Methodologie & Statistiek I

Methodologie& Statistiek I De systematiek van het toeval 4.1

U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen! Gebruikmaken van internet: http://www.stat.unimaas.nl • Education • Health sciences • Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 4 (Systematiek van …) --- Powerpointviewer downloaden”

Deze diapresentatie werd vervaardigd door Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Michel Janssen Postbus 616 6200 MD Maastricht michel.janssen@stat.unimaas.nl

Methodologie& Statistiek I De systematiek van het toeval 4.1 19 september 2001

Ik wil op basis van gegevens uit een steekproef graag uitspraken doen over de populatie waaruit de steekproef is getrokken In de praktijk vaak: Op basis van bekend steekproefgemiddelde uitspraken doen over onbekendem van de populatie Om inzicht te krijgen in het gedrag van steekproefgemiddelde onderzoeken hoe steekproefgemiddelden uit een bekende populatie zich gedragen

Proberen inzicht te krijgen in het gedrag van steekproefgemiddelden (Is er sprake van bepaalde wetmatigheden ?) - met behulp van wiskundige exercisie ? - intuitief en gebruikmakend van simulaties populatie alle mogelijke steekproeven van n stuks kijken naar de gemiddelden van die steekproeven

intuitie en simulaties met speciale aandacht voor vorm van populatie en verdeling van steekproefgemiddelden gemiddelde en variantie eventuele invloed van steekproefgrootte op deze zaken

een eerste poging….. populatie: normale verdeling met m= 100 en s2= 400 steekproeven: omvang 4 1000 steekproeven

populatie

wijzig omvang steekproeven….. populatie: normale verdeling met m= 100 en s2= 400 steekproeven: omvang 9 ipv 4 1000 steekproeven

nog grotere steekproeven….. populatie: normale verdeling met m= 100 en s2= 400 steekproeven: omvang 25 ipv 9 1000 steekproeven

samenvatting:

tweede poging….. populatie: rechthoekige verdeling [0,2,3,4,6] met m= 3 en s2= 4 1000 steekproeven

populatie

samenvatting:

laatste poging….. populatie: scheve verdeling met m= 3.35 en s2= 11.22 1000 steekproeven

populatie

CONCLUSIE Als uit een willekeurige populatie met m en s2, steekproeven van omvang n worden getrokken, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde= m en variantie= s2 /n de benadering wordt beter bij toenemende n!

steekproef van 9 stuks gemiddelde= 25 ? kan die steekproef afkomstig zijn uit een populatie met m= 28 en s= 5 (d.w.z. s2=25) ?

als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= 28 en s= 5

als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= 28 en s= 5 dan... is het gevonden gemiddelde (= 25) een exemplaar uit de verdeling van gemiddelden uit steekproeven met n= 9

als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= 28 en s= 5 dan... is het gevonden gemiddelde (= 25) een exemplaar uit de verdeling van gemiddelden uit steekproeven met n= 9 en die verdeling is bekend!!!!!!

als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= 28 en s= 5 dan... is het gevonden gemiddelde (= 25) een exemplaar uit de verdeling van gemiddelden uit steekproeven met n= 9 en die verdeling is bekend!!!!!!of niet??

gemiddelden van steekproeven (n=9) uit een willekeurige populatie met m= 28 en s=5 (s2= 25) vormen bij benadering een normale verdeling met m= 28 en s2= 25/9 dus s= 5/3 blijft de vraag hoe waarschijnlijk de gevonden waarde (=25) is m= 28 s= 5/3

trek uit een normale verdeling willekeurig (random) 2 getallen welkewaarde is waarschijnlijker?

trek uit een normale verdeling willekeurig (random) 2 getallen welkewaarde is waarschijnlijker? ‘waarschijnlijk’ kwantificeren!

‘waarschijnlijk’ kwantificeren a b het gebied onder de curve en links van lijn a is kleiner dan het gebied rechts van lijn b: is minder extreem, dus waarschijnlijker dan

gemiddelde een waarde die ver af ligt van het gemiddelde is extremer dan een waarde die dichter bij ligt. de kans op zo’n waarde is kleiner. de afstand van een waarde tot het gemiddelde uitdrukken in eenheden van sd

voorbeeld-1 de afstand tussen 75 en 100 in termen van sd is gelijk aan: (75-100)/15= -1.67 variantie=225; s= 15 75 100 de tabel van de standaard normale verdeling geeft bij –1.67 een waarde van 0475. dat betekent dat 4.75 % van de verdeling links van –1.67 (dus ook van 75) ligt.

voorbeeld-2 de afstand tussen 120 en 100 in termen van sd is gelijk aan: (120-100)/15= 1.33 sd= 15 100 120 de tabel van de standaard normale verdeling geeft bij 1.33 een waarde van 9082. dat betekent dat 90.82 % van de verdeling links van 1.33 ligt. 100-90.82= 9.18% ligt dus rechts van 1.33

X is standaard normaal verdeeld: m= 0 en s= 1. P(X<1.38) ‘kans dat X<1.38’ ? Bereken: P(X<1.38) P(X<-1.96) P(X>1.96) P(X>-1.28) P(-0.75<X<1.28) Welke X heeft een overschrijdingskans van 12%?

? Y is normaal verdeeld: m= 125 en s= 5. Bereken: P(Y<135) P(Y>117) P(115<Y<137)

? Y is normaal verdeeld: m= 125 en s= 5. Bereken: P(Y<135) P(Y>117) P(115<Y<137) terug naar een eerdere vraag……

steekproef van 9 stuks gemiddelde= 25 ? kan die steekproef afkomstig zijn uit een populatie met m= 28 en s= 5 ?

gemiddelden van steekproeven (n=9) uit een willekeurige populatie met m= 28 en s=5 vormen bij benadering een normale verdeling met m= 28 en s2= 25/9 dus s= 5/3 blijft de vraag hoe waarschijnlijk de gevonden waarde (=25) is m= 28 s= 5/3

X-gemiddeld is normaal verdeeld: m= 28 en s= 5/3= 1.67 P(X-gemiddeld<25)= P(z<(25-28)/1.67)= P(z<-1.80)= 3.59%

gemiddelden van steekproeven (n=9) uit een willekeurige populatie met m= 28 en s=5 vormen bij benadering een normale verdeling met m= 28 en s2= 25/9 dus s= 5/3 blijft de vraag hoe waarschijnlijk de gevonden waarde (=25) is m= 28 s= 5/3 de kans op 25 of een kleinere waarde is 3.59 en dus behoorlijk klein!

succes !

Methodologie & Statistiek I