer Basis und Operator

Jede beliebige Form kann auf die Grundformen zerlegt werden

Basisvektoren

Grundformen

= 5X

+ 4X

+ 1X

A

= 5X

+ 8X

+ 3X

Der Operator A erkennt die Grundformen und ändert ihren Anteil

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Eigenwert

Regel der Abbildung „A“

Mit 1 multiplizieren

Mit 2 multiplizieren

Mit 3 multiplizieren…

Eigenwert

So werden die Basisvektoren abgebildet:

Basisvektoren

(Grundformen)

Eigenwert

Eigenvektor

A

1

A

3

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Kommutierende operatoren1

Kommutierende Operatoren

Zur Darstellung von Formen in Farbe brauchen wir mehr Basisvektoren:

A

Entartung des Eigenwerts „1-Viereck“

Die Angabe die Formen reicht nicht aus um einen Basisvektor zu definieren

1

A

1

A

1

Wir führen einen anderen Operator ein, der die Farben erkennt

Der neue Operator B kommutiert mit dem Operator A und hat identische Eigenvektoren

B

Mit zwei Eigenwerten ist ein Basisvektor eindeutig definiert (1-Viereck, Blau)

Blau

B

Die zwei Operatoren bilden einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

Rot

B

Gelb

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Postulate der quantenmechanik

Postulate der Quantenmechanik

Zustand eines Teilchens (Systems) wird durch einen normierten Vektor aus dem Hilbert Raum aller Zustände beschrieben

Wenn zwei Vektoren sichnur durch die Konstante eiφ (Phase) unterscheiden, stellen sie den gleichen Zustand dar.

Falls ein System sich in den Zuständen f1 und f2 befinden kann, ist c1f1 + c2f2auch ein möglicher Zustand dieses Systems

Dirac Notation

BracKet

Ein Vektor

Zustandsvektor

Jedem Ket Vektor

entspricht ein Bra Vektor

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Dirac notation

Dirac-Notation

Dirac Notation

Für hermitesche Operatoren gilt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Darstellung in basis

Darstellung in Basis

Darstellung des Vektors in einer Basis

Mathematische Notation

Dasselbe in Dirac Notation

Zerlegung mit Basisvektoren

Basisvektoren sind orthonormal

Dann gilt…

Einheitsoperator

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Darstellung in basis1

Darstellung in Basis

Einheitsoperatoren

Matrix Form

Bra Vektor wird durch eine Spaltenmatrix dargestellt

Ket Vektor wird durch eine Zeilenmatrix dargestellt

Operator wird durch eine quadratische Matrix dargestellt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Messgr en und observablen

Messgrößen und Observablen

Jeder Messgröße (dynamischer Variable) ist ein Operator (Observable) zugeordnet.

Zu klassischen Koordinaten und Impulsen sind Operatoren zugeordnet

Klassische dynamische Variablen lassen sich als Funktionen von p und x darstellen

Pissson Klammer

Kommutator

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Messergebnisse und eigenwerte

Messergebnisse und Eigenwerte

Das Ergebnis der Messung einer dynamischen Variable ist ein Eigenwert der zugeordneten Observable.

Wenn die Observable diskretes Spektrum hat, geben die Messungen entsprechender Größe diskrete Werte.

Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert ai zu messen

Die Eigenvektoren einer Observable bilden eine Basis. Deswegen kann man schreiben:

Für einen Vektor mit Norm = 1 gilt:

Und es gilt:

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Reduzierung des wellenpakets

Reduzierung des Wellenpakets

Annahme: Ein System befindet sich in dem Zustand:

Die Messung der Variable A gibt dann ganz sicher das Ergebnis ai

Annahme:Das System befindet sich in dem Zustand

Die Messung der Variable A gibt Ergebnis ai. Die Messung überführt das System in den neuen Zustand:

Projektor

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Reduzierung des wellenpakets1

Reduzierung des Wellenpakets

Messergebnis

Wahrscheinlichkeit dass eine Messung auf φ die FormX gibt

Anfangszustand

Durch die Messung wird der Zustand des Systems in einen Eigenzustand der Observable übeführt

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Kommutierende observablen

Kommutierende Observablen

Zu den dynamischen Variablen A und B sind zwei Observablen zugeordnet

Wenn die Observablen kommutieren, gibt es wenigstens eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren

Dann gibt es einen Zustand

Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Basisvektoren im Fall von Entartung. Entartung ist ein Zeichen dafür dass es noch andere Operatoren gibt, die mit A und B kommutieren. A und B stellen keinen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

in welchem die Messung der Variable A immer das Ergebnis am und die Messung der Variable B immer das Ergebnis bn gibt.

- Die Ergebnisse hängen von Reihenfolge der Messungen nicht ab

- Die Observablen A und B sind kompatibel.

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Kommutierende observablen1

Kommutierende Observablen

Das Messergebnis ist im voraus bestimmt

Das System befindet sich in dem gemeinsamen Eigenzustand zweier kommutierenden Operatoren

Die Messungen geben immer die gleichen Ergebnisse, „rot“ und „FormX“

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Nichtkommutierende observablen

Nichtkommutierende Observablen

Die zwei Operatoren (Form- und Farbenerkennung) kommutieren hier nicht. Sie haben keine gemeinsamen Eigenzustände.

Jede Messung überführt das System in den Eigenzustand der (zu der Messgröße zugeordneten) Observable.

Die Messergebisse können nicht präzise vorausgesagt werden.

Wenn die Observablen nich kommutieren, haben siekeine gemeinsamen Eignvektoren.

Die Variablen können nicht durch wiederholte Messungen genau bestimmt werden

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Schr dinger gleichung

Schrödinger Gleichung

Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben

Partielle Differentialgleichung

Hamiltonoperator ist eine Observable. Sie ist der Gesamtenergie des Systems zugeordnet.

t

Kennen den Zustand eines Systems in t = t0, dann können wir die Zeitenwicklung des Systems berechnen.

QM Determinismus. Zeitenwicklung ist bestimmt wenn wir das System alleine lassen, d.h. keine Messungen auf dem System durchführen.

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Wellenfunktion

Wellenfunktion

Koordinate ist eine Observable. Deren Eigenvektoren bilden eine Basis.

I (Einheitsoperator)

Für diskrete Eigenwerte gilt:

1) W(ai) – Wahrscheinlichkeit dass eine Messung einen bestimmten Wert ai gibt

2) I – Einheitsoperator

3) Vektoren sind Orthonormal (Die Norm=1)

Spektrum ist kontinuierlich

Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der Umgebung von x befindet

Die entsprechende Formel im Fall des kontinuierlichen Spektrums

W(x0) -Wahrscheinlichkeit dass sich Teilchen im Bereich (x0, x0 + dx) befindet.

Die Norm ist mit Dirac‘scher Delta Funktion definiert

Wir definieren die Wellenfunktion

Wellenfunktion ist Ket Vektor in Koordinatendarstellung

Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der dx Umgebung von x befindet

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Koordinatenoperator

Koordinatenoperator

Finden wir den Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung

Matrixelement des Operators x in Koordinatendarstellung

Es gilt auch:

Eigenwert-Gleichung

Und:

Definition der Wellenfunktion

Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Wellenfunktion und die wahrscheinlichkeit

Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit

Rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus dass sich das Teilchen irgendwo in gesamtem Raum befindet

Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit wenn man Schrödinger Gleichung anwendet?

Schrödinger Gleichung und die Wahrscheinlichkeit

Die Norm des Vektors ändert sich nicht. Wahrscheinlichkeit für Gesamtraum bleibt 1.

Beweis

Schrödinger Gleichung für Ket Vektor

Schrödinger Gleichung für Bra Vektor

H ist hermitesch

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Wichtige operatoren in koordinatendarstellung

Wichtige Operatoren in Koordinatendarstellung

Es gilt

Koordinatendarstellung

Koordinatenoperator

Impulsoperator

Klassisch

Hamiltonfunktion/Operator

Quantenmechanisch

Quantenmechanisch

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Schr dinger gleichung in koordinatendarstellung

Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung

Multiplizieren wir die beiden Seite der Gleichung mit dem unitären Operator (Die rechte Seite zweimal…).

Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung

Koordinaten und Zeit sind hier unabhängige Variablen. Es gilt nicht x=x(t) wie in klassischer Mechanik

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


L sung der schr dinger gleichung

Lösung der Schrödinger Gleichung

Finden wir die Lösung für den Fall:

Potentialenergie hängt nicht explizitvon der Zeit ab

Wir können die Raumkoordinaten und Zeit trennen

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


L sung der schr dinger gleichung1

Lösung der Schrödinger Gleichung

Die linke Seite hat nur Zeit als Variable, die rechte nur Koordinaten. Zeit und Raumkoordinaten sind in QM unabhängig. Beide Seiten sind daher Konstanten (En), sonst wären sie nicht immer und überall gleich.

Die Zeitabhängige Gleichung hat die einfache Lösung

Die koordinatenhängige Gleichung ist das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators.

Die Konstante Enist daher die Gesamtenergie des Systems.

Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Funktionen im Fall von Entartung. Entartung ist vorhanden wenn es andere Operatoren gibt die mit dem Hamiltonoperator kommutieren

Die Gesamtlösung hat die Form

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Zeitentwicklung eines systems

Zeitentwicklung eines Systems

(1)

Lösung der Schrödinger Gleichung

Finden wir die Zeitentwicklung eines Systems im Zustand beschrieben mit der Wellenfunktion φ(x) in t=0

sind die Eigenfunktionen der Hamiltonoperators in Koordinatendarstellung. Diese Funktionen bilden eine Basis. Deswegen gilt:

(2)

In Dirac Notation:

Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden

Durch Vergleich (2) mit (1) bekommen wir:

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Station re zust nde

Stationäre Zustände

Messung der Koordinate

1. Energiemessung

E=E0

2. Energiemessung

E=E0

Zeitenwicklung

Betrag der Wellenfunktion

Keine Zeitenwicklung

Ab der 1. Energiemessung befindet sich das System im Eigenzustand des Operators H. In dem Zustand ändert sich nur die Phase das Zustandsvektors. Das hat als Folgen: 1) alle physikalischen Eigenschaften des Systems bleiben konstant. 2) jede nachfolgende Energiemessung gibt immer dasselbe Ergebnis – den gleichen Eigenwert. Aus den Gründen nennt man die Eigenzustände des Hamiltonoperatorsstationäre Zustände

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Ein test f r stabilit t nyquist

Ein Test für Stabilität (Nyquist)

Verstärkung mit RK

Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil

Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Die komplexe analyse

Die komplexe Analyse

Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert

Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z

Im

z

a

Ableitung wird definiert

Re

Einige Wichtige analytische Funktionen

Cauchy‘sche Integralformel

Definition, Nullstelle n-ter Ordnung

Definition, Polstelle p-ter Ordnung

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Nullstellen und polstellen

Nullstellen und Polstellen

Einige Definitionen

Cauchy

Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ

z2

z3

f(z2)

Nullstelle

z1

f(z1)

f(z3)

Polstelle

Es folgt:

Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z

Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Nullstellen und polstellen1

Nullstellen und Polstellen

z3

z2

1+T(z2)

z1

1+T(z1)

1+T(z3)

Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Nullstellen und polstellen2

Nullstellen und Polstellen

z2

z2

T(z2)

T(z1)

1+T(z2)

z1

z1

1+T(z1)

-1

1+T(z)

T(z)

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


Nyquist scher test

Nyquist‘scher Test

z2

z2

T(z2)

T(z1)

T(z1)

T(z2)

-1

z1

z1

-1

Kreis um 0 mit R=1

Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein

Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs


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