WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu

1. Biomechanika przepływów WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;

2. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Na tym wykładzie omówione zostaną podstawowe relacje opisujące procesy : wymiany ciepła, dyfuzji, oraz mechaniki przepływu płynów podczas przepływu przez ciało porowate. Wymiana ciepła Ruch ciepła (wymiana ciepła) jest to pojęcie obejmujące cały kompleks zagadnień przenoszenia ciepła miedzy ciałami – względnie między częściami tego samego ciała - uwarunkowany występowaniem różnicy temperatur. różnica temperatur wymiana ciepła gęstość strumienia cieplnego q (obciążenie cieplne) [ W / m2]

3. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; lub w innej notacji: podstawiając wyrażenie na pierwsze prawo Fouriera: Jest to ogólne równanie przewodzenia ciepła w ciele izotropowym z uwzględnieniem wewnętrznych źródeł ciepła.

4. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; w ogólnej postaci λ przybiera postać macierzy: dla materiału ortotropowego Przykład 1 Stacionarne przewodzenie ciepła wzdłuż długiej bryły stałe temperatury T1 i T2 na ścianach brak przepływu ciepła wzdłuż osi z przypadek 2D x – y dla T2=0 rozkład temperatury opisuje równanie:

5. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Przykład 2 Nieustalone przewodzenie ciapła przez pół-nieskończoną bryłę: stały strumień ciepła q na granicy ciała Początkowa tempertaura ciała 0 Analityczne rozwiązanie:

6. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającym się płynie. Korzystając z definicji pochodnej wędrownej: dyfuzyjności cieplnej: i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać:

7. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Dyfuzja Omówimy procesy przenoszenia masy w wieloskładnikowych ośrodkach ze szczególnym uwzględnieniem procesów przepływowych. Najogólniej rzecz ujmując różne rodzaje transportu masy podzielić można na dwie zasadnicze grupy: Przenoszenie molekularne - DYFUZJA Makroskopowe mieszanie elementów płynu - KONWEKCJA Zaznaczyć należy, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszenia występują z reguły jednocześnie.

8. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Jeżeli w różnych punktach płynu składającego się z dwóch składników A i B, pozostającego w spoczynku lub poruszającego się ruchem laminarnym będą różne stężenia obu składników to wówczas wystąpi spontaniczny ruch cząstek z miejsc o stężeniu wyższym do miejsc o stężeniu niższym. Mamy doczynienia z procesem DYFUZJI

9. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Stężenie dyfundującej substancji może być określone w postaci stężenia masowego, molowego lub odpowiednich stężeń ułamkowych. Wzory definicyjne zestawiono poniżej: stężenie masowe składnika stężenie molowe składnika stężenie molowe dla gazów doskonałych

10. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; ułamek masowy składnika ułamek molowy składnika w fazie ciekłej ułamek molowy składnika w fazie gazowej gdzie: mi – masa składnika; V – objętość mieszaniny; ni – liczba moli składnika; pi – ciśnienie cząstkowe; Mi – masa molowa; ρ, c, p – odpowiednie wielkości dla mieszaniny.

11. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Każdy składnik dyfundujący w mieszaninie przemieszcza się z właściwą sobie prędkością vi względem układu współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni. Stąd wypadkowa prędkość mieszaniny, w zależności od użytych stężeń, może być obliczona jako : lokalna średnia prędkość masowa lub jako: lokalna średnia prędkość molowa

12. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Rozpatrując dyfuzję składnika w strumieniu płynu opieramy się na doświadczalnym prawie FICKA, które dla warunków izotermicznych i izobarycznych wyrażone jest wzorem: prawo FICKA lub dla dowolnych warunków: współczynnik dyfuzji [ m2 / s ] molowa gęstość strumienia w kierunku x [ mol / m2 * s ]

13. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Równanie KONWEKCJI - DYFUZJI Równanie to można zapisać w postaci: równanie KONWEKCJI - DYFUZJI Dla współrzędnych prostokątnych:

14. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Gdy nie zachodzą przemiany chemiczne : A dla płynów w spoczynku u = 0: drugie prawo Ficka Ogranicza się ono do opisu dyfuzji w ciałach stałych oraz płynach nieruchomych, pełna analogia do drugiego prawa Fouriera jest oczywista.

15. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Przykład 1 Jednokierunkowa nieustalona dyfuzja w roztworze rozcieńczonym Równanie Konwekcji –dyfuzji przyjmuje postać: Dla warunku początkowego postaci: Stałej wartości współczynnika dyfuzji D =const. I dla warunków brzegowych postaci: Analityczne rozwiązanie przyjmuje postać:

16. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Przepływ płynu: równanie ciągłości: Dla cieczy nieściśliwej: Lub w notacji wektorowej:

17. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; delta Kroneckera = 1 dla i=j =0 dla i≠j relacje konstytutywne : naprężenia lepkie są proporcjonalne do odkształcenia: lepkość dynamiczna [Pa s] Dla ośrodka ciągłego równanie ruchu przybiera postać:

18. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; po podstawieniu wyrażeń na naprężenia otrzymujemy:

19. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Lub stosując pojęciepochodnej wędrownej: RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego.

20. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Przepływ płynu przez deformowalne ciało porowate: Rozważmy ciało stałe które jest porowate, a jego pory wypełnione są płynem. Zakładamy, że ciało się deformuje a płyn porusza w stosunku do niego. Dana konfiguracja w chwili t opisana jest na rys. tB . Pozycja punktu P w układzie traktowanym jak ciało ciągłe, opisana jest tr. Parametry fizyczne opisujące stan punktu P to: prędkość ciała stałego u , prędkość płynu q [(strumień objętościowy)/ przez jednoskę powierzchni mieszaniny], i ciśnienie w płynie p. przyśpieszenie ciała stałego porowatość Stan równowagi dla ciała stałego: naprężenia w ciele stałym macierz przepuszczalności gęstość ciała stałego siły masowe

21. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Stan równowagi plynu: (uogulnione prawo Darcy) wykorzystując relację: możemy otrzymać: jeżeli teraz pomnożymy to przez ε i dodamy do równania na stan równowagi ciała stałego: gdzie: mT=[1 1 1 0 0 0] wektor (ciśnienie ma wpływ tylko na naprężenia normalne)

22. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; Potrzebne jest równanie konstytutywne dla ciała stałego: odkształcenie całkowite odkształcenie ciała stałego na skutek ciśnienia p równanie dla płynu: (dla danej konfiguracji i danej porowatości)

23. WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate; W analizie numerycznej problemu można uwzględnić zmiany porowatości: i dalej: moduł ściśliwości płynu