Analyse des donn es
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Analyse des données. Plan. Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions. Échantillon vs population. Une mesure échantillonne une population La distribution de l’échantillon approxime celle de la population

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Analyse des données

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Presentation Transcript


Analyse des donn es

Analyse des données


Analyse des donn es

Plan

  • Lien entre les statistiques et l’analyse des données

  • Propagation des erreurs

  • Ajustement de fonctions


Chantillon vs population

Échantillon vs population

  • Une mesure échantillonne une population

  • La distribution de l’échantillon approxime celle de la population

  • La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N


Exemple de comptage

Exemple de comptage


N 100

n = 100


N 1000

n = 1000


N 1 000 000

n = 1 000 000


Pr cision sur la moyenne

Précision sur la moyenne

  • L’estimation de la moyenne s’affine avec N

Population

Échantillon


Erreur sur une variable d pendante

Erreur sur une variable dépendante


Erreur sur une variable d pendante1

Erreur sur une variable dépendante


Erreur sur une variable d pendante2

Erreur sur une variable dépendante


Propagation d erreurs

Propagation d’erreurs


Propagation d erreurs1

Propagation d’erreurs


Propagation d erreurs2

Propagation d’erreurs

  • x et y sont des variables indépendantes

  • Et Dx et Dy sont des erreurs indépendantes

  • Leurs effets s’additionnent quadratiquement


Propagation d erreur

Propagation d’erreur

pour des incertitudes indépendantes


Propagation d erreurs3

Propagation d’erreurs

(sans corrélations)


Moyenne pond r e

Moyenne pondérée

  • Plusieurs mesures de x (x1, x2, ... xi,, ... xn)

  • Différentes précisions (d1, d2, ... di,, ... dn)

  • On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ

  • Les mesures précises doivent contribuer davantage


Moyenne pond r e1

Moyenne pondérée

Si tous les si sont égaux,


Ajustement de courbes

Ajustement de courbes

  • Soit f(x) une fonction physique

  • On fait une mesure de f(x) en x = x1

  • On cherche la probabilité que la mesure soit bonne


Analyse des donn es

  • La probabilité totale est


Analyse des donn es

  • La valeur de P ou de c2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie


Ajustement

Ajustement

  • En général, la situation est inversée

  • On ne connaît pas f(x)

  • Mais on connaît (ou on essaye) une forme

    • droite

    • polynôme

    • fonction arbitraire


Ajustement1

Ajustement

  • On cherche les ai qui maximisent P

    • Vraisemblance maximale

    • Maximum likelihood

  • Ou qui minimisent c2

    • Moindres carrés


R gression lin aire

Régression linéaire

  • On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux


R gression lin aire1

Régression linéaire

  • On cherche a et b qui minimisent c2

  • 2 équations, 2 inconnus (a et b)


R gression lin aire2

Régression linéaire


Incertitudes gales votre calculatrice

Incertitudes égales(votre calculatrice)


R gression lin aire3

Régression linéaire

  • 5 mesures

  • f(x) = 3x + 7

  • a=7b=3

    c2 = 10,1

  • a = 5,9b = 2,9

    c2min = 5,9


Contours du c 2

Contours du c2


Incertitude sur les param tres

Incertitude sur les paramètres

  • a et b dépendent des yi

  • saetsbdépendent des si

  • On applique la règle de propagation


Incertitude sur les param tres1

Incertitude sur les paramètres


Incertitude et c 2

Incertitude et c2


Incertitude et c 21

Incertitude et c2

  • La régression linéaire trouve le minimum du c2

  • Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du c2. Pourquoi ?

  • Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres


Incertitude et c 22

Incertitude et c2

Gaussienne d’écart-type = 1

L’incertitude représente une variation de 1 du c2


Corr lation lin aire

Corrélation linéaire

  • On peut toujours passer une droite par des points

  • Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ?

  • Le coefficient de corrélation linéairer nous donne la réponse


Corr lation lin aire1

b = 2,7 b’ = 0,33

r = sqrt(bb’) = 0,95

b = 0,29 b’ = 0,33

r = sqrt(bb’) = 0,31

Corrélation linéaire


Limination de donn es suspectes crit re de chauvenet pp 154 156

Élimination de données suspectesCritère de Chauvenet (pp. 154-156)

  • Soit 5 mesures : 38 35 39 39 34 18

  • Faut-il rejeter la dernière valeur ?

  • Si on peut expliquer notre erreur, oui.

  • Sinon, il faut réfléchir

  • <x> = 34s=8

  • Si on enlève, on a <x> = 37

  • La valeur de 18 s’écarte de 2s de la moyenne


Analyse des donn es

  • Ceci n’est jamais impossible et devrait se produire ~ 1 fois sur 20

  • Mais on n’a que 6 données

  • On attend donc ~ 0,3 données de ce type et on l’écarte

  • Critère de Chauvenet

  • On écarte si


Attention l auto censure

Attention à l’auto-censure

  • Expérience de Millikan

  • e = 1,592 × 10-19 C

  • e = 1,602 × 10-19 C

  • Temps de vie du muon


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