Badania operacyjne

1. Badania operacyjne Paweł Górczyński pawel.gorczynski@wszim-sochaczew.edu.pl

2. Wstęp • Termin „badanie operacyjne” powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. • W terminologii angielskiej używa się terminu „Badania operacyjne” – „Operational Research” • W terminologii amerykańskiej używa się terminu „Nauka o Zarządzaniu” – „Management Science” Definicja: Badania operacyjne to naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych. – wg. Harveya Wagnera

3. Dziedziny Problemy do optymalizacji możemy znaleźć w różnych dziedzinach życia gospodarczego. Źródło www.solver.com Produkcja Transport Finanse Inwestycje Zakupy Zasoby ludzkie

4. ekonomia SE statystyka EM SM matematyka Obszar wiedzy badań operacyjnych EM – ekonomia matematyczna SE – statystyka ekonomiczna SM – statystyka matematyczna

5. Pola zastosowań Pole zastosowań badań operacyjnych obejmuje sporządzanie matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów (modeli) procesów decyzyjnych charakteryzujących się dużą złożonością oraz niepewnością. Opisy / modele umożliwiają analizowanie procesów decyzyjnych i pomagają w wyborze optymalnej decyzji. Def. Model jest równaniem / układem równań za pomocą którego odzwierciedlamy procesy decyzyjne

6. Etapy wykorzystania metod PL w procesie podejmowania decyzji Ogół prac związanych z wykorzystaniem metod programowania liniowego w procesie podejmowania decyzji podzielić można na cztery etapy: • I budowa modelu (zadania) PL, • II rozwiązanie zadania PL • III weryfikacja modelu i rozwiązania • IV opracowanie systemu kontroli

7. Szczegóły etapu I W etapie I powinno się sformułować: • co jest celem działania • o czym mamy decydować • jakie są warunki w jakich działamy • jakie środki wchodzą w grę • kryterium umożliwiające ocenę decyzji Następnie budujemy zadanie PL rozpoczynając od stworzenia listy zmiennych decyzyjnych, zbudowania funkcji celu i zespołu równań / nierówności określających zbiór decyzji dopuszczalnych.

8. Przykład 1 • Zakład wytwarza dwa produkty A i B o cenie 3 i 4 zł. Należy opracować dzienny plan produkcji tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa. • Produkcja jest limitowana przez surowiec podstawowy i czas pracy maszyn.Max. dzienny czas pracy maszyn - 500 minut. Dzienny limit surowca 350 kg.Sztuka wyrobu A wymaga 1 min pracy maszyny, natomiast sztuka wyrobu B – 2 min. Zużycie / sztukę wyrobu A i B - 1 kg. Jednostkowy zysk za wyrób A - 2 zł, wyrób B - 1 zł. Zysk min. - 600 zł.

9. Etap I - budowa modelu • 1. Co jest celem działania? - produkcja wyrobów A i B • 2. o czym chcemy decydować? - o rozmiarach dziennej produkcji wyrobów A i B. • 3. Jakie są warunki - patrz opis • 4. Jakie mamy środki? - surowiec podstawowy, praca maszyn • 5. Jakie jest kryterium oceny planu? - maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu

10. Sformułowania zadania lista zmiennych decyzyjnych • x1 - dzienna produkcja wyrobu A [sztuki] • x2 - dzienna produkcja wyrobu B [sztuki] funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu) Ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych

11. Przykład 2 • Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2.W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane.Limity te wynoszą: środek I – 96000 jedn., natomiast środek II – 80000 jedn.Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2 podano w tablicy 1.

12. Przykład 2 cd • Wiadomo, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów, stanowiącego wąskie gardło procesu produkcyjnego, nie pozwalają produkować więcej niż 3000 szt. wyrobów W1 oraz 4000 szt. wyrobów W2. • Optymalne proporcje produkcji kształtują się odpowiednio jak 3:2. Cena sprzedaży (w zł) jednostki wyrobu W1 wynosi 30, a wyrobu W2 – 40. • Ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację przychodu ze sprzedaży przy istniejących ograniczeniach. • W rozwiązaniu zastosować metodę geometryczną.

13. Rozwiązanie • Na początek należy zbudować model matematyczny opisujący przedstawioną powyżej sytuację. Niech x1 oznacza ilość produkcji wyrobu W1, a x2 – ilość produkcji wyrobu W2. Biorąc pod uwagę limity środków produkcji I i II, mamy dwa pierwsze ograniczenia.

14. Rozwiązanie cd • Trzeci warunek opisujący optymalne proporcje przybierze postać: • Warunki brzegowe przybiorą postać: • Funkcja celu Wielkość produkcji nie może być ujemna.Z drugiej strony mamy ograniczenia produkcji dla wyrobu I i II – „wąskie gardła”

15. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych znajduje się na prostej nr (3). Im dalej od pkt (0,0) tym wartość funkcji celu będzie większa.Należy sprawdzić jakie będą współrzędne, pkt przecięcia prostych 3 i 4Znając pkt przecięcia proszę policzyć wartości zmiennych x1 i x2 oraz wartość funkcji celu. x2 (4) 8000 (3) 6000 (5) 4000 2000 0 2000 4000 6000 8000 x1 (2) (1)

16. Przykład 3 • Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2. Ograniczeniem w procesie produkcji są zapasy trzech surowców: S1, S2, S3. Ustalić rozmiary produkcji wyrobów W1 i W2, które zagwarantują maksymalny przychód ze sprzedaży przy istniejących zapasach.

17. Rozwiązanie • W modelu występują dwie zmienne decyzyjne x1, x2 określające wielkość produkcji odpowiednio wyrobu W1 i W2. • Ponieważ w modelu występują tylko dwie zmienne decyzyjne, można go rozwiązać metodą geometryczną – układ współrzędnych x1, x2

18. Model matematyczny Funkcja celu

19. Rozwiązanie graficzne - step by step Zbiór rozwiązań dopuszczalnych wyznaczony jest przez wielobok.Max wartość funkcji celu znajduje się w jednym z wierzchołków. Należy obliczyć współrzędne wierzchołków. Następnie policzyć wartość funkcji celu dla każdego wierzchołka. Poszukać wartości max. x2 1000 800 600 400 200 200 400 600 800 x1 (3) (2) (4)