Gmc 6002 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

1. Gmc 6002ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

2. Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire) Matrice [H]: GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

3. Matrice de rigidité locale en 3D Matrice [B]: GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

4. Pour un tétraèdre linéaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

5. Mécanique linéaire • Système discret final • où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la déformation de la pièce et donc par {UNd} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

6. Non linéarité matérielle • Bilinéaire • Élastique non linéaire • Plastique GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

7. Non linéarité géométrique • On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées xi) à la configuration initiale (coordonnées ai) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

8. Non linéarité géométrique • Deux configurations (peuvent agir ensemble) • Grands déplacements: Ui << L n’est plus vrai • Grandes déformations: Ui,j << 1 n’est plus vrai • Plus de proportionnalité entre {ε} et {Un(i)} • [K] est affectée par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

9. Non linéarité géométrique • Grands déplacements GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

10. Non linéarité géométrique • Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

11. Autres non linéarités • Conditions aux limites bilatérales • Contact Conditionnement du système variable (déplacements imposés) Influence mutuelle entre plusieurs pièces GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

12. Non linéarité géométrique: exemple m • Poutre en flexion • E = 1.2x109 Pa, L = 10 m • Section 1 m x 0.1 m • Maillée 10 éléments de poutre • Modèle linéaire (HPP) m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

13. Non linéarité géométrique: exemple1 m • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Grands déplacements (COSMOS/M) • Déformée modèle non-linéaire/linéaire m m m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

14. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Évolution de la force 0 – 15 000 N • Déplacements en x et y Non linéaire Linéaire N N m m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

15. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Évolution de la force 0 – 15 000 N • Déplacement en y linéaire/non linéaire N Non linéaire m Linéaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

16. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Modèle linéaire • Effort normal et effort tranchant élément élément GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

17. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Modèle non linéaire • Effort normal et effort tranchant élément élément GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

18. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée 10 éléments de poutre • Modèle non linéaire • Forces et moments de réaction GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

19. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Éléments de plaque • COSMOS/M • Modèle linéaire (HPP) • Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

20. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Éléments de plaque • Modèle linéaire (HPP) • Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

21. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Éléments de plaque (COSMOS/M) • Modèle non linéaire • Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

22. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Éléments de plaque • Modèle non linéaire • Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

23. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Maillée en 3D • Modèle non-linéaire (Solidworks) • Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

24. Non linéarité géométrique: exemple • Poutre en flexion • Comparaison • Modèle non-linéaire • Contraintes Von Mises GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

25. Non linéarité matérielle: exemple • Plaque trouée en traction • Modèle 2D (dimensions en pouces), contraintes planes Pression P (constante) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

26. Non linéarité matérielle: exemple Échelle de couleurs différente • Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif) Modèle linéaire Modèle non-linéaire (parfaitement plastique à 40 000 Psi) P = 10 000 Psi P = 12 000 Psi P = 15 000 Psi P = 20 000 Psi GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

27. Non linéarité matérielle: exemple Échelle de couleurs différente • Plaque trouée : contraintes résiduelles P = 12 000 Psi P = 20 000 Psi GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

28. Formalismes • Eulerien • Lagrangien GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

29. Lagrangien: problématique • Déformations trop importantes GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

30. Lagrangien: solutions • Remaillage • Formalisme ALE GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

31. Tenseur de Green-Lagrange • Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures

32. Grandes déformations : exemple • Élément de barre L = 1 • E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3 • q = 105 Déplacement Green-Lagrange (linéarisé et non) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

33. Grandes déformations : exemple • Élément de barre L = 1 • E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3 • q = 106 q=107 q = 108 Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

34. Décomposition polaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

35. Tenseur de Green-Lagrange: exemple • Déformation d’un carré GMC 6001- Dynamique des structures

36. Tenseur de Green-Lagrange: exemple • Décomposition GMC 6001- Dynamique des structures

37. Tenseur de Green-Lagrange: exemple • Décomposition GMC 6001- Dynamique des structures

38. Tenseur des contraintes • Configurations initiale et déformée [σ] Tenseur de Cauchy GMC 6001- Dynamique des structures

39. Tenseur des contraintes • Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures

40. Tenseur des contraintes • Formule de Nanson GMC 6001- Dynamique des structures

41. Tenseur des contraintes • Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1) GMC 6001- Dynamique des structures

42. Tenseur des contraintes • Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2) GMC 6001- Dynamique des structures

43. Formulations • Lagrangienne totale • Lagrangienne réactualisée 0.2601154286 0.2601154286 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

44. Méthodes numériques Newton-Raphson Newton-Raphson modifiée GMC 6001- Dynamique des structures

45. Méthodes numériques: exemple • Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u0=0 • Valeur théorique: u = 0.2763932023 GMC 6001- Dynamique des structures

46. Méthodes numériques: exemple • Méthode incrémentale (deux incréments de force) • Valeur théorique: u = 0.2763932023 GMC 6001- Dynamique des structures