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9.2 偏 导 数

第九章 多元函数微分法及应用. 9.2 偏 导 数. 1、偏导数的定义及其计算法 2、高阶偏导数. 一、偏导数的定义及其计算法. 回顾：. 导数的定义. 注意 :. 同样可定义对 y 的偏导数. 如 在 处. 偏导数的概念可以推广到二元以上函数. 解. 仍是二元函数. 证. 原结论成立．. 解. 不存在．. 有关偏导数的四点 说明 ：. １、. 2 、. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；. 解. 同理. 3 、偏导数存在与连续的关系.

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  1. 第九章 多元函数微分法及应用 9.2 偏 导 数 1、偏导数的定义及其计算法 2、高阶偏导数

  2. 一、偏导数的定义及其计算法 回顾： 导数的定义

  3. 注意:

  4. 同样可定义对 y的偏导数

  5. 如 在 处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数

  6. 解 仍是二元函数

  7. 证 原结论成立．

  8. 解

  9. 不存在．

  10. 有关偏导数的四点说明： １、 2、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 同理

  11. 3、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， ？

  12. 因为, 显然 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 偏导数存在 连续. 但函数在该点处并不连续.

  13. 思考: 例如, 不能.

  14. 4.偏导数的几何意义 z 0 y x Tx L z= f (x,y) y =y0 固定y =y0 L： 由一元函数导数 的几何意义：  = tan . 同理 .

  15. . z 0 y x 偏导数的几何意义 Tx z= f (x,y) L M 固定 x =x0 x =x0 

  16. . z 0 y x 偏导数的几何意义 Tx Ty L z= f (x,y) M 固定 x =x0 x =x0 由一元函数导 数的几何意义：   = tan .

  17. 几何意义即为:

  18. 二、高阶偏导数 定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 设 z = f (x , y)在域 D内存在偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .

  19. 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 纯偏导 混合偏导

  20. 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y的一阶偏导数为

  21. 解

  22. 解

  23. 例6. 求函数 的二阶偏导数及 解 : 但这一结论并不总成立. 注意:此处

  24. 例7, 二者不等

  25. 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？

  26. 则 定理. 本定理对 n元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而 初等函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函 数的高阶偏导数可以选择方便的求导顺序.

  27. 例8. 证明函数 满足拉普拉斯 方程 证： 利用对称性 , 有

  28. 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义 函数在此点连续 • 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 先代后求 先求后代 • 求一点处偏导数的方法 利用定义 • 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)

  29. 思考题

  30. 思考题解答 不能. 例如,

  31.  作业： P62 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2） 预习 9.3 全 微 分

  32. P130 题 5 , 6 思考与练习 解答提示: P130 题 5 即 x＝y＝0 时,

  33. P130 题6 (1) (2)

  34. 设 方程 例 确定 u是 x , y的函数 , 求 连续, 且 解:

  35. 例设有函数 （1）讨论函数 在点 连续性； 偏导数 （2）讨论函数 及在点 偏导数 分析：由于 是分段函数，需要从定义出发讨论。 解： （1）当 时，有 = ，又

  36. 所以 从而函数 在点 连续； （2）当 时 当 时，有

  37. 证

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