103-102 CALCULUS II
Download
1 / 66

103-102 CALCULUS II 2 - PowerPoint PPT Presentation


  • 153 Views
  • Updated On :

103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2. เนื้อหาวิชาในส่วน CALCULUS II ส่วนที่ 2 เกี่ยวข้อง กับเรขาคณิตใน 3 มิติ เช่น เส้นตรง, ระนาบ , เวกเตอร์ ( Vectors ) ใน 3 มิติ และ การประยุกต์ใช้เรื่องอนุพันธ์ ในการพิจารณารูปทรงใน 3 มิติ, การเคลื่อนที่ใน 3 มิติและฟังก์ชันหลายตัวแปร. CALCULUS II.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '103-102 CALCULUS II 2' - dusty


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2

เนื้อหาวิชาในส่วน CALCULUS II ส่วนที่ 2 เกี่ยวข้อง

กับเรขาคณิตใน 3 มิติ เช่น เส้นตรง, ระนาบ, เวกเตอร์ (Vectors) ใน 3 มิติ และ การประยุกต์ใช้เรื่องอนุพันธ์

ในการพิจารณารูปทรงใน 3 มิติ, การเคลื่อนที่ใน 3 มิติและฟังก์ชันหลายตัวแปร


CALCULUS II

Three dimensional space

Scalar Product and Vector Product

Lines and Planes in space

Vector-Valued Functions and Space curves

Arc Length and the Unit Tangent Vector

Functions of many variables

Partial Derivatives and Chain Rule

Directional Derivatives,

Gradient Vectors and Tangent Planes

Extreme values and Saddle Points



ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (พิกัดฉาก)

Cartesian (Rectangle) Coordinate

จุดกำเนิด พิกัด (0,0,0)


จตุภาค ( (พิกัดฉาก)Quadrant)


อัฐภาค ( (พิกัดฉาก)Octant)

ในทำนองเดียวกันกับการ

พิจารณาจตุภาค เราสามารถ

พิจารณาพิกัดฉากใน 3 มิติ

เป็น 8 ส่วน (Oct = อัฐ = 8)


อัฐภาคที่หนึ่ง (1 (พิกัดฉาก)st Octant)

อัฐภาคที่สอง (2nd Octant)

อัฐภาคที่สาม (3rd Octant)

อัฐภาคที่สี่ (4th Octant)


อัฐภาคที่ห้า (5 (พิกัดฉาก)th Octant)

อัฐภาคที่หก (6th Octant)

อัฐภาคที่เจ็ด (7th Octant)

อัฐภาคที่แปด (8th Octant)


ระนาบ (พิกัดฉาก)xy (xy-plane)

ระนาบ xy ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,y,0)


ระนาบ (พิกัดฉาก)xz (xz-plane)

ระนาบ xz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,0,z)


ระนาบ (พิกัดฉาก)yz (yz-plane)

ระนาบ yz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,y,z)


แกน (พิกัดฉาก)x (x-axis)

แกน x ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(x,0,0)


แกน (พิกัดฉาก)y (y-axis)

แกน y ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,y,0)


แกน (พิกัดฉาก)z (z-axis)

แกน z ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยู่ในรูป

(0,0,z)


ความยาว = (พิกัดฉาก)






จง (1,1, 3) พิจารณารูปทรงที่มีจุดต่างๆ ห่างจากจุดกำเนิด (0,0,0)

เป็นระยะทาง 5 หน่วย


สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดสมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (0,0,0) และมี

รัศมี 5 หน่วย คือ


สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดสมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี

รัศมี r หน่วย คือ


สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดสมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี

รัศมี r หน่วย คือ


สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดสมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,0,-4) และมี

รัศมี 3 หน่วย คือ


สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดสมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,2,-3) และมี

รัศมี 11 หน่วย คือ


จงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้จงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้

มีจุดศูนย์กลางที่ใด และมีรัศมีเท่าใด


จงวาดกราฟของสมการจงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้


จงวาดกราฟของสมการจงหาว่าทรงกลมที่เป็นไปตามสมการต่อไปนี้


จุดกึ่งกลางระหว่างจุด 2 จุด

ในการหาจุดกึ่งกลาง M ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ

ระหว่างจุด 2 จุด P1(x1, y1, z1)และ P2(x2, y2, z2) หาได้ดังนี้



ในบางครั้ง เราพิจารณาแค่เพียงทิศทาง และ ระยะทาง

จากจุดที่สนใจจากจุดหนึ่ง ไปยังอีกจุดหนึ่ง เท่านั้น โดย

ที่เราไม่จำเป็นต้องทราบพิกัดที่แน่นอน นั่นเป็นแนว

ความคิดที่นำไปสู่การทำงานเรื่อง เวกเตอร์ (Vector)

ระวัง!!!

เวกเตอร์ไม่ใช่ปริมาณที่มีขนาดและทิศทางอย่างที่เรา

เข้าใจกัน


ในการศึกษา ณ ตอนนี้ให้พิจารณาเวกเตอร์เปรียบเสมือน

ลูกศรที่มีการบอกทิศทางและมีขนาดคือความยาวของลูกศร


เวกเตอร์ ตอนนี้ให้พิจารณาเวกเตอร์เปรียบเสมือนที่มีขนาดเดียวกัน และ มีทิศทางเดียวกัน ถือว่า

เป็นเวกเตอร์ตัวเดียวกัน

(1,2,1)

(0,1,1)

(1,0,0)

(2,1,0)


เวกเตอร์ 0 ตอนนี้ให้พิจารณาเวกเตอร์เปรียบเสมือนเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 0 และไม่สามารถระบุทิศทางได้ โดยมาก เรามันจะพิจารณาเวกเตอร์ 0 เป็น

เสมือนจุด


การดำเนินการบนเวกเตอร์การดำเนินการบนเวกเตอร์

1. การดำเนินการบวกบนเวกเตอร์

1.1 v+w = w+v

1.2 0+v = v+0 = v

หมายเหตุ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์บวกกัน ยังเป็นเวกเตอร์


2. การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์(scalar) (หรือตัวเลข)

หมายเหตุ หลังจากดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์เรายังคงได้เวกเตอร์

2.1 คูณด้วยสเกลาร์บวก ได้ทิศทางคงเดิม แต่ขนาดของเวกเตอร์

เปลี่ยนไป

2.1.1 ขนาดของเวกเตอร์หดสั้นลง

2.1.2 ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น


2. การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์(2 คูณด้วยสเกลาร์ลบ ได้ทิศทางตรงข้ามเดิม และขนาดของ

เวกเตอร์เปลี่ยนไป

2.2.1 ขนาดของเวกเตอร์หดสั้นลง

2.2.2 ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น


หมายเหตุ การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์(ถ้าเวกเตอร์ u และ v ไม่ใช่เวกเตอร์ 0 ทั้งคู่

แล้วเวกเตอร์ u และ v ขนานกันก็ต่อเมื่อ

u = v

เมื่อ เป็น scalar


หมายเหตุ การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์( จากการดำเนินการทั้งสองอย่างทำให้เราได้

การลบเวกเตอร์ นั่นคือ v-w = v+(-w) นั่นเอง

w

v

w

v+w

v

-w

-w

v+(-w)=v-w

v


v-v = v+(-v)= การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์(

v

-v


การพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบการพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบ

(Considering vector in component form)

การพิจารณาเวกเตอร์ในลักษณะนามธรรม ทำให้ยาก

ต่อความเข้าใจ และนำไปประยุกต์ใช้

เพื่อความสะดวกเราจะพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบ

ของเวกเตอร์พื้นฐานที่มีลักษณะง่ายต่อการนำไปใช้แทน


เวกเตอร์ การพิจารณาเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบi,j และ k

i คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน x ทางบวก

k

j

j คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน y ทางบวก

i

k คือเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

และมีทิศทางในแนวแกน z ทางบวก


โดยทฤษฎีบท เราได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ i,j และ k ได้เสมอ

v=v1i +v2j +v3k

และโดยทั่วไปเรามันจะเขียนเวกเตอร์ v ในรูปของส่วนประกอบดังนี้

v=<v1, v2, v3>


ทฤษฎีบท เราได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากันก็ต่อเมื่อส่วน

ประกอบย่อยแต่ละส่วน มีค่าเท่ากันทั้งหมด

เช่น <a,b,c> = <-2, , > ก็ต่อเมื่อ


ทฤษฎีบท เราได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ถ้า v=<v1, v2, v3>และ w= <w1, w2, w3> แล้ว

v+w = < v1+w1, v2+w2, v3+w3>

= (v1+w1)i+(v2+w2)j+(v3+w3)k

v-w = < v1-w1, v2-w2, v3-w3>

= (v1-w1)i+(v2-w2)j+(v3-w3)k

v = < v1, v2, v3>

= ( v1)i+( v2)j+( v3)k


ตัวอย่าง เราได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ถ้า v=<-2,1,0>และ w= <3,-4,-5> แล้ว

v+w =

0.5v =

-2w =

2w-3v =


การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2


สังเกตว่าการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง


การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2

P2(x2, y2, z2)

P1(x1, y1, z1)


ขยายแนวคิดสู่ 3 มิติพบว่า


การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทางการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

จากจุด P1(0,-2,5) ไปยังจุด P2 (3,4,-1) และมีขนาดเท่ากันกับ

ระยะทางระหว่างจุด P1 (0,-2,5)และจุด P2(3,4,-1)


ทฤษฎีบทการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง สำหรับเวกเตอร์ u,v และ w

และสเกลาร์ k และ lใดๆ แล้ว


ขนาดของเวกเตอร์การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง


ทฤษฎีบทการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง ถ้า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ

ขนาดของ v คือ


ทฤษฎีบทการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง ถ้า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ

ขนาดของ v คือ


จงหาขนาดของ การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

v= <3,-4,-5>

w= 3i+4j+5k

2v

-3w

0


เวกเตอร์หนึ่งหน่วยการหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง

ถ้า vไม่ใช่เวกเตอร์ 0 เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และ

มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v คือ

เวกเตอร์

หมายเหตุ เราเรียกการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ว่า “การทำให้เป็นบรรทัดฐาน” (normalization)


จงหาเวกเตอร์ 1 หน่วย ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ

เวกเตอร์

v= <2,-2,1>


ad