Variable aleatòria continua

1. Variable aleatòria continua Curs 2013-14

2. Variable aleatòria continua Variable aleatòria normal Curs 2013-14

3. Variable aleatoria normal • P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) • P(Z>-a) = P(Z<a) • P(Z<a) = 1 - P(Z>a) • P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) Curs 2013-14

4. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(X>a) a b Curs 2013-14

5. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(X>b) a b Curs 2013-14

6. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(a < X < b) = P (X>a) – P (X>b) a b Curs 2013-14

7. Z ~ N(0,1) Com calcular P(Z>-a) P(Z>-a) -a Curs 2013-14

8. Z ~ N(0,1) P(Z<-a) = P(Z>a) P(Z<-a) P(Z>a) -a a Curs 2013-14

9. Z ~ N(0,1) P(Z>-a) -a Curs 2013-14

10. Z ~ N(0,1) P(Z>-a) = 1 – P(Z<-a) P(Z<-a) 1 – P(Z<-a) -a Curs 2013-14

11. Z ~ N(0,1) Com: P(Z<-a) = P(Z>a) I: P(Z>-a) = 1 - P(Z<-a) Llavors: P(Z>-a) = 1 - P(Z<-a) = 1- P(Z>a) Curs 2013-14

12. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(a < X < b) a b Curs 2013-14

13. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) X~N(5,2) Z~N(0,1) P(X>a) P(Z > (a-5) / 2 ) a - 5 2 a Curs 2013-14

14. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = Curs 2013-14

15. Curs 2013-14

16. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = 1 – 2·0.1587 = 0’6826 Curs 2013-14

17. Variables aleatòries continues teòriques • Variable normal • Variable normal estàndard o tipificada • Variable t de Student-Fisher • Variable de χ2 • F de Snedecor Curs 2013-14

18. Z~N(0,1) X = Z1+ Z2 + ....+ Zk X ~ χ2(k) Chi quadrat Curs 2013-14

19. T de student • Z~N(0,1) • V ~ χ2(v) • X= • Quan augmenten els graus de llibertat, més s’acosta a N(0,1). • Es simètrica al voltant de zero. • Es consideren valors anòmals els que se allunyen de zero (positius o negatius) Curs 2013-14

20. Teorema central del límit • Siguin X1, X2, X3, ..., Xn n variables aleatories identicament distribuides E(Xi) = µ V(Xi) = σ2 (n gran) • ΣXi = X1+X2+X3+...+Xn ~ N(nµ,nσ2) Curs 2013-14

21. Teorema central del límit • Com conseqüència: • X ~ B(n,p) X ~ N(np,np(1-p)) • X ~ Poisson(λ) X ~ N(λ,λ) (n gran) (n gran) Curs 2013-14