第十四章    轴对称
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第十四章 轴对称 复习 (1) - PowerPoint PPT Presentation


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第十四章 轴对称 复习 (1). 复习目标: 1 、熟练掌握两个图形轴对称,轴对称图形的概念及轴对称的基本性质,能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形; 2 、掌握线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的有关概念及性质,并掌运用它们的性质及判定方法进行有关计算和证明; 3 、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习空间与图形的兴趣.. 重点、难点. 重点 :轴对称的性质 等腰三角形 的性质和判定 难点 :推理证明.

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Presentation Transcript

复习目标:

1、熟练掌握两个图形轴对称,轴对称图形的概念及轴对称的基本性质,能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;

2、掌握线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的有关概念及性质,并掌运用它们的性质及判定方法进行有关计算和证明;

3、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习空间与图形的兴趣.


重点、难点

重点:轴对称的性质 等腰三角形

的性质和判定

难点:推理证明


本章知识结构如下图所示

等腰三角形

等边三角形

线段的垂

直平分线

生活中的对称

画图形的 对称轴

轴对称

轴对称变换

画轴对

称图形

用坐标表示轴对称


一 基础知识回顾:

1、如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够________,这个图形叫做轴对称图形。这条直线是它的_______.

2、把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形_______,那么就说这两个图形关于这条直线_______.这条直线叫做_______,折叠后重合的点叫做________.

互相重合

对称轴

重合

对称

对称轴

对称点


3、如果两个图形关于某条直线对称,那么_______是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的__________.

对称轴

垂直平分线

垂直于

4.经过线段的_______,并且__________这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点,与这条线段两个端点的距离______.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的______________.

中点

相等

垂直平分线上


5、由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做______________.

6、等腰三角形的两个底角______.可简写成___________.等腰三角形的_____________、_____________、__________相互重合.

7、如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也______.简写成___________.

轴对称变换

相等

“等边对等角”

顶角平分线

底边上的中线

底边上的高

相等

“等角对等边”


8、等边三角形的三个内角都_______,并且每一个内角都______.三个角都相等的三角形是__________;有一个角是60°的_________是等边三角形。

9、在直角三角形中,如果_____________,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

相等

60°

等边三角形

等腰三角形

一个锐角等于30°


. B

. B

王庄

王庄

. A

. A

张村

张村

a

二.典例分析

例1:如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、王庄送水,修在河边什么地方,可以使所用的水管最短。


. B

王庄

. A

张村

你能说出其中的道理吗?

.P’

a

P

A’●

解(1)作出A点关于直线a的对称点A’,

(2)连结A’B, A’B交直线a于点P,

则点P即为所求,亦即水泵站应该在河边修建的位置。


A

B

D

E

C

例2 已知:如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE

方法1:

利用全等三角形性质证明,即通过证明△ABD ≌△ACE来获得BD=CE.

F

方法2:作AF⊥BC于F,

利用等腰三角形“三线合一”性质证明.


3 已知, △ABC中,直线DFE交BC于D,交AC于F,交BA延长线于E,AE=AF,G为EF中点,AG∥BC,求证: △ABC是等腰三角形。

E

G

A

F

B

C

D


4. 已知:B、C、E在同一直线上,△ABC、△DEC是等边三角形,BD交AC于Q,AE交CD于P,求证:(1)BD=AE;

(2)△CPQ是等边三角形;

(3)PQ∥BC。

A

D

Q

P

B

C

E

分析:(1)证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。(2)可证CQ=PC,可通过证△CEP与△CQD全等来证。(3)由△PCQ为等边三角形可得∠QPC=60°,可通过内错角相等来证PQ∥BC。


证明:(2)由(1)∠CDQ=∠CEP ∵∠BCE=180°

∴∠QCP=180°-∠BCA-∠DCE= 180°-60°-60°=60°

在△CDQ和△CEP中,

∴△CDQ≌△CEP(ASA)

∴CQ=CP(全等三角形对应边相等)

在△PCQ中,∠PCQ=60°

∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)


证明:(1)∵△ABC,△DEC为等边三角形

∴∠ACB=∠DCE=60°

在△BCD和△ACE中,

∴△BCD≌△ACE(SAS)

∴BD=AE(全等三角形的对应边相等)


3)∵△CPQ是等边三角形

∴∠PQC=60°(等边三角形的每一个角都是60°)

∴∠PQC=∠BCQ

∴PQ∥BC(内错角相等,两直线平行)


5. 如图:AB=AC,BC∥DE,AD、AE分别交BC于点G、H,∠ADE=∠AED。

求证:BG=CH

A

B

1

C

2

H

G

E

D


证明:∵BC∥DE

∴∠1=∠ADE,∠2=∠AED

又∠ADE=∠AED

∴∠1=∠2

∴AG=AH

过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO

∴BO=CO(等腰三角形底边的高与底边的中线重合)

∵AO⊥GH

∴GO=OH(同上)

∴BG=CH(等量代换)


1.已知:△ABC中,AB=AC,周长为36cm, AD⊥BC于D, △ABD的周长为30cm,那么AD=_____

2.在Rt△ABC中, ∠ACB= 90°, CD⊥AB于D, ∠A= 30°,AB=4cm,则BD=____.


B

D

F

A

E

C

3:如图,∠BAC= 30°,D为角平分线上一点,DE⊥AC于E, DF∥AC,且交AB于F,

(1)求证: △AFD为等腰三角形.

(2)若DF=10cm,求DE的长.

M


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