LOS POLIEDROS

1. LOS POLIEDROS REGULARES IRREGULARES CUERPOS REDONDOS

2. JUSTIFICACIÓN DEL TEMA • Hemos elegido el tema de los poliedros porque nos parece interesante y un buen tema a tratar, ya que vivimos en una sociedad donde muchos de los objetos que nos rodean poseen formas poliédricas y hemos considerado que es por ello un tema importante y que puede resultar atractivo para los alumnos ya que conviven diariamente con ello. • Este trabajo, está enfocado especialmente, para el Tercer Ciclo de Educación Primaria, concretamente para el 6 ºcurso. Nos hemos basado, para su elaboración, en la Ley Orgánica de Educación (L. O. E.;2006) ,que es la ley que está vigente actualmente. • El nivel socioeconómico de los alumnos a los que va dirigida es un nivel medio-alto.

3. CONCEPTOS PREVIOSDE LOS ALUMNOS Estos objetivos centrándonos en el área de geometría del segundo ciclo de primaria son: • La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros. • Localización precisa de elementos en el espacio. • Representación elemental de espacios conocidos: planos y maquetas. • Descripción de posiciones y movimientos en un contexto topográfico. • Localización de puntos, dado un sistema de referencia ortonormal,utilizando coordenadas cartesianas. • Interpretación de croquis y planos sencillos. • Líneas rectas y curvas. Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. • Relación entre el concepto de ángulo y el de giro. • Formas planas y espaciales.

4. Figuras geométricas. Elementos básicos: lado, vértice, base, diagonal, ángulo, ejes de simetría. • Clasificación de polígonos. Lados y vértices. Composición y descomposición de polígonos. Iniciación al concepto de área. Estimación y cálculo del área de cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos. • La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda y arco. • Cuerpos geométricos: reconocimiento de prismas, pirámides y cuerpos redondos. Elementos básicos de poliedros: caras, vértices y aristas. • Clasificación de figuras y cuerpos geométricos utilizando diversos criterios. • Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotidiana. • Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico. • Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos y de cuerpos geométricos a partir de un desarrollo. • Exploración de formas geométricas elementales. • Comparación y clasificación de ángulos: rectos, agudos, obtusos, llanos, mayores de 180º y completos. • Regularidades y simetrías. • Transformaciones métricas: traslaciones, giros y simetrías. • Identificación de traslaciones, giros y simetrías en el entorno familiar y en la naturaleza.

5. CONCEPTOS PREVIOS DEL PROFESOR Los conceptos en este ciclo en los cuales el profesor debe mantener muy presentes son los siguientes: • 1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento. • 2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos. • 3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y el esfuerzo e interés por su aprendizaje. • 4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios, y confiar en sus posibilidades de uso. • 5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. 6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas, así como para la ampliación de los contenidos matemáticos y su relación con otros de las distintas áreas del currículo. • 7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción. • 8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma. • 9. Plantear y resolver problemas matemáticos utilizando los procedimientos adecuados de cálculo, medida, estimación y comprobación de resultados. • 10. Inventar y formular problemas matemáticos utilizando de forma lógica y creativa la comunicación oral y la expresión escrita en un castellano correcto. • 11. Utilizar el lenguaje propio del campo científico con precisión y, en particular, emplear adecuadamente el lenguaje matemático para identificar relaciones y conceptos aprendidos y para comprender y nombrar otros nuevos. • 12. Comprender la necesidad de la argumentación mediante razonamientos lógicos en el estudio y utilización de las Matemáticas. • 13. Desarrollar estrategias de comprensión lectora en los mensajes transmitidos por los textos escritos utilizados en el área.

7. 1. DEFINICIÓN DE POLIEDROS • Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. • Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas que podéis ver a vuestro alrededor, tienen forma poliédrica.

8. 2. LOS POLIEDROS EXPLICAN EL MUNDO • Antiguamente se creía que todos los cuerpos de la Tierra eran mezcla de 4 elementos básicos: tierra, fuego, aire y agua. • Su clasificación la realizo de la siguiente manera: El cubo pertenecería a la tierra. El tetraedro lo relacionó con el fuego. El Octaedro se lo atribuyó al aire y el icosaedro fue relacionado con agua.

9. Se dice también en esta relación de poliedros con cuerpos de la tierra y del conjunto de todo, como el universo, que el dodecaedro se asoció al universo porque tiene 12 caras, como los 12 signos del Zodíaco. • Kepler aún creía en la relación entre el universo y los poliedros regulares. Construyó un modelo del Sistema Solar con esferas y estos poliedros. Cada una de las esferas representaba la órbita de los planetas.

10. 3. LA FÓRMULA DE EULER • La fórmula de Euler indica que si C representa el número de caras del poliedro, A representa el número de aristas y V representa el número de vértices del poliedro entonces se cumple que C + V – A = 2. • Para llevar a cabo esta clase es necesario que los estudiantes conozcan los cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Es necesario que conozcan los conceptos de vértice, arista y cara de un poliedro.

11. Si tomamos un cubo cualquiera este tendrá 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. C = 6, V = 8, A = 12 de donde fácilmente vemos que C + V + A = 6 + 8 – 12 = 2 • Si hacemos un corte en una esquina obtenemos poliedro irregular. C = 7, V = 10, A = 15, vemos que al aplicar la fórmula se produce el mismo resultado, 2. 

12. 4. POLIEDROS IRREGULARES 4.1 Prisma

13. 4.1 El prisma: • Definición:Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos. • Un prisma se llama recto cuando las caras laterales son rectangulares, sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. • El prisma rectangular, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente. 

14. Los elementos de un prisma son: • Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta. • Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma. • Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. • Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. 

15. Volumen:El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por la distancia entre ellas: V = volumen, Ab  = área de la base es decir del polígono de la base, h = altura V = Ab x h Si la base es un cuadrado: Si la base es un pentágono: A = (perímetro x apotema) / 2 • Área lateral:el área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma. AL = P x h Perímetro:Para conocerlo debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. • Área total:es igual al área lateral más el área de los polígonos de las dos bases. AT = AL + 2 x Ab

16. 4.2 La pirámide

17. 4.2 La pirámide: • Definición:Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. • Los elementos de la pirámide: • La base: es la cara en la que se apoya la pirámide. • Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide. • Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

18. Los vértices:son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. • Los apotemas:son las alturas de las caras laterales de la pirámide. • Volumen:Para calcular el área total habrá que sumar al área lateral el área de la base: A T =perímetro de la base · h 2 + perímetro de la base · a 2 A T = A L + A B = n · l · h 2 + P B · a 2 • Área:El volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma. V pirámide = Volumen prisma 3 = A B · h 3

19. Tipos de pirámides según sea el polígono de su base:

20. 5. POLIEDROS REGULARES: 5.1 Tetraedro

21. 5.1 Tetraedro: • Definición:Es un poliedro de cuatro caras, todas iguales, siendo cada una un triángulo equilátero. • Sus partes principales son: • Cara: cada uno de los cuatro triángulos equiláteros que definen al tetraedro regular. Puede dibujarse a partir de una arista. • Vértice: punto al que concurren tres aristas. En total hay cuatro. • Arista: segmento que une dos vértices. En total hay seis.

22. Aristas opuestas: son dos aristas que no se cortan. • Eje: recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta a él. • Centro de cara: punto de intersección entre un ejey la cara perpendicular a él. Es también el centro de gravedad de la cara. • Punto medio de arista: es el punto medio entre los dos vértices que limitan a una arista. • Altura de cara: segmento definido por un vértice y un punto mediode una arista no concurrente a él.

23. Área: Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equiláteros, podemos hallar el área de un triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

24. 3.2 Cubo

25. 3.2 Cubo: • Definición:El cubo es un poliedro regular ya que en estos sus caras son polígonos regulares iguales.  • Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. • Características: • Tiene 6 caras. • Tiene 12 aristas. • Tiene 8 vértices. • Tiene 3 caras concurrentes en cada vértice.

26. Volumen:El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres; podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:V = a3. • El volumen a x a x a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara basal a x a por la altura a, es decir: V = a x a x a= (a x a ) x a =  a2 x a  =  a3 • Área:el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), mediante: Área de una cara:

27. 5.3 El octaedro

28. 5.3 El octaedro: • Definición:Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. • Características del octaedro: • Número de caras: 8. • Número de vértices: 6. • Número de aristas: 12.

29. Área:Y el área total de sus caras A (que es 8 veces el área de una de ellas, Ac), mediante: • Volumen: Dado un Octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

30. 5.4 Dodecaedro

31. 5.4 Dodecaedro: • Definición:Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. • Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

32. Características: • Tiene 12 caras. • Los polígonos que forman las caras son pentágonos regulares. • Tiene 30 aristas. • Tiene 20 vértices

33. Volumen:un dodecaedro de arista A, le podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: • Área: el área total de sus caras A (que es 12 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

34. 5.5. Icosaedro

35. 5.5 Icosaedro: • Definición:Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. • Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. • Características: • Tiene 30 aristas, • Tiene12 vértices, • Tiene 5 caras concurrentes, • Tiene 3 vértices contenidos en cada cara.

36. Volumen:Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: • Área:el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

37. 6. LOS CUERPOS REDONDOS6.1 El cilindro:

38. 6.1 El cilindro: • Definición: Un cilindro es una figura geométrica limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos que la cortan en sus bases. Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el giro de una superficie rectangular alrededor de uno de sus lados. • El eje del cilindro es la recta que pasa por los centros geométricos de las bases; es paralelo a la generatriz.

39. Los cilindros pueden ser: • Cilindro recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases. • Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases. • Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. • Cilindro de revolución recto: si el eje es perpendicular a las bases. • Cilindro de revolución oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases  

40. Área de la superficie cilíndrica: El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral más la superficie de las dos base. En un cilindro recto de base circular, es: • Área lateral: es el área de la superficie lateral de un cuerpo de revolución. AL = 2 · p · r · g

41. Volumen: El volumen es la capacidad que tiene ese cuerpo geométrico. El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro. El volumen de un cilindro de base circular, es: • Un rectángulo al girar origina un cilindro:

42. 6.2 El cono

43. 6.2 El cono: • Definición:El cono es uncuerpo geométrico generado por el giro de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos .Al circulo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice. • Tipos de conos: • Se denomina cono recto si el vértice equidista de la base circular.

44. Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base. • Cono elíptico si la base es una elipse.

45. Área lateral:El área lateral es igual a p (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz (g) del cono):AL = p · r · g Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a: • Área total:Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base Área de la base: A = Π·R2 • Volumen:Volumen = A. Base · Altura Área de la base: A = Π·R2

46. 6.3 La esfera

47. 6.3 La esfera: • Definición:Una esfera, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. Es decir, la distancia al centro desde cualquier punto de la esfera es siempre la misma. • También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.

48. Características: • La esfera tiene un radio. • Una superficie curva. • Un centro. • Un diámetro. • Una circunferencia máxima. • Un eje de giro.

49. Volumen:El volumen de una esfera de radio, r, es V = 4·π·r3/3 • Superficie: La superficie de una esfera de radio, r, es S = 4·π·r2 • Área: El área de una superficie esférica de radio r, es:

50. Leila González Pinto • Sara Iglesias • Antonio Jiménez Arco • Juan Carlos Martínez González • Itziar Millán Rodríguez • Sandra Fernández Melcón