slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 66

103-102 CALCULUS II 2 - PowerPoint PPT Presentation


  • 153 Views
  • Uploaded on

103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2. เนื้อหาวิชาในส่วน CALCULUS II ส่วนที่ 2 เกี่ยวข้อง กับเรขาคณิตใน 3 มิติ เช่น เส้นตรง, ระนาบ , เวกเตอร์ ( Vectors ) ใน 3 มิติ และ การประยุกต์ใช้เรื่องอนุพันธ์ ในการพิจารณารูปทรงใน 3 มิติ, การเคลื่อนที่ใน 3 มิติและฟังก์ชันหลายตัวแปร. CALCULUS II.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '103-102 CALCULUS II 2' - dusty


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2

เนื้อหาวิชาในส่วน CALCULUS II ส่วนที่ 2 เกี่ยวข้อง

กับเรขาคณิตใน 3 มิติ เช่น เส้นตรง, ระนาบ, เวกเตอร์ (Vectors) ใน 3 มิติ และ การประยุกต์ใช้เรื่องอนุพันธ์

ในการพิจารณารูปทรงใน 3 มิติ, การเคลื่อนที่ใน 3 มิติและฟังก์ชันหลายตัวแปร

slide2

CALCULUS II

Three dimensional space

Scalar Product and Vector Product

Lines and Planes in space

Vector-Valued Functions and Space curves

Arc Length and the Unit Tangent Vector

Functions of many variables

Partial Derivatives and Chain Rule

Directional Derivatives,

Gradient Vectors and Tangent Planes

Extreme values and Saddle Points

slide7

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (พิกัดฉาก)

Cartesian (Rectangle) Coordinate

จุดกำเนิด พิกัด (0,0,0)

slide13

อัฐภาค (Octant)

ในทำนองเดียวกันกับการ

พิจารณาจตุภาค เราสามารถ

พิจารณาพิกัดฉากใน 3 มิติ

เป็น 8 ส่วน (Oct = อัฐ = 8)

slide14

อัฐภาคที่หนึ่ง (1st Octant)

อัฐภาคที่สอง (2nd Octant)

อัฐภาคที่สาม (3rd Octant)

อัฐภาคที่สี่ (4th Octant)

slide15

อัฐภาคที่ห้า (5th Octant)

อัฐภาคที่หก (6th Octant)

อัฐภาคที่เจ็ด (7th Octant)

อัฐภาคที่แปด (8th Octant)

slide16

ระนาบ xy (xy-plane)

ระนาบ xy ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,y,0)

slide17

ระนาบ xz (xz-plane)

ระนาบ xz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,0,z)

slide18

ระนาบ yz (yz-plane)

ระนาบ yz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,y,z)

slide19

แกนx (x-axis)

แกน x ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,0,0)

slide20

แกนy (y-axis)

แกน y ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,y,0)

slide21

แกนz (z-axis)

แกน z ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,0,z)

slide27

จงพิจารณารูปทรงที่มีจุดต่างๆ ห่างจากจุดกำเนิด (0,0,0)

เป็นระยะทาง 5 หน่วย

slide29

สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี

รัศมี r หน่วย คือ

slide30

สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี

รัศมี r หน่วย คือ

slide31

สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,0,-4) และมี

รัศมี 3 หน่วย คือ

slide32

สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,2,-3) และมี

รัศมี 11 หน่วย คือ

slide33

จงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้จงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้

มีจุดศูนย์กลางที่ใด และมีรัศมีเท่าใด

slide36

จุดกึ่งกลางระหว่างจุด 2 จุด

ในการหาจุดกึ่งกลาง M ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ

ระหว่างจุด 2 จุด P1(x1, y1, z1)และ P2(x2, y2, z2) หาได้ดังนี้

slide39

ในบางครั้ง เราพิจารณาแค่เพียงทิศทาง และ ระยะทาง

จากจุดที่สนใจจากจุดหนึ่ง ไปยังอีกจุดหนึ่ง เท่านั้น โดย

ที่เราไม่จำเป็นต้องทราบพิกัดที่แน่นอน นั่นเป็นแนว

ความคิดที่นำไปสู่การทำงานเรื่อง เวกเตอร์ (Vector)

ระวัง!!!

เวกเตอร์ไม่ใช่ปริมาณที่มีขนาดและทิศทางอย่างที่เรา

เข้าใจกัน

slide40

ในการศึกษา ณ ตอนนี้ให้พิจารณาเวกเตอร์เปรียบเสมือน

ลูกศรที่มีการบอกทิศทางและมีขนาดคือความยาวของลูกศร

slide41

เวกเตอร์ที่มีขนาดเดียวกัน และ มีทิศทางเดียวกัน ถือว่า

เป็นเวกเตอร์ตัวเดียวกัน

(1,2,1)

(0,1,1)

(1,0,0)

(2,1,0)

slide42

เวกเตอร์ 0 เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 0 และไม่สามารถระบุทิศทางได้ โดยมาก เรามันจะพิจารณาเวกเตอร์ 0 เป็น

เสมือนจุด

slide43

การดำเนินการบนเวกเตอร์การดำเนินการบนเวกเตอร์

1. การดำเนินการบวกบนเวกเตอร์

1.1 v+w = w+v

1.2 0+v = v+0 = v

หมายเหตุ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์บวกกัน ยังเป็นเวกเตอร์

slide44

2. การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์(scalar) (หรือตัวเลข)

หมายเหตุ หลังจากดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์เรายังคงได้เวกเตอร์

2.1 คูณด้วยสเกลาร์บวก ได้ทิศทางคงเดิม แต่ขนาดของเวกเตอร์

เปลี่ยนไป

2.1.1 ขนาดของเวกเตอร์หดสั้นลง

2.1.2 ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น

slide45

2.2 คูณด้วยสเกลาร์ลบ ได้ทิศทางตรงข้ามเดิม และขนาดของ

เวกเตอร์เปลี่ยนไป

2.2.1 ขนาดของเวกเตอร์หดสั้นลง

2.2.2 ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น

slide46

หมายเหตุถ้าเวกเตอร์ u และ v ไม่ใช่เวกเตอร์ 0 ทั้งคู่

แล้วเวกเตอร์ u และ v ขนานกันก็ต่อเมื่อ

u = v

เมื่อ เป็น scalar

slide47

หมายเหตุ จากการดำเนินการทั้งสองอย่างทำให้เราได้

การลบเวกเตอร์ นั่นคือ v-w = v+(-w) นั่นเอง

w

v

w

v+w

v

-w

-w

v+(-w)=v-w

v

slide49

การพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบการพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบ

(Considering vector in component form)

การพิจารณาเวกเตอร์ในลักษณะนามธรรม ทำให้ยาก

ต่อความเข้าใจ และนำไปประยุกต์ใช้

เพื่อความสะดวกเราจะพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบ

ของเวกเตอร์พื้นฐานที่มีลักษณะง่ายต่อการนำไปใช้แทน

slide50

เวกเตอร์ i,j และ k

i คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน x ทางบวก

k

j

j คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน y ทางบวก

i

k คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน z ทางบวก

slide51

โดยทฤษฎีบท เราได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ i,j และ k ได้เสมอ

v=v1i +v2j +v3k

และโดยทั่วไปเรามันจะเขียนเวกเตอร์ v ในรูปของส่วนประกอบดังนี้

v=<v1, v2, v3>

slide52

ทฤษฎีบท เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากันก็ต่อเมื่อส่วน

ประกอบย่อยแต่ละส่วน มีค่าเท่ากันทั้งหมด

เช่น <a,b,c> = <-2, , > ก็ต่อเมื่อ

slide53

ทฤษฎีบท ถ้า v=<v1, v2, v3>และ w= <w1, w2, w3> แล้ว

v+w = < v1+w1, v2+w2, v3+w3>

= (v1+w1)i+(v2+w2)j+(v3+w3)k

v-w = < v1-w1, v2-w2, v3-w3>

= (v1-w1)i+(v2-w2)j+(v3-w3)k

v = < v1, v2, v3>

= ( v1)i+( v2)j+( v3)k

slide54

ตัวอย่าง ถ้า v=<-2,1,0>และ w= <3,-4,-5> แล้ว

v+w =

0.5v =

-2w =

2w-3v =

slide55

การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2

slide57

การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2

P2(x2, y2, z2)

P1(x1, y1, z1)

slide58

ขยายแนวคิดสู่ 3 มิติพบว่า

slide59

การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1(0,-2,5) ไปยังจุด P2 (3,4,-1) และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 (0,-2,5)และจุด P2(3,4,-1)

slide60

ทฤษฎีบท สำหรับเวกเตอร์ u,v และ w

และสเกลาร์ k และ lใดๆ แล้ว

slide62

ทฤษฎีบท ถ้า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ

ขนาดของ v คือ

slide63

ทฤษฎีบท ถ้า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ

ขนาดของ v คือ

slide64

จงหาขนาดของ

v= <3,-4,-5>

w= 3i+4j+5k

2v

-3w

0

slide65

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ถ้า vไม่ใช่เวกเตอร์ 0 เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และ

มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v คือ

เวกเตอร์

หมายเหตุ เราเรียกการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ว่า “การทำให้เป็นบรรทัดฐาน” (normalization)

slide66

จงหาเวกเตอร์ 1 หน่วย ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ

เวกเตอร์

v= <2,-2,1>

ad