Analyse des donn es
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Analyse des données. Plan. Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions. Échantillon vs population. Une mesure échantillonne une population La distribution de l’échantillon approxime celle de la population

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Analyse des données

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Presentation Transcript


Analyse des données


Plan

  • Lien entre les statistiques et l’analyse des données

  • Propagation des erreurs

  • Ajustement de fonctions


Échantillon vs population

  • Une mesure échantillonne une population

  • La distribution de l’échantillon approxime celle de la population

  • La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N


Exemple de comptage


n = 100


n = 1000


n = 1 000 000


Précision sur la moyenne

  • L’estimation de la moyenne s’affine avec N

Population

Échantillon


Erreur sur une variable dépendante


Erreur sur une variable dépendante


Erreur sur une variable dépendante


Propagation d’erreurs


Propagation d’erreurs


Propagation d’erreurs

  • x et y sont des variables indépendantes

  • Et Dx et Dy sont des erreurs indépendantes

  • Leurs effets s’additionnent quadratiquement


Propagation d’erreur

pour des incertitudes indépendantes


Propagation d’erreurs

(sans corrélations)


Moyenne pondérée

  • Plusieurs mesures de x (x1, x2, ... xi,, ... xn)

  • Différentes précisions (d1, d2, ... di,, ... dn)

  • On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ

  • Les mesures précises doivent contribuer davantage


Moyenne pondérée

Si tous les si sont égaux,


Ajustement de courbes

  • Soit f(x) une fonction physique

  • On fait une mesure de f(x) en x = x1

  • On cherche la probabilité que la mesure soit bonne


  • La probabilité totale est


  • La valeur de P ou de c2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie


Ajustement

  • En général, la situation est inversée

  • On ne connaît pas f(x)

  • Mais on connaît (ou on essaye) une forme

    • droite

    • polynôme

    • fonction arbitraire


Ajustement

  • On cherche les ai qui maximisent P

    • Vraisemblance maximale

    • Maximum likelihood

  • Ou qui minimisent c2

    • Moindres carrés


Régression linéaire

  • On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux


Régression linéaire

  • On cherche a et b qui minimisent c2

  • 2 équations, 2 inconnus (a et b)


Régression linéaire


Incertitudes égales(votre calculatrice)


Régression linéaire

  • 5 mesures

  • f(x) = 3x + 7

  • a=7b=3

    c2 = 10,1

  • a = 5,9b = 2,9

    c2min = 5,9


Contours du c2


Incertitude sur les paramètres

  • a et b dépendent des yi

  • saetsbdépendent des si

  • On applique la règle de propagation


Incertitude sur les paramètres


Incertitude et c2


Incertitude et c2

  • La régression linéaire trouve le minimum du c2

  • Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du c2. Pourquoi ?

  • Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres


Incertitude et c2

Gaussienne d’écart-type = 1

L’incertitude représente une variation de 1 du c2


Corrélation linéaire

  • On peut toujours passer une droite par des points

  • Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ?

  • Le coefficient de corrélation linéairer nous donne la réponse


b = 2,7 b’ = 0,33

r = sqrt(bb’) = 0,95

b = 0,29 b’ = 0,33

r = sqrt(bb’) = 0,31

Corrélation linéaire


Élimination de données suspectesCritère de Chauvenet (pp. 154-156)

  • Soit 5 mesures : 38 35 39 39 34 18

  • Faut-il rejeter la dernière valeur ?

  • Si on peut expliquer notre erreur, oui.

  • Sinon, il faut réfléchir

  • <x> = 34s=8

  • Si on enlève, on a <x> = 37

  • La valeur de 18 s’écarte de 2s de la moyenne


  • Ceci n’est jamais impossible et devrait se produire ~ 1 fois sur 20

  • Mais on n’a que 6 données

  • On attend donc ~ 0,3 données de ce type et on l’écarte

  • Critère de Chauvenet

  • On écarte si


Attention à l’auto-censure

  • Expérience de Millikan

  • e = 1,592 × 10-19 C

  • e = 1,602 × 10-19 C

  • Temps de vie du muon


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