Vetores
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Vetores. Segmento de Reta Orientado. Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B.

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Presentation Transcript


Vetores

Vetores


Segmento de reta orientado

Segmento de Reta Orientado

  • Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r

  • Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A

  • Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B


Vetores

  • AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B

  • BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A

  • Chamamos BA , oposto de AB

  • Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0


Vetores

  • Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade

  • A medida do segmento AB é denotada por med(AB)

  • Os segmentos nulos têm medida igual a zero.

  • med(AB) = med(BA)


Vetores

  • Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes

  • Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção

  • Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção


Exemplos mesmo sentido

Exemplos – Mesmo sentido


Exemplo sentidos opostos

Exemplo – Sentidos Opostos


Equipol ncia

Equipolência

  • O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se:

    • ambos têm mesma medida e mesmo sentido

    • se ambos são segmentos nulos

  • Denota-se: AB ~ CD


Exemplos

Exemplos


Exemplos1

Exemplos


Propriedades

Propriedades

  • 1. AB ~ AB (reflexiva)

  • 2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica)

  • 3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)


Propriedades1

Propriedades

  • 4. Dados um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD

  • 5. Se AB~CD então BA~DC

  • 6. Se AB~CD então AC~BD


Vetores1

Vetores

  • Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB

  • O vetor determinado por AB, indicamos por AB


Vetores

  • Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD

  • Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si

  • Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0


Vetores

  • Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v


Propriedade

Propriedade

  • Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação:

  • Se AB = CD então AC = BD


Vetores

  • Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e indicamos por |u |

  • Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm mesma direção (mesmo sentido)

  • Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem mesmo sentido de u, e indicamos por u°


Vetores

  • Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v

  • O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço


Soma ponto vetor

Soma – Ponto + vetor

  • Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v


Propriedades2

Propriedades

  • 1. A + 0 = A

  • 2. (A – v ) + v = A

  • 3. Se A+ v =B+ v então A = B

  • 4. Se A+ u= A+ v, então u = v

  • 5. A + AB = B


Soma vetor vetor

Soma – Vetor + Vetor

  • Considere dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v

  • O vetor s = AC é chamado vetor soma de ue v e indicamos por s = u + v


Vetores

  • Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A’ obteremos B’ =A’ + u e C’= B’+ v

  • Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’


Vetores

  • Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’

  • AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’


Propriedades3

Propriedades

(1) u + v = v + u ( comutativa )


Vetores

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )


Vetores

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)


Vetores

(3)u + 0 = u ( elemento neutro )

(4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto )

  • Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.


Vetores

  • Notemos que u – v ≠ v - u


Produto de um n mero real por um vetor

Produto de um número Real por um Vetor

  • Dados a R* e v ≠ 0 , chamamos produto de a por v, o vetor w = av , que satisfaz as condições:

    1. | w | = | a | | v |

    2. A direção de w é a mesma da v

    3. O sentido de w é igual ao de v se a >

    0, e contrário ao de v se a < 0

  • Se a = 0 ou v = 0, o produto av é o vetor nulo


Exemplos2

Exemplos


Vetores

  • Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o versor de v

  • vº = v/| v |

  • portanto v =| v | v°


Propriedades4

Propriedades

  • Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer

  • (1) a(b v) = (ab) v

  • (2) a(u + v) = au + av

  • (3) (a + b)v = av + bv

  • (4) 1 v = v


Exerc cios

Exercícios

  • Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u

v

w


Exerc cios 1

Exercícios 1

  • Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

w/2

-3v

u

v

w

2u


Exerc cio 2

Exercício 2

  • O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre

  • AD+AB

  • BA+DA

  • AC-BC

M

D

C

A

B

N


Exerc cio 21

Exercício 2

  • AN+BC

  • MD+MB

  • BM-1/2DC

M

D

C

A

B

N


Exerc cio 22

Exercício 2

  • AD+AB=AC

  • BA+DA=CD+DA=CA

  • AC-BC=AC+CB=AB

  • AN+BC=AN+NM=AM

  • MD+MB=MD+DN=MN

  • BM-1/2DC=BM+MD=BD

M

D

C

A

N

B


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