Spécialité en Terminale S

1. Spécialité en Terminale S Stage de formation continue Académie de Dijon

2. Spécialité en Terminale S 1 – Une introduction

3. Introduction aux matrices Traitement d’images Une image en niveaux de gris : • mosaïque de pixels ; • chaque pixel codé par son intensité lumineuse ; • codage sur 1 octet, entre 0 (noir) et 255 (blanc) ; • intensité lumineuse des pixels normalisée par un nombre de l'intervalle [0;1] ; • palette simplifiée de niveaux de gris ci-contre.

4. Introduction aux matrices Traitement d’images Une image carrée de 64 pixels. On souhaite pouvoir effectuer différents traitements sur cette image comme : • éclaircir ; • assombrir ; • prendre le négatif. Comment modéliser ces traitements ?

5. Introduction aux matrices Traitement d’images • On associe à l’image un tableau de nombres. • Modifier l’image revient à modifier les valeurs du tableau: • en appliquant une fonction à chaque élément ; (nécessité d’algorithmes de parcours de la matrice) • en définissant une opération sur le tableau.

6. Introduction aux matrices Traitement d'images : bilan • Notion de matrice apparaît naturellement. • Nécessité de définir des opérations sur les matrices justifiée : • par le but recherché (modifier l’image) ; • par les logiciels qui donnent pour M² un autre résultat que le carré de chaque élément de M.

7. Introduction aux matrices Un réseau de transports Graphe des connexions entre les gares de trois villes A, B et C. Les entiers au-dessus des arêtes indiquent le nombre de liaisons pour chaque connexion. On peut représenter ces informations à l'aide de 2 matrices, puis en déduire la matrice des liaisons de la ville A vers la ville C. Activité issue du manuel Odyssée, Terminale S (Hatier)

8. Introduction aux matrices Un réseau de transports

9. Introduction aux matrices Un réseau de transports : bilan • Le produit de matrices apparaît comme réponse à un problème de dénombrement. • Pour aller de la gare ai à la gare cj, il y a trois gares intermédiaires possibles, ce qui aide à comprendre dans ce cas la formule

10. Spécialité en Terminale S 2 – Le modèle de diffusion d'Ehrenfest

11. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest

12. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 1000 particules et 10 000 échanges

13. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 100 particules et 500 échanges

14. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 10 particules et 500 échanges

15. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 6 particules et 500 échanges

16. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 2 particules et 500 échanges

17. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Deux questions : • Peut-on parler de stabilisation ? • Peut-on toujours revenir à l'état initial ?

18. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Les trois états possibles

19. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Graphe et matrice de transition 1 r1 r2 r3 1

20. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 État au rang n modélisé par un vecteur ligne : Loi de probabilité de la variable Xn égale au nombre de particules dans II. Initial : V0=(1 0 0) Il est certain qu'il n'y a pas de particule dans II. Rang 1 : V1=V0A=(0 1 0) Il est certain qu'il y a 1 particule dans II. Rang 2 : V2=V1A=V0A2=(½ 0 ½) Il y a 1 chance sur 2 qu'il n'y ait pas de particule dans II, 1 chance sur 2 qu'il y en ait 2. Rang 3 : V3=V2A=V0A3=(0 1 0)=V1

21. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Recherche d'un état stable (Vn) : suite géométrique de matrices lignes A3=A donc la suite oscille entre deux valeurs : • si n est pair, Vn=(½ 0 ½) • si n est impair, Vn=(0 1 0) Pas d'état stable

22. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Retour à l'état initial Sur 2n étapes : T2n nombre d'étapes pour un retour à l'état initial • P(T2n=1)=0 • P(T2n=2)=½ • P(T2n=3)=P(T2n=2k+1)=0 • P(T2n=2k)=(½)k

23. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Retour à l'état initial Espérance de T2n : Par somme, on obtient : etc...

24. Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Les cas N=3 et N=4 Réfléchir à une mise en place effective avec les élèves.

25. Spécialité en Terminale S 3 – Échanges autour du programme

26. Échanges autour du programme • On ne commence pas par exposer pas des contenus, on résout des problèmes. • Les contenus introduits doivent être motivés, ils sont réponses à une question, ce qui leur donne du sens.

27. Échanges autour du programme Exigible au baccalauréat : Les notions expressément écrites dans la colonne contenu.

28. Échanges autour du programme

29. Spécialité en Terminale S 4 – Le chiffrement de Hill

30. Le chiffrement de Hill Histoire des codes secrets • Code César • Codes par substitution monoalphabétique • Code de Vigenère (décrypté par Babbage) • Enigma : inventé vers 1918 par Scherbius, décryptée pendant le 2nde guerre mondiale par Turing.

31. Le chiffrement de Hill Un nouvel algorithme de codage Fragilité des codes mono-alphabétiques • Chaque lettre codée par un caractère unique. • Décryptage possible par analyse des fréquences. 1931 : Nouvel algorithme publié par Lester Hill : • Codage des caractères par bloc. • Une même lettre codé par un caractère différent en fonction de sa position.

32. Le chiffrement de Hill Principe • Chaque lettre codée par un nombre de 0 à 25. • Clé de chiffrement constituée de 4 entiers compris entre 0 et 25 : a, b, c, d. • À chaque couple d'entiers (x ,y) on associe le couple d'entiers compris entre 0 et 25 (x' ,y') tels que :

33. Le chiffrement de Hill

34. Le chiffrement de Hill Exercice 1

35. Le chiffrement de Hill

36. Le chiffrement de Hill Exercice 2

37. Le chiffrement de Hill

38. Le chiffrement de Hill Exercice 3

39. Le chiffrement de Hill

40. Le chiffrement de Hill Exercice 4

41. Le chiffrement de Hill Inconvénient et extensions Le chiffrement de Hill est sensible à l'analyse des fréquences : • chaque couple de lettres est codé par le même couple de lettres ; • on peut donc étudier la fréquence des différents digrammes. Pour rendre l'analyse plus difficile, on peut coder par groupes de 3 lettres ou plus.

42. Le chiffrement de Hill Approche matricielle On peut écrire la méthode sous forme matricielle : X'=AX où X est le vecteur colonne correspondant à deux lettres à coder simultanément, A est la matrice clé et X' est le vecteur colonne des lettres codées, avec des calculs modulo 26.

43. Le chiffrement de Hill Synthèse • Intérêt d'utiliser le tableur pour automatiser les calculs. • Sujet charnière entre arithmétique et matrices. • Réinvestissement des congruences. • Introduction du concept de matrice inversible.

44. Spécialité en Terminale S 5 – La pertinence d'une page Web et l'algorithme PageRank

45. Pertinence d'une page Web : Pagerank Une histoire du Web • World Wide Web : Système hypertexte public permettant de consulter des contenus multimedia par internet. • Idée développée par Tim Berners-Lee au Cern en mars 1989. • Projet rendu public en août 1991. • Ne pas confondre avec internet, réseau physique support de plusieurs protocoles (http, ftp, mail, newsgroup).

46. Pertinence d'une page Web : Pagerank Les moteurs de recherche • 1990-1992 : Liste de serveurs par Tim Berners-Lee. • 1990 : Archie, liste de serveurs FTP • 1993 : Catalogue du Web, W3Catalog (pas de recherche) • 1993 : WWW Wanderer, premier robot Aliweb, référencement par admins • 1994 : Webcrawler, robot + interface de recherche Apparition de Lycos • 1995 : Yahoo (catalogue), Altavista • Fin 90s : Nombreux moteurs, bulle financière • 1998-2000 : Montée en puissance de Google • 2011 : Google reçoit toujours 85 % des requêtes

47. Pertinence d'une page Web : Pagerank Les raisons du succès de Google • Une vision globale, alliant architecture complexe et théorie mathématique approfondie pour la recherche. • Théorie basée sur des recherches antérieures. • Une approche différente du classement des réponses. • La qualité (réelle ou ressentie) des réponses. • Un large éventail de services “annexes”.

48. Pertinence d'une page Web : Pagerank La formule de Brin et Page Un outil majeur : l’algèbre linéaire

49. Pertinence d'une page Web : Pagerank Un exemple Le web est un graphe orienté.

50. Pertinence d'une page Web : Pagerank Comptage naïf :