Nichtstandard analysis
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Nichtstandard-Analysis. Mathematik-Didaktik B Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann. Friedrich- Schiller Universität Jena Jena, d. 20.01.2009. Gliederung. Einleitung / Motivation Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

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Presentation Transcript


Nichtstandard-Analysis

Mathematik-Didaktik B

Referenten: Alexander Hochstein

Christian Herrmann

Friedrich- Schiller Universität Jena

Jena, d. 20.01.2009


Gliederung

  • Einleitung / Motivation

  • Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Anwendungen der Infinitesimalzahlen in der Nichtstandard-Analysis

  • Literatur


1. Einleitung

Was ist ein Differential?

→ dx, dy, dz

Differentialquotient


1. Einleitung

Wieso kann man mit Differentialen rechnen?

Beispiel: Integration durch Substitution


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Tangentenproblem

  • Gegeben: Funktion f(x)=x²

  • Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25)

  • Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente

    → ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen

Sekantensteigung

→ noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch

die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt

wird


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung

→ Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte

→ mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Was sind Infinitesimalzahlen?

  • sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null

  • sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl

→ wir ,,erfinden“ neue Zahlen

  • wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²),

    welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist,  infinitesimal


(0.5+)²

0.25

0.5+

0.5


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung

  • da  eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+  nicht von 1 unterschieden werden


2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

  • bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt

  • das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen

  • Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Axiom der Infinitesimalzahlen:

    Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: -b<<b. Eine solche Zahl heißt Infinitesimalzahl

0

0


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl,

, infinitesimal


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

0

³

²

/5

/2

0


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • b reell und  infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b

  • Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x-y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y

  • Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b. Andernfalls heißt x unendlich.


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

  • Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b.

    b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x)

    Beispiel: 5+,  infinitesimal → st(5+)=5

  • Rechnen mit hyperreellen Zahlen

    Beispiel 1:  infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal

Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal

für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal

für ß=²: /ß=1/ unendlich

  • ,ß Infinitesimalzahlen

  • c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen

  • A,B unendliche Hyperzahlen


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Addition

Subtraktion


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Multiplikation

Division


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß)

  • c(d+)

  • (4-)²-16


3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Lösung


5. Literatur

Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983.

Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis.

BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.


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