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第 二十四 章 圆. 24.1.3 弧、弦、圆心角. 教学目标： 知识与技能： 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心 角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它 两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题 中的应用． 过程与方法： 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后 用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用
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第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标：知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心教学目标：知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心 角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它 两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题 中的应用． 过程与方法：通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后 用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用 它解决一些具体问题 情感态度与价值观:利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑 战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 难点：探索定理和推导及其应用． 教学方法：自主探究法
☆复习引入 1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的? 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线。垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的。 2、绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。
A B 一、概念 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. · O 练一练：找出右上图中的圆心角。 圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB
议一议 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ④ ① ② ③
二、探究 ∴重合，AB与A′B′重合． 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 在等圆中，是否也能得到类似的结论呢？ A′ A′ B B B′ · · B′ A O O A 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， 显然∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．（P83） 三、定理 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________． 相等 相等 相等 相等
A A B B ●O ●O′ ●O ⌒ ⌒ 可推出 ②AB=A′B′ 圆心角,弧,弦之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等. B′ A′ B′ A′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′
A A B B ●O′ ●O ●O ⌒ ⌒ 可推出 ②AB=A′B′ 拓展与升华 在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. B′ A′ B′ A′ ①∠AOB=∠A′O′B′ 如由条件: ③AB=A′B′
A A B B ●O′ ●O ●O ⌒ ⌒ 可推出 ②AB=A′B′ 推论 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. B′ A′ B′ A′ ①∠AOB=∠A′O′B′ 如由条件: ③AB=A′B′
三、定理 A′ A′ A′ B B · · · · · 请利用右图用数学语言叙述一下我们刚学的三条定理。 B′ B′ B′ B′ O O O O O 1、 A 2、 3、
O 等对等定理整体理解： B (1) 圆心角 知一得二 α A (2) 弧 α (3) 弦 B1 A1
O 延伸： 等对等定理 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 B α A α B1 A1
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 ， 根据圆心角、弧、弦的关系定理可知： O ⌒ ⌒ 不正确,因为不在同圆或等圆中. B A
· E B A O D F C 四、练习 （见教材P83练习 1 ） 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，_________________． （2）如果 ，那么____________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ AB=CD AB=CD
例1 如图, 在⊙O中， ，∠ACB=60°， 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 五、例题 A 证明： · ∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形 O B C 又∴∠ACB=60°， ∴ ⊿ABC是等边三角形 ，AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
E D · C A B O 六、练习 （见教材P83练习 2 ）如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
⌒ ⌒ E ⌒ D · BC=CD=DE C A B O 1、如图,AB是⊙O的直径， ,∠COD=35°, 求∠AOE的度数．
2、⊙O1和⊙O2是等圆,AD‖O1O2,正确的是() A.AB= CD且AB≠CDB.AB= CD且AB≠CD C.AB= CD且AB= CDD.以上都不对 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B C D A O1 O2
A C . O D B 3、如图，已知AD=BC，求证AB=CD. 变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD
⌒ ⌒ 4、如图，CD是⊙O的弦,AC=BD,OA、OB分别交CD于E、F. 求证：△OEF是等腰三角形. O E F D C B A
变式：如图:在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD变式：如图:在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF ︵ ︵
如图，已知AB、CD为 的两条弦， .求证:AB＝CD. 七、思考
A O P B C D ⌒ 2、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD. （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
B O α A α B1 A1 归纳： 1、三个元素： 圆心角、弦、弧 2、三个相等关系： (1) 圆心角相等 知一得二 (2) 弧相等 (3) 弦相等
八、作业 1、教材87－88页 第2，3, 11题 2、完成练习册相关部分作业。
