Nichtstandard analysis
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Nichtstandard-Analysis. Mathematik-Didaktik B Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann. Friedrich- Schiller Universität Jena Jena, d. 20.01.2009. Gliederung. Einleitung / Motivation Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

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Presentation Transcript


Nichtstandard analysis

Nichtstandard-Analysis

Mathematik-Didaktik B

Referenten: Alexander Hochstein

Christian Herrmann

Friedrich- Schiller Universität Jena

Jena, d. 20.01.2009


Gliederung

Gliederung

  • Einleitung / Motivation

  • Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Anwendungen der Infinitesimalzahlen in der Nichtstandard-Analysis

  • Literatur


Nichtstandard analysis

1. Einleitung

Was ist ein Differential?

→ dx, dy, dz

Differentialquotient


Nichtstandard analysis

1. Einleitung

Wieso kann man mit Differentialen rechnen?

Beispiel: Integration durch Substitution


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Tangentenproblem

  • Gegeben: Funktion f(x)=x²

  • Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25)

  • Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente

    → ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen

Sekantensteigung

→ noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch

die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt

wird


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung

→ Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte

→ mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Was sind Infinitesimalzahlen?

  • sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null

  • sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl

→ wir ,,erfinden“ neue Zahlen

  • wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²),

    welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist,  infinitesimal


Nichtstandard analysis

(0.5+)²

0.25

0.5+

0.5


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung

  • da  eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+  nicht von 1 unterschieden werden


Nichtstandard analysis

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt

  • das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen

  • Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Axiom der Infinitesimalzahlen:

    Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: -b<<b. Eine solche Zahl heißt Infinitesimalzahl

0

0


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl,

, infinitesimal


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

0

³

²

/5

/2

0


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • b reell und  infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b

  • Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x-y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y

  • Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b. Andernfalls heißt x unendlich.


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b.

    b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x)

    Beispiel: 5+,  infinitesimal → st(5+)=5

  • Rechnen mit hyperreellen Zahlen

    Beispiel 1:  infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal

Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal

für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal

für ß=²: /ß=1/ unendlich

  • ,ß Infinitesimalzahlen

  • c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen

  • A,B unendliche Hyperzahlen


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Addition

Subtraktion


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Multiplikation

Division


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß)

  • c(d+)

  • (4-)²-16


Nichtstandard analysis

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Lösung


Nichtstandard analysis

5. Literatur

Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983.

Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis.

BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.


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