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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

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Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07. PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE. Le strutture algebriche e le classi di resto Simonetta Guglielmetto. DEFINIZIONE DI GRUPPO. Un insieme G dotato di una operazione binaria interna  , è un

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progetto lauree scientifiche

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico

Anno Scolastico 2006-07

PROGETTOLAUREE SCIENTIFICHE

Le strutture algebriche e le classi di resto

Simonetta Guglielmetto

definizione di gruppo
DEFINIZIONE DI GRUPPO

Un insieme G dotato di una operazione binaria

interna , è un

GRUPPO

se sono verificate le seguenti proprietà:

G1) – proprietà associativa

G2) – esistenza dell\'elemento neutro

G3) – esistenza del simmetrico

Se un gruppo gode anche della proprietà

commutativa, si chiama

GRUPPO COMMUTATIVO O ABELIANO.

definizione di anello
DEFINIZIONE DI ANELLO
  • Un insieme A dotato di due operazioni binarie
  • interne , * è un
  • ANELLO
  • se vengono rispettate le seguenti condizioni:
  • A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano
  • A2) – la struttura (A, *) è associativa
  • A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a 
  • Se * è commutativa, si ha un
  • ANELLO COMMUTATIVO
  • Se esiste l’elemento neutro di * , si ha un
  • ANELLO UNITARIO
definizione di corpo e campo
DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO

Un insieme C dotato di due operazioni binarie , *

è un CORPO

se vengono rispettate le seguenti condizioni:

C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano

C2) – la struttura (C0, *) è un gruppo

C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a 

Un corpo è detto CAMPO

se (C, ,*) e l’operazione * è commutativa

relazioni in un insieme e loro proprieta
RELAZIONI IN UN INSIEME E LORO PROPRIETA’

Dato un insieme A si chiama relazione definita in A ogni legge che associa elementi di A con elementi di A

Esempi :

1) A = insieme degli alunni di una scuola

Relazione R: a R b  a e b appartengono alla stessa classe

2) A= insieme dei numeri interi

Relazione R: a R b  a < b

slide6

Una relazione definita in un insieme A può verificare alcune proprietà :

  • RIFLESSIVA :
  • a  A a Ra
  • ANTIRIFLESSIVA :
  • a  A a Ra
  • SIMMETRICA :
  • a,b  Ase a Rb allora b Ra
  • ANTISIMMETRICA : a,b  Ase a Rb e b Ra allora a=b
  • TRANSITIVA :
  • a,b,c  A , se a Rb e b Rc allora anche a Rc
slide7

Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE D’ORDINE LARGO se verifica le proprietà RIFLESSIVA, ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA

ESEMPIO:

In Z la relazione R: a R b  a  b

Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA se verifica le proprietà RIFLESSIVA, SIMMETRICA E TRANSITIVA

ESEMPIO:

A = insieme degli alunni di una scuola

a R b  a e b appartengono alla stessa classe

le classi di resto
LE CLASSI DI RESTO
  • DEFINIZIONE: due numeri interi a e b sono CONGRUI MODULO n se differiscono per un multiplo di n e si scrive a  b mod n se a – b = nk
  • Indicando con nZ l’insieme dei multipli interi di n si può anche dire che a  b mod n se a – b  n Z
  • Si può dimostrare la seguente proprietà:
  • a  b mod n solo se i resti della divisione di a e b per n sono uguali
  • Esempi
  • 15 mod 425 49 mod 6
  • -7 5 mod 3 (perché?) -15 ?? mod 2
slide9

Proprietà : Dati due numeri interi a e b, con b≠ 0, esistono sempre e sono unici i due numeri interi q e r tali che:

  • a = b q + r con la condizione 0  r <|b|
  • Se a  0 e b > 0 la divisione è quella tra i numeri naturali
  • Es.15:215 = 2  7 + 1 q=6 r=1
  • Se a  0, si esegue la divisione di – a per b, ma considerando il resto negativo e poi si cambia segno sia al quoziente sia al resto
  • Es. -12 : 5 12=5  3 - 3
  • – 12 = 5  (- 3) + 3
  • q=-3 r =3
slide10

La relazione di congruenza modulo n definita in Z gode delle proprietà

  • riflessiva : a a mod n
  • simmetrica : se a b mod n allora b a mod n
  • transitiva : a b mod n e b c mod n allora anche
  • a c mod n
  • Pertanto si possono costruire n classi di equivalenza [0],[1],[2],…, [n-1] dette CLASSI DI RESTO MODULO N e costruire l’insieme quoziente Zn
slide11

dove

[0]=insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 0,

[1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 1,

[2] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 2,

[n-1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è n-1

Esempi

Z2=  [0],[1] 

Z4=  [0],[1],[2], [3]

Z5=  [0],[1],[2], [3],[4] 

Z6= [0],[1],[2], [3],[4],[5] 

operazioni in z n
OPERAZIONI IN Zn
  • Definiamo in Zn l’operazione ADDIZIONE

[a] + [b] =[a+b]

  • e l’operazione MOLTIPLICAZIONE

[a]  [b] =[a b]

Costruiamo le relative tabelle nel caso di n=2,3,4,5,6

Z2

slide13

Z3

Z4

slide16

ESERCIZI

  • Verificare per ogni operazione le proprietà
    • associativa,
    • commutativa,
    • esistenza elemento neutro,
    • esistenza simmetrico,
    • distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione in Z4, Z5,Z6
proprieta di z n
PROPRIETA’ DI ( Zn , + ,  )
  • Dalle tabelle precedenti si osserva che
  • l’operazione ADDIZIONE è sempre
  • associativa,
  • commutativa,
  • esiste l’elemento neutro
  • esiste il simmetrico di ogni elemento

quindi

( Zn , + ) è un gruppo abeliano

slide18

Dalle tabelle precedenti si osserva che

  • l’operazione MOLTIPLICAZIONE è sempre
    • associativa,
    • commutativa,
    • esiste l’elemento neutro
    • esiste il simmetrico di ogni elemento SOLO in Z3 e Z5
    • vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione
    • NON vale la legge di annullamento del prodotto in Z4 e Z6
slide19

( Zn , +,  )

è un ANELLO UNITARIO COMMUTATIVO

( Zn , +,  ) è un CAMPO solo se n è primo

slide20

Esercizio:

Costruire le tabelle relative a Z9 e verificare che si tratta solo di un anello unitario commutativo ; individuare quali elementi non hanno il simmetrico e cercare una legge che li individui in Zn

Esercizio:

Verificare che la nota prova del nove della moltiplicazione altro non è che un’applicazione delle classi di resto modulo 9

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