Riccardo U. Claudi INAF Astronomical Observatory of Padova

1. Asterosismologia 2. Analisi delle pulsazioni Riccardo U. Claudi INAF Astronomical Observatory of Padova

2. Stelle Pulsanti nel diagramma HR Un buon articolo di Review: Gautschy & Saio 1996 Asterosismologia: Introduzione

3. Costante di pulsazione La costante di pulsazione esprime il periodo della pulsazione: direttamente in unità del tempo scala dinamico ed è definita come: Asterosismologia: Introduzione

4. Proprietà delle oscillazioni • ξnlm(r, , , t)= ξnl(r) Ylm(,)e-i nlmt • Ylm(,)=(-1)m clmPlm(cos ) cos(m  -  t) • kh = 2  / h = [l(l+1)]1/2/r Asterosismologia: Introduzione

5. Armoniche Sferiche I Ylm(,)=(-1)m clmPlm(cos ) cos(m  -  t) Asterosismologia: Introduzione

6. Armoniche Sferiche II l=0 l=1 l=2 Asterosismologia: Introduzione

7. “Splitting” Rotazionale Asterosismologia: Introduzione

8. Identificazione dei Modi Per una determinata frequenza nm dobbiamo determinare tre numeri "quantici”: n, , m Asterosismologia: Introduzione

9. Numeri e gradi n – ordine radiale, n=0,1,2,... l - grado della armonica sferica, l=0,1,2, … m – ordine azimutale, |m| l Asterosismologia: Introduzione

10. n Numero dei nodi nella direzione radiale Numero totale delle linee nodali sulla superficie l Numero delle linee nodali perpendicolari all’equatore m l-|m| Numero delle linee nodali parallele all’equatore Asterosismologia: Introduzione

11. Asterosismologia: Introduzione C. Schrijvers

12. Quindi Quando kr = 0 si ha il turning point rt: Teoria asintotica: Frequenze Relazione di dispersione delle onde acustiche Asterosismologia: Introduzione

13. Raggi l=25 l=20 l=75 l=2 l=0 Asterosismologia: Introduzione

14.  = 1, m=0  = 1, m=1 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

15.  = 2, m=1  = 2, m=2 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

16.  = 3, m=0  = 3, m=1  = 3, m=2  = 3, m=3 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

17.  = 5, m=0  = 5, m=2  = 5, m=3 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

18.  = 8, m=1  = 8, m=2  = 8, m=3 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

19. Responso Spaziale I Asterosismologia: Introduzione

20. Responso Spaziale II Asterosismologia: Introduzione

21. Responso Spaziale III Asterosismologia: Introduzione

22. n-1,1 n-1,0 n,0 n-2,3 n-2,2 Teoria asintotica: modi p Tassoul, 1980 Grande separazione: Piccola separazione: Asterosismologia: Introduzione

23. Grande e piccola separazione  e  misurano rispettivamente la densità e la composizione del core della stella. In altre parole la massa e l’età della stella. Asterosismologia: Introduzione

24. échelle diagram Dn l=3 l=1 l=2 l=1 l=0 Frequency mod Dn (mHz) Asterosismologia: Introduzione

25. Asteroseismic HR diagram Asterosismologia: Introduzione

26. Come misurare le pulsazioni stellari? Variazioni radiali Variazioni VR Variazioni L* Serie temporali Analisi di Fourier FREQUENZE ! Asterosismologia: Introduzione

27. Metodi Numerici per l’analisi delle Serie Temporali • Trasformata di Fourier • Analisi delle Wavelet • Analisi dell’Autocorrelazione • Altri Metodi Asterosismologia: Introduzione

28. Analisi di Fourier L’analisi di Fourier tenta di fare il fit della serie temporale con una serie di funzioni sin(x), ciascuna con un differente periodo, ampiezza e fase. Gli algoritmi che fanno questo eseguono Una trasformazione matematica dal dominio temporale al dominio dei periodi (o delle frequenze. f (time)  F (period) Asterosismologia: Introduzione

29. Algoritmi di Fourier • Discrete Fourier Transform: algoritmo classico (DFT) • Fast Fourier Transform: molto buono per dati non equamente spaziati (FFT) • Date-Compensated DFT: dati campionati non equamente con grandi quantità di gaps (TS) • Periodogram (Lomb-Scargle): simile alla DFT Asterosismologia: Introduzione

30. La Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier di una funzione è la determinazione delle ampiezze e delle fasi delle sinusoidi che sommate insieme riproducono la funzione Si ricordi la formula di Eulero: Asterosismologia: Introduzione

31. Lo Spettro di Potenza Lo spettro di potenza di un determinato segnale, identifica quali delle componenti sinusoidali contribuisce maggiormente all’ampiezza del segnale stesso Asterosismologia: Introduzione

32. Spettro di Potenza di un singolo modo Asterosismologia: Introduzione

33. HWHM=0.443π~π/2 Risoluzione Accuratezza della determinazione di 0 Asterosismologia: Introduzione

34. interferenza Spettro di Potenza di più componenti Lo spettro di potenza di più componenti è dato dalla somma degli spettri di potenza delle singole componenti più i termini misti risultanti dalla interferenza dei modi. Asterosismologia: Introduzione

35. Risoluzione Nel caso di power spectrum di più componenti, i modi saranno ben separati se vale la condizione: Nel caso stellare si hanno molti modi e la situazione non è semplice. Una stima rozza può essere: Asterosismologia: Introduzione

36. T  +T Dati con Gaps. I Asterosismologia: Introduzione

37. Nel caso =24hr Dati con Gaps. II Asterosismologia: Introduzione

38. Funzione Finestra Convoluzione Asterosismologia: Introduzione

39. Spettro di Potenza di oscillazioni smorzate T Asterosismologia: Introduzione

40. AMPIEZZA… Asterosismologia: Introduzione

41. PS …ed INCERTEZZA Asterosismologia: Introduzione

42. OSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHE Consideriamo di voler osservare la pulsazione di una stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia: Possiamo perciò ricavare il numero N di osservazioni che definiscono una serie temporale con rms pari a  per osservare il segnale con ampiezza A: Asterosismologia: Introduzione