1 / 30

Polynome und schnelle Fourier-Transformation

Polynome und schnelle Fourier-Transformation. Mohsen Taheri FU Berlin – SoSe2012. Polynome. Ein Polynom ist eine Funktion Koeffizienten: Ein Polynom hat Grad k wenn der höchste Koeffizient mit einem Wert ungleich 0 Länge = jede ganze Zahl großer als Grad eines Polynoms .

elijah
Download Presentation

Polynome und schnelle Fourier-Transformation

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Polynome und schnelle Fourier-Transformation Mohsen Taheri FU Berlin – SoSe2012

  2. Polynome • Ein Polynom ist eine Funktion • Koeffizienten: • Ein Polynom hat Gradk wenn der höchste Koeffizient mit einem Wert ungleich 0 • Länge = jede ganze Zahl großer als Grad eines Polynoms Polynome und FFT

  3. Addition von Polynomen • Seien und • Polynome der Länge n • Addition von A(x) und B(x) ist • hat auch Länge n • und • Beispiel • Laufzeit: Polynome und FFT

  4. Multiplikation von Polynomen • Seien und • Polynome der Länge n • Multiplikation von A(x) und B(x) ist • Wobei • Länge(C) = Länge(A) + Länge(B) • Beispiel • Laufzeit: Polynome und FFT

  5. Darstellung von Polynomen • Koeffizienten-Darstellung • Point-Value-Darstellung Polynome und FFT

  6. Koeffizienten-Darstellung • Das Polynom als ein Vektor der Koeffizienten • Addition: • Laufzeit • Multiplikation (wie vorhin): • wobei • Laufzeit Polynome und FFT

  7. Point-Value-Darstellung • Polynom Länge n in Point-Value-Darstellung: • eine Menge von Punkten • alle sind disjunkt • für alle : • Auswertung durch Horne-Schema (in ) Polynome und FFT

  8. Addition in Point-Value-Darstellung • A : • B : • Addition: • Laufzeit: Polynome und FFT

  9. Multiplikation in Point-Value-Darstellung • Problem: Länge(A.B)=Länge(A)+Länge(B) • Lösung: Extended Point-Value • 2n Punkte statt n Punkte • A: • B: • Multiplikation: • C: • Laufzeit : Polynome und FFT

  10. Evaluation • Evaluation: Transform von Koeffizienten-Vektor zur Point-Value-Darstellung • Evaluating: Die Auswertung eines Polynoms unter einen bestimmten Wert von x • Mit Hilfe von Horne-Schema in • Evaluation insgesamt in Polynome und FFT

  11. Interpolation • Interpolation: Transform von Point-Value-Darstellung zur Koeffizienten-Darstellung • Lagranges Formel Polynome und FFT

  12. Theorem 1: Eindeutigkeit von Interpolation der Polynomen • Für alle Menge von n Punkten • mit disjunkt • gibt es ein eindeutiges Polynom A(x) der Länge n, so dass • für alle Polynome und FFT

  13. DFT • effiziente Methode für Evaluation und Interpolation • Diskrete Fourier Transform • Das Polynom in n komplexe n-te Einheitswurzeln auswerten • Eingabe: Koeffizienten-Vektor • Ausgabe: Vektor • Auswertung der Polynom in n Komplexe n-te Einheitswurzeln Polynome und FFT

  14. Komplexe Einheitswurzeln • komplexe Einheitswurzel: eine komplexe Zahl • wobei • Es gibt genau n komplexe n-te Einheitswurzeln: • für k=0,1, … , n-1: • Die Zahl : primitive n-te Einheitswurzel • alle anderen Zahlen sind die Potenzen dieser Zahl • n komplexe n-te Einheitswurzeln sind dann: Polynome und FFT

  15. Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften • Additive Gruppe • Die n Zahlen haben die gleiche Struktur wie die additive Gruppe • Beweis: Polynome und FFT

  16. Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften • Cancellation Lemma • Für jede ganze Zahl gilt: • Beweis: . • Korollar: • Für alle ganze Zahlen n>0 gilt: Polynome und FFT

  17. Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften • Halving Lemma: • wenn n>0 gerade Zahl • die Quadrate der n komplexen n -te Einheitswurzeln sind die n/2 komplexe (n/2)-te Einheitswurzeln: Polynome und FFT

  18. Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften • Halving Lemma: • Beweis: Da n gerade ist, nehmen wir an n=2m • Zu zeigen: • Nach Cancellation Lemma: • da , ist dann , also □ Polynome und FFT

  19. Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften • Summation Lemma: • Für jede ganze Zahl n≥1 und für k≠0 und nicht dividierbar durch n, gilt: Polynome und FFT

  20. FFT • Evaluation eines Polynoms in • unter Verwendung der Eigenschaften der Einheitswurzeln • Diese Methode heißt Fast Fourier Transform(FFT). • Annahme n ist ein 2er Potenz ( ) • Divide-and-Conquer Polynome und FFT

  21. FFT • das Polynom A(x) in gerade und ungerade indizierte Koeffizienten teilen • zwei neue Polynome der Länge n/2 • Das Polynom wird so berechnet: Polynome und FFT

  22. FFT • das Problem von Auswerten des Polynoms in n Punkten ( ) reduziert zu: • 1. zwei Polynome der Länge n/2 in Punkten ( ) auswerten • 2. das Resultat mit Hilfe der Abgleichung zusammen addieren Polynome und FFT

  23. FFT • Nach Halving Lemma: • die Anzahl der Elemente der Liste nicht n, sondern n/2. • Die zwei Subprobleme haben genau die gleiche Struktur wie das ursprüngliche Problem und sind halb so groß. Polynome und FFT

  24. Rekursiv FFT RECURSIVE-FFT(a) • n = a.length() • if n==1 • return a • for k=0 to n/2-1 • return y Eingabe: Ausgabe: Polynome und FFT

  25. Rekursiv FFT • Zeilen11-12 kombinieren das Ergebnis der rekursiven Berechnung • Zeile 11 für • Zeile 12 für • zusammengefügt wird Vektor y berechnet Polynome und FFT

  26. Rekursiv FFT - Laufzeit • jeder rekursiver Aufruf kostet • n = Länge des Eingabevektors • Laufzeit: Polynome und FFT

  27. Interpolation in Einheitswurzeln • umgekehrtes Verfahren • Polynom vom Point-Value zurück zu Koeffizienten • Berechnung von DTF als eine Matrizenmultiplikation • Vandermonde-Matrix • wir brauchen die Inverse-Matrix Polynome und FFT

  28. Inverse von Vandermonde-Matrix • Theorem: Für j,k=0,1,…,n-1 sind die (j,k)Einträge von die Zahlen • Beweis: • z.z.: , wobei die n×n Identitätsmatrix • betrachte die (j,j')Einträge von • Falls j=j‘ : • Falls j≠j‘ : • -(n-1) ≤ j-j' ≤ n-1  j-j' ist nicht durch n dividierbar • Summation Lemma : Polynome und FFT

  29. Interpolation in Einheitswurzeln • I : (j,k)Einträge der sind: • II : • Vergleiche mit Polynom in Einheitswurzeln • leichte Modifikation in Algorithmus berechnet die Interpolation • tausche a und y • ersetze durch • dividiere jedes Element durch n • Also die Interpolation auch in berechenbar Polynome und FFT

  30. Zusammenfassung Standard-Multiplikation Laufzeit Koeffizienten- Darstellung Interpolation Laufzeit Evaluation Laufzeit punktweise Multiplikation Laufzeit Point-Value- Darstellung Polynome und FFT

More Related