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Vetores II

Vetores II. Combinação Linear. Dados n vetores v 1 , v 2 ,..., v n e n escalares a 1 , a 2 ,..., a n o vetor v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + a n v n , é a combinação linear dos vetores v 1 , v 2 ,..., v n com coeficientes a 1 , a 2 ,..., a n. Exemplo 1. Exemplo 2. Exemplo 2.

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Presentation Transcript

  1. Vetores II

  2. Combinação Linear • Dados n vetores v1, v2,..., vn e n escalares a1, a2,..., an • o vetor v = a1v1 + a2v2+ ... + anvn, é a combinação linear dos vetores v1, v2,..., vn com coeficientes a1, a2,...,an

  3. Exemplo 1

  4. Exemplo 2

  5. Exemplo 2 • Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é combinação linear de u e v, com coeficientes zeros

  6. Exemplo 3

  7. Exemplo 3 • Observando a figura, podemos escrever: w = -2/3v + 0u

  8. Exemplo 4 • Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC • Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

  9. Exemplo 4 • Sabe-se que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo BÂD contém a diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da bissetriz do ângulo BÂD

  10. Exemplo 4 • Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD° , t єR*

  11. Exemplo 4

  12. Exemplo 5 • Observe o paralelepípedo

  13. Exemplo 5 • AG = AB + BC + CG Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG • Como BC = AD e CG = AE, então: AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE

  14. Paralelismo • Definição: Os vetores v1, v2, ..., vnsão colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn • No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

  15. Exemplo 1

  16. Paralelismo • Definição: Os vetores v1, v2, ..., vnsão colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn • No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

  17. Exemplo 2

  18. Propriedade 1 • Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro. • Prova: Considere os seguintes casos: • 1) u = 0 = v; u = tv, tєR • 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v • 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí, | u | uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v

  19. Por outro lado, suponha que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv. • Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.

  20. Vetores Coplanares • Os vetores v1, v2,..., vnsão coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano • Observe que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores • Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares

  21. Exemplo 1

  22. Exemplo 2

  23. Exemplo 3

  24. Exemplo 4 • Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC • Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

  25. Exemplo 5 • Observe o paralelepípedo

  26. Propriedade 1 • Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros. • Prova: 3 possíveis casos

  27. Caso 1 • Um deles sendo o vetor nulo, digamos u = 0 • Podemos escrever: u= 0v + 0w.

  28. Caso 2 • Dois deles são paralelos, digamos u // v e v ≠ 0 • Assim, u = mv = mv + 0w, m R

  29. Caso 3 • Quaisquer dois desses vetores não paralelos • Considere a figura, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w

  30. Tomemos OA= v, OB= u e OC= w. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u, • que intercepta a reta OA no ponto P. Assim, w = OC = OP+ PC

  31. Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv + nu, m,n R • Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n,m R. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.

  32. Dependência Linear • Um Vetor: v é linearmente dependente, se v = 0 • Dois vetores: u e v são linearmente dependentes se eles são paralelos • Três vetores: u, v e w são linearmente dependentes se eles são coplanares

  33. Dependência Linear • Mais de três vetores do espaço (R3), são sempre linearmente dependentes • Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que são linearmente independentes (LI)

  34. Exemplo

  35. Exemplo • 1)AB é ? • 2)AB+BC+CA é ? • 3)AD e AE são ? • 4) AB e ½ AB são ?

  36. Exemplo • 1)AB é LI • 2)AB+BC+CA é LD • 3)AD e AE são LI • 4) AB e ½ AB são LD

  37. Exemplo • 5)AB, AD e AE são ? • 6)AE, AB e DC são ? • 7)AB, AD e FF são ? • 8)AB, BF, BC e AG são ?

  38. Exemplo • 5)AB, AD e AE são LI • 6)AE, AB e DC são LD • 7)AB, AD e FF são LD • 8)AB, BF, BC e AG são LD

  39. Propriedades - 1 • Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u=mv • Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de Paralelismo, temos que u=mv • Suponha u=m’v => (m-m’)v = 0

  40. Propriedades - 2 • Se dois vetores v1 e v2 são LI, então dado v coplanar com v1 e v2, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv1 + nv2

  41. Propriedade – 2 (prova) • Como v, v1 e v2 são coplanares e, v1 e v2 são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv1 + nv2 • Para mostrar que esses escalares são únicos, suponha que existam m’e n’, tais que: v= m’v1+ n’v2 • Então (m- m’ )v1 + (n- n’)v2=0

  42. Propriedade – 2 (prova) • Se m – m’≠ 0 , podemos escrever v1= (n-n’)/(m-m’) v2 • Daí, v1 // v2, o que contradiz o fato de v1 e v2 serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’ • A prova para n e n’ é análoga

  43. Propriedade - 3 • Se três vetores v1, v2 e v3 são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv1+ nv2+ pv3

  44. Propriedade – 3 (Prova) • Suponha que v1, v2 e v3 são LI, temos então os seguintes casos: • 1) v=0. Logo, v= 0v1+0v2+0v3 • 2) v paralelo a um dos vetores, digamos v//v1. Então v=mv1+0v2+0v3

  45. Propriedade – 3 (Prova) • 3) v coplanar com dois dos vetores, digamos v, v1 e v2 são coplanares. Assim, v=mv1+nv2 = mv1+ nv2+ 0v3 • 4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores (próximo slide)

  46. Propriedade – 3 (Prova) • αé o plano paralelo ao plano OA1A2 passando por ponto A • B é o ponto de interseção da reta OA3 com o plano α • Temos:v = OA = OB + BA

  47. Propriedade – 3 (Prova) • Como OB // v3 r e BA é coplanar com v1 e v2, temos: OB=pv3, BA=mv1+nv2 • Logo v=mv1+nv2+pv3 • Para provar que estes escalares são únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2

  48. Base – Coordenadas de Vetor • Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v • Dados dois vetores v1 e v2 LI, dizemos que { v1, v2 } é uma base para o conjunto de vetores coplanares com v1 e v2

  49. Base – Coordenadas de Vetor • Dados três vetores v1, v2 e v3 LI, dizemos que { v1, v2, v3 } é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( R3) • Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois

  50. Base – Coordenadas de Vetor • Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários • Costumamos representar uma base ortonormal por { i , j, k} • Fixada uma base { v1,v2,v3} do espaço, pela propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv1+ nv2+ pv3, onde m, n e p são únicos

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