slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
RACHUNEK ZDAŃ

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 27

RACHUNEK ZDAŃ - PowerPoint PPT Presentation


  • 193 Views
  • Uploaded on

RACHUNEK ZDAŃ. Zdania, język KRZ. Przedmiotem rachunku zdań są tzw. „zdania kategoryczne”, można powiedzieć, że są to „zdania” w języku naturalnym, którym można (obiektywnie) przypisać wartość prawdy lub fałszu. UWAGA: Zdaniami (w sensie rachunku zdań) nie będą zatem

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' RACHUNEK ZDAŃ' - edena


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
zdania j zyk krz
Zdania, język KRZ

Przedmiotem rachunku zdań są tzw. „zdania kategoryczne”, można powiedzieć, że są to „zdania” w języku naturalnym, którym można (obiektywnie) przypisać wartość prawdy lub fałszu.

UWAGA: Zdaniami (w sensie rachunku zdań) nie będą zatem

wyrażane w języku naturalnym sądy, przypuszczenia

lub przekonania.

Przykłady zdań: Dzisiaj jest środa; Tydzień ma siedem dni; Pada deszcz;

Każda wielokrotność liczby trzy dzieli się przez cztery

To nie są zdania: Która godzina ?Sądzę, że ten wykład jest interesujący 

Albo Pan wyjdzie albo ja !

j zyk krz syntaktyka
Język KRZ - syntaktyka

J=(S,,,, F, T) S- zbiór formuł,

V – zbiór zmiennych zdaniowych (zdań)

VS

Syntaktyka

S - najmniejszy w sensie inkluzji zbiór spełniający

następujące warunki:

i) pV pS

ii) S S

iii) , S , , S

UWAGA: {,,} to są tzw. funktory zdaniotwórcze

{sądzę, myślę, uważam,..} to też funktory zdaniotwórcze, ale….

j zyk krz semantyka
Język KRZ - semantyka

Semantyka

Semantyką KRZ jest dwuwartościowa algebra Boole`a

BA={ {0,1},, , , 0, 1}

v ( v:V{0,1} hv:S{0,1})

jeśli pV to hv(p)=v(p)

hv(F)=0

hv(T)=1

Jeśli p jest zmienną zdaniową (formułą atomową), to v(p) jest

interpretacją formuły p

(wartością logiczną formuły p w interpretacji v).

Ogólnie hv() jest wartością logiczną formuły  w interpretacji v.

j zyk krz semantyka cd
Język KRZ – semantyka cd.

Dla formuł wartość logiczną można wyznaczyć na podstawie

poniższych własności:

hv()=hv()hv()

hv()=hv()hv()

hv()=hv()

UWAGA: Funktory zdaniotwórcze „wtórne” {, }

pq p  qpq  (pq)(qp)

tablice logiczne funktor w

Negacja

Alternatywa

Koniunkcja

 0 1

0 0 0

1 0 1

 0 1

0 0 1

1 1 1

 0 1

0 1 1

1 0 1

 0 1

0 1 0

1 0 1

p  p

0 1

1 0

Implikacja

Równoważność

Tablice logiczne funktorów
ekstensjonalno funktor w
Ekstensjonalność funktorów

Funktory ,, mają tę własność, że wartość logiczna formuł utworzonych za ich pomocą zależy jedynie od wartości logicznej zdań, z których formuły te są zbudowane (wartość logiczna nie zależy od sensu zdań)

Przykłady

Warszawa jest stolicą Polski lub 2+2=4; Jeśli Ola jest kobietą to Marek jest łysy

p(pq)

Przykłady

Policzmy wartość formuły () jeśli wiemy już, że hv()=1, hv()=0

hv(())=hv()hv()=hv()(hv()hv()) =

=1(10)=0(10)=00=1

Własności hv

Z tablic funktorów

tautologia
Tautologia

Definicja

Formułę  nazywamy tautologią (twierdzeniem) wttw

vhv()=1 (dla każdego wartościowania wartość logiczna formuły

równa jest 1)

Definicje

Formuła  jest spełniona przy interpretacji v wttw hv()=1

(v spełnia ; v jest modelem dla )

X |=  ( wynika logicznie ze zbioru formuł X) wttw

v ( hv(X){1}  hv()=1 )

implikacja i r wnowa no semantyczna
Implikacja i równoważność semantyczna
  • Jaka jest różnica pomiędzy wyrażeniami
  • () a 

 a 

Wyrażenie  jest formułą KRZ, która może być ale nie musi być tautologią

Wyrażenie  jest stwierdzeniem o formułach ,  mówiącym, że są one logicznie

równoważne, tzn, że formuła  jest tautologią

Wyrażenie  oznacza, że  implikuje logicznie , tzn.  wtedy i tylko

wtedy, gdy  jest tautologią.

UWAGA: oznacza, że nie może zaistnieć sytuacja hv()=1 i hv()=0

aksjomaty i teoria

Definicja

Niech X, będzie zbiorem formuł, zbiór

T(X)={: X|= } nazywamy teorią zbioru formuł X, a formuły należące do zbioru X nazywamy aksjomatami

Aksjomaty i teoria
metoda zero jedynkowa

Przykład: Czy prawo de Morgana jest tautologią

(pq)  (pq)

p q p q (p  q) pqpq formuła

0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0 1

Metoda zero-jedynkowa

Metoda zero-jedynkowa polega na rozważeniu wszystkich możliwych przypadków wartości zdań składowych formuły i policzeniu w każdym przypadku wartości formuły.

UWAGA: Metoda kosztowna obliczeniowo ze względu na liczbę

formuł składowych (w szczególności zdań)

postacie normalne formu
Postacie normalne formuł

Atomem (formułą atomową) nazywać będziemy zmienną zdaniową (zdanie)

Atom nazywamy również literałem pozytywnym

Negację atomu nazywamy literałem negatywnym

Literały  i  nazywamy komplementarnymi

Definicja

Formuła  jest w koniunkcyjnej postaci normalnej – CNF wtw jest ona postaci:

=12..n gdzie każde i jest alternatywą literałów

Koniunkcją alternatyw (składniami każdej alternatywy muszą być literały)

Definicja

Formuła  jest w alternatywnej postaci normalnej – DNF wtw jest ona postaci:

==12..ngdzie każde i jest koniunkcją literałów

Alternatywą koniunkcji (składniami każdej koniunkcji muszą być literały)

postacie normalne cd
Postacie normalne cd.

Przykłady

CNF (pprq)(pwr)(pq)

DNF (pprq)  (pwr)  (pq)

Formuły

równoważne

  • W celu sprowadzenia dowolnej formuły do postaci CNF lub DNF należy:
  • Wyeliminować spójniki , 
  •  ()()
  • 
  • 2. Wprowadzić znak negacji bezpośrednio przed symbole atomowe:
  • () 
  • () 
  • () 
  • 3. Wprowadzić znak koniunkcji (CNF) lub alternatywy (DNF) na zewnątrz
  • nawiasów (na najwyższy poziom formuły złożonej)
  • prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
  • prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
adt dla krz
ADT – dla KRZ

Twierdzenie

Dla dowolnej formuły  istnieją formuły ` i ” równoważne , będące

(odpowiednio) w postaciach CNF i DNF

UWAGA: Powyższe twierdzenie dostarcza procedury rozstrzygania dla KRZ

Jeśli formuła jest w postaci CNF, to jest tautologią wttw każda z alternatyw zawiera

parę literałów komplementarnych

Jeśli formuła jest w postaci DNF, to jest kontrtautologią wttw każda z koniunkcji

zawiera parę literałów komplementarnych

przyk ady tautologii praw krz
Przykłady tautologii (praw) KRZ
  • Przykłady tautologii
  • prawa przemienności (,  )
  • prawa łączności
  • prawa rozdzielności
  • iv) (pq) (pq) (pq) (pq) prawa De Morgana
  • v) dla iloczynu analogicznie
  • vi) pq  (qp) prawo kontrapozycji
  • vii) pq  [(p q) c] reductio ad absurdum (c zdanie sprzeczne)
  • viii) pp  p pp  p prawa idempotentności
  • ix) [(pq)r ][p(qr)] prawo eksportacji
  • x) (p p) prawo wyłączonego środka
system formalny
System formalny

Definicja

Dwójkę <R, X> w której R jest zbiorem formuł wnioskowania,

X zbiorem formuł (aksjomatów) nazywamy

systemem formalnym.

Wnioskowanie:

Proces polegający na uznaniu pewnych zdań zwanych wnioskami na podstawie innych zdań zwanych przesłankami.

UWAGA: JeślirR jest regułą wnioskowania to r2SS.

UWAGA: Zamiast system formalny można powiedzieć też

system dowodzenia

regu y wnioskowania

Reguła wnioskowania – zapis

Znaczenie – jeśli przesłanki są prawdziwe, to konkluzja też jest prawdziwa

a1, a2, ... , an

b

Reguły wnioskowania

Reguła jest poprawną regułą wnioskowania, jeśli

X={1, 2,..,n} v ( hv(X){1}  hv()=1 )

regu y wnioskowania1

, 

Modus ponens

() () , (b g )

(b g)  (g )( g )

Sylogizm warunkowy

(p1, .. , pn)

(p1/1, .., pn/n)

Reguły wnioskowania

Jeżeli formuła zbudowana ze zmiennych zdaniowych p1,..., pn jest tautologią,

to wstawiając na miejsce zmiennych dowolne zdania otrzymamy zdanie prawdziwe.

Reguła podstawiania

Jeśli na miejsce zmiennych wstawimy dowolne formuły (schematy), to

otrzymana formuła dalej będzie tautologią.

UWAGA: KRZ podaje się dwa systemy dowodzenia Hilbertowski i

Gentzenowski. Systemy te mają różną liczbę aksjomatów

i różne reguły wnioskowania

przyk ady system w formalnych system hilbertowski h
Przykłady systemów formalnychsystem hilbertowski H

System składa się z trzech aksjomatów i jednej reguły dowodzenia (modus ponens)

W celu ułatwienia wnioskowania wprowadza się wiele reguł pochodnych

(które oczywiście najpierw się udowadnia) jedną z nich jest reguła dedukcji

system hilbertowski h cd
System hilbertowski H cd.

Dla wyrażenia U |- A elementy zbioru U

nazywamy założeniami w dowodzie formuły A

(dotyczy to wszystkich formuł systemu H)

Inne reguły to reguła kontrapozycji, przechodniości, podwójnego zaprzeczenia itd.

(ćwiczenia)

Dzięki nowym regułom wnioskowania dowody stają się prostsze

dowody formalne
Dowody formalne

Definicja (dotyczy KRZ)

Wnioskowaniem (dowodem) formuły  ze zbioru formuł X nazywamy skończony

ciąg formuł 1,2,..,n= taki, że formuły 1,2,..,n-1 są aksjomatami lub

elementami zbioru X lub są wnioskami wyprowadzonymi z „wcześniejszych”

formuł za pomocą dopuszczalnych reguł wnioskowania

Definicja (Konsekwencja logiczna)

Cn(R, X) – zbiór wszystkich formuł posiadających dowód na gruncie

systemu <R, X>

X |- Cn({ro,r*}, AksX)

|- Cn({ro}, Aks) tautologia (system Hilbertowski)

UWAGA: Dowody przeprowadzane zgodnie z przedstawionymi

zasadami nazywa się dowodami dedukcyjnymi (a samo

wnioskowanie – wnioskowaniem dedukcyjnym)

twierdzenia
Twierdzenia

Zbiór formuł X jest niesprzeczny, gdy nie istnieje taka formuła ,

że X |-  i X |- 

Twierdzenie

KRZ jest rozstrzygalny tzn. można obliczyć wartość logiczną

każdej formuły

Twierdzenie (Posta)

Niech X S jest dowolnym zbiorem formuł oraz S, wówczas

X |=  X |-  tzn. Cn(ro, AksX)

=> tw. o pełności

<= tw. o poprawności wnioskowania

Twierdzenie (Twierdzenia)

SystemyGi H są systemami poprawnymi i pełnymi

metody badania poprawno ci formu
Metody badania poprawności formuł
  • Metoda jest
  • pełna (jeśli dla każdej badanej formuły, która jest tautologią metoda
  • daje odpowiedź TAK)
  • implementowalna (jeśli dla każdej badanej formuły, która jest
  • tautologią, metoda da odpowiedź TAK, a dla
  • formuły nie będącej tautologią metoda da
  • odpowiedź NIE lub algorytm się zapętli)
metody dowodzenia

Dowody przeprowadzane według następującej reguły wnioskowania

nazywane są dowodami apagogicznymi (d. przez sprowadzenie

do niedorzeczności)

 ()

Metody dowodzenia

Dowody matematyczne opierają się na podstawach logicznych

Najbardziej naturalna metoda dowodzenia – metoda wprost

(z założeń wyprowadzamy wniosek)

Użyteczne (nawet bardzo) okazują się jednak także metody dowodzenia

nie wprost.

  • UWAGA: Za dowody apagogiczne uznawane są m.in. dowody
  • przeprowadzane wg następujących reguł wnioskowania
  • reductio ad absurdum
  • reguła Claviusa ( a a)  a
przyk ad dowodu apagogicznego
Przykład dowodu apagogicznego

Chcemy udowodnić, że formuła

[()][()]

jest prawem rachunku zdań

(hip.) Przypuśćmy, że tak nie jest. Co to znaczy ?

To znaczy, że istnieje takie hv, że

hv([()][()])=0

0

[()][()]

 - 1  - 1  - 0

ale przy takich wartościach , , 

1 0

[()][()]

tymczasem założenie mówi, że

1

()

0 ()

1 0

()

Sprzeczność

1 0



dowody nie wprost
Dowody nie wprost

Inny rodzaj dowodu nie wprost to dowód przez kontrapozycję.

Udowodnienie twierdzenia

(1  2 …  n) 

jest równoważne udowodnieniu twierdzenia

   (1  2 …  n)

UWAGA: Dowody nie wprost są tzw. dowodami niekonstruktywnymi,

które stwierdzają istnienie pewnych obiektów ale ich nie wskazują, ani

nie podają procedury ich znalezienia.