Alfred James Lotka (1880-1949)

1. Alfred James Lotka (1880-1949) Vito Volterra (1860-1940)

2. Estudiaremos la interacción, que ocurre en el mar, entre tiburones y pequeños peces que pertenecen a la dieta de los tiburones Antes de formular un modelo específico, trataremos de describir los efectos predecibles para este modelo. Si los pescadores se abstienen de pescar a los peces (que se alimentan de plancton) por un par de años entonces se debiera esperar que esta población de peces crezca en tamaño. Una vez que haya crecido, los tiburones deberían tener suficiente alimento para sostener una gran población de escualos. Entonces la población de escualos debería aumentar, y en un tiempo corto plantear un severo trato a los peces. Eventualmente la población de peces debería disminuir. Una vez que la población de peces haya disminuido en número, los tiburones no podrán sostener su gran población y deberá disminuir su población. Esto permitirá a su vez que la población de peces vuelva al tamaño de la población original. Es posible que este proceso continúe indefinidamente, en cuyo caso el ecosistema consistirá en una población de variación periódica.

3. En el desarrollo de un modelo de un ecosistema representando la interacción de dos especies, es ventajoso primero modelar el crecimiento poblacional ignorando las interacciones entre las especies. Entonces nos preguntaremos, ¿qué ecuaciones debería satisfacer los tiburones si no estuviesen los peces?, y viceversa. Al considerar los peces sin los tiburones, las suposiciones concernientes a los procesos de nacimiento y muerte de los peces debe ser delineada. Puesto que los peces comen plancton, que se supone en abundancia, parece natural que la razón de crecimiento de los peces (sin tiburones) es constante, la razón de nacimiento es más grande que la razón de muerte, produciendo un crecimiento exponencial. Esto supone que el plancton es ilimitado. Por otro lado, si el crecimiento de la población de peces cesa hasta un tamaño determinado, entonces se puede proponer un modelo logístico de crecimiento de la forma,

4. Los tiburones se comportan manera diferente. Si no hay peces, entonces la fuente de alimento no existe. En este caso, la razón de muerte de los tiburones es razonable que exceda a la razón de nacimiento. Luego en ausencia de peces se supone que Ahora modelaremos la interacción compleja entre los peces y los tiburones. La existencia de peces aumenta la población de tiburones; entonces los peces causarán un aumento en la razón de crecimiento de los tiburones. Para la simplicidad en el modelo matemático de este proceso, supondremos que la razón de crecimiento de tiburones está aumentando proporcionalmente al número de peces

5. Para modelar el desarrollo de los peces, usaremos ideas similares. Sin embargo, en este caso la existencia de tiburones hará disminuir la razón de crecimiento de los peces. Supondremos nuevamente que el efecto de interacción sobre la razón de crecimiento es proporcional a la población Entonces hemos descrito el trasfondo para el conjunto de ecuaciones diferenciales desarrolladas independientemente por Lotka y Volterra en la década de 1920,