Doskonalenie rachunku pamięciowego u uczniów

1. Doskonalenie rachunku pamięciowego u uczniów

2. SPIS TREŚCI Cechy podzielności liczb całkowitych Mnożenie na palcach Algorytm egipski Algorytm Euklidesa Krzyżowy sposób mnożenia liczb Ciekawe tabelki liczbowe

3. CECHY PODZIELNOŚCI LICZB CAŁKOWITYCH

6. MNOŻENIE NA PALCACH Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5. Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25. • Na lewej dłoni wyprostowane są dwa palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. • 7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń lewa) • 8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń prawa) • Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn palców zgiętych, tzn.: (2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56 7 × 8

7. Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a cztery pozostałe są zgięte. • Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. • 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa) • 8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa). • Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: (1 + 3)×10 + 4×2 = 40 + 8 = 48 6 × 8

8. Na lewej dłoni nie jest wyprostowany żaden palec, a pięć jest zgiętych. • Na prawej dłoni jeden palec jest wyprostowany, a cztery są zgięte. • 6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa) • 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa). • Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: 5×6 = (0+1)×10 + 5×4 = 10 + 20 = 30 5 × 6

9. ALGORYTM EGIPSKI • Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie wiedzieli). • Algorytm mnożenia przez podwajanie stosowany przez Egipcjan. • Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319. • Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika, czyli 319. • W każdym nowym wierszu i w każdej kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu poprzednim, aż w pierwszej kolumnie uzyskamy 64.

10. Taki algorytm jest jednak niepełny - umożliwia tylko mnożenie przez potęgi dwójki. Można go jednak udoskonalić. • Pomnóżmy 87 przez 93. • Tworzymy dwie kolumny podwajanych liczb. • Nie rozwijamy kolumn dalej, bo podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87 czyli pierwszy czynnik. • Teraz dobieramy liczby z pierwszej kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy czynnik (oznaczamy je gwiazdkami). • Wynikiem mnożenia będzie suma liczb z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów: 93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091

11. ALGORYTM EUKLIDESA Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. I sposób Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc. Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8: NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4

12. II sposób (szybki algorytm Euklidesa) Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę. Przebieg algorytmu obliczania NWD liczb a i b (a > b): Oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b. Zastąp a przez b, zaś b przez c. Jeżeli b = 0, to szukane NWD = a, w przeciwnym wypadku przejdź do 1.

13. KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA Przykład 1. 2113 = 2 73 3 2 7

14. Przykład 2. 123321 3 3 8 8 + 14

15. Kierunek zapisu liczby Kierunek zapisu liczby Kierunek odczytania wyniku Przykład 3. 247 × 479

16. CIEKAWE TABELKI LICZBOWE Mnożenie przez 9. W kolejnych wierszach po lewej stronie znaku równości cyfra bliższa zwiększa się o jeden, zaś po prawej stronie cyfra bliższa znakowi równości rośnie o jeden, a cyfra dalsza maleje o jeden.

17. Kwadrat liczb złożonych z „1”. Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej wydłużają się i za każdym razem pojawia się kolejna cyfra w środku.

18. Iloczyny liczb złożonych z samych „1”. Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy 111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna jedynka, a w drugim dwie. 11 · 111 = 1221111 · 11111 = 12333211111 · 1111111 = 123444432111111 · 111111111 = 1234555554321111111 · 11111111111 = 12345666666543211111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321