FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

1. FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES EN TERMINALE L SPÉCIALITÉ

2. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES I - INTRODUCTION

3. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à l’aide des suites géométriques …..

4. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Par exemple: La population d’un village diminue de 5% par an. Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants. Combien comptera-t-il d’habitants lorsqu’il repassera le 15 juin 2005 ? On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000 € sur un livret rapportant 3,5% d’intérêts (composés) par an. De quelle somme pourra-t-on disposer le 1er mars 2008 ?

5. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Une interpolation linéaire est possible, mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

6. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite. L’erreur commise devient rapidement importante En rouge : les points représentant les valeurs des termes de d’indices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui l’encadrent. 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

7. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES II – CONSTRUCTION D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE

8. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive La démarche est expérimentale. Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières d’un réel strictement positif q

9. Théorème 1: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si b est la moyenne arithmétiquede a et de c (c’est-à-dire ) A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

10. Théorème 2: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométriquede a et de c (c’est-à-dire ) A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

11. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Illustration: Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique d’une suite géométrique: Le point « du milieu » admet : -pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui l’entourent -pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui l’entourent

12. Exemple: Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Outils: tableur et grapheur

13. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 1ère étape: Points à abscisses entières 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

14. 2ème étape: Points à abscisses de la forme A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES

15. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2ème étape: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

16. 3ème étape: Points à abscisses de la forme et A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES

17. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3ème étape: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

18. Sachant que , on peut compléter le graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison . A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

19. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5

20. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

21. C’est la fonction ou fonction exponentielle de base 1,5 A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Cet ensemble de points suggère la courbe d’une fonction. On admet que cette fonction existe et est unique

22. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES II – PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

23. Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction • Les fonctions sont définies et dérivables sur R. • Pour tout réel x, est strictement positif . • Pour tous réels x et y, • Pour tout réel x, A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les propriétés suivantes sont admises :

24. L’expression de la dérivée de , l’allure des courbes des fonctions exponentielles ainsi que leur comportement à l’infini ne font pas partie des objectifs du programme. A – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Remarques:

25. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE I – DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

26. Si l’on trace les courbes des fonctions en faisant varier la valeur de q, il semble qu’il en existe une et une seule ayant une tangente de coefficient directeur 1 au point d’abscisse 0 B – LA FONCTION EXPONENTIELLE

27. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE En effet :

28. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE ou encore, en gardant la trace des courbes :

29. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE ou encore, en gardant la trace des courbes :

30. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE On admet l’existence et l’unicité de cette fonction, appelée fonction exponentielle et notée exp L’image de 1 par la fonction exp est le réel noté e. e

31. B – LA FONCTION EXPONENTIELLE II – PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

32. On a alors, pour tout entier n, B – LA FONCTION EXPONENTIELLE Les propriétés de la fonction exponentielles se déduisent des propriétés des fonctions exponentielles de base q. En particulier : Les images des entiers par la fonction exp sont les termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison e On retrouve alors la notation :

33. La fonction est définie et dérivable sur R. • Pour tout réel x, est strictement positif . • Pour tous réels x et y, • Pour tout réel x, B – LA FONCTION EXPONENTIELLE

34. Or cependant, par définition de la fonction exp: d’où B – LA FONCTION EXPONENTIELLE Sachant que la fonction exp est dérivable en tout a de R, on peut écrire : La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée

35. On admet également la dérivée de la fonction où u est une fonction dérivable sur un intervalle I B – LA FONCTION EXPONENTIELLE Enfin Les limites en -∞ et en +∞ sont admises (on s’appuie sur la représentation graphique ou la suite géométrique)

36. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN I – DÉFINITION DE LA FONCTION LOGARITHME

37. Pour tout nombre réel strictement positif a, l’équation admet une unique solution. Ainsi, pour tout a strictement positif : C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction qui au réel a associe cette unique solution est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln

38. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN En rouge est représentée la fonction exponentielle La droite d’équation y = a coupe cette courbe en un unique point de coordonnées (ln(a), a) Une symétrie par rapport à la droite d’équation y = x fait apparaître le point de coordonnées (a, ln(a)) Lorsque a décrit ]0;+∞[, ce point décrit la courbe représentative de la fonction ln

39. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On voit apparaître la courbe en gardant la trace des points :

40. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On voit apparaître la courbe en gardant la trace des points :

41. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN II – PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME

42. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x On tirera partie de cette symétrie pour mettre en évidence les propriétés de la fonction logarithme népérien.

43. C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN • La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+∞[ • ln1 = 0 et lne = 1. • Pour tous réels a et b strictement positifs :

44. Pour tout x > 0, c’est-à-dire C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Si l’on a admis la dérivabilité de la fonction ln, il est cependant possible de donner l’expression de sa fonction dérivée. En effet: En dérivant membre à membre, on obtient : Ce qui donne, pour tout x > 0

45. On admet également la dérivée de la fonction où u est une fonction dérivable sur un intervalle I C – LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN L’expression de la dérivée permet de déduire : le sens de variation et la conservation de l’ordre Enfin: Les limites en -∞ et en +∞ sont admises (on s’appuie sur la représentation graphique ou la suite géométrique)

46. D - PROLONGEMENTS LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

47. D - PROLONGEMENTS La construction du logarithme décimal peut être menée comme celle du logarithme népérien: • prolongement de la suite géométrique de raison 10 • étude de la fonction exponentielle de base 10 • construction de la fonction logarithme décimal • Toutefois les comportements asymptotiques, les formules • de dérivation, les relations entre ln et log ne sont pas des • objectifs du programme

48. D - PROLONGEMENTS Le logarithme décimal pourra conduire à des travaux dans des domaines variés: • chimie : pH, ... • acoustique : décibel, … • biologie : magnitude, … • musique : savart, construction des gammes, … • et bien d’autres application encore …