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Chapter 8 堆積. 8.1 何謂堆積 8.2 何謂 min-heap 8.3 min-maxheap 8.4 Deap. 堆積 堆積 (Heap) 和二元搜尋樹大致上雷同，但有一點點差異。 Heap 在分類上大致可分為 Max-heap, Min-heap, Min-max heap 及 Deap 。 Heap 也可用在排序上，此稱為 Heap sort （堆積排序）。. 8.1 何謂堆積. 何謂堆積（ Heap ）？ 定義如下： 堆積是一棵二元 樹，其樹根的鍵 值大於子樹的鍵 值，而且必須符 合第六章 6.2 節所 談的完整二元樹。.
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Chapter 8 堆積 8.1 何謂堆積 8.2 何謂min-heap 8.3 min-maxheap 8.4 Deap
堆積 • 堆積(Heap)和二元搜尋樹大致上雷同，但有一點點差異。 • Heap在分類上大致可分為Max-heap, Min-heap, Min-max heap及Deap。 • Heap也可用在排序上，此稱為Heap sort（堆積排序）。
8.1 何謂堆積 • 何謂堆積（Heap）？ • 定義如下：堆積是一棵二元樹，其樹根的鍵值大於子樹的鍵值，而且必須符合第六章6.2節所談的完整二元樹。
8.1 何謂堆積 • 它是一棵Heap，而不是二元搜尋樹。 • 在調整的過程中有二種方式，一是由上而下，從樹根開始與其子節點相比，若前者大則不用交換，反之，則要交換；以符合父節點大於子節點。
8.1 何謂堆積 • 此種方法也可以讓子節點先比，找出最大者再與其父節點比，此種方法至多只要做一次對調即可，如下圖23和30中30較大，因此15和30對調。 • 由於這種方式較快，故若以由上而下調整時，皆以此種方式進行之。
8.1 何謂堆積 • 一棵Heap不是唯一，因為只要父節點大於子節點即可。 • 需在此提醒讀者的是，當中間有某些節點互換時，需要再往上相比較，直到父節點大於子節點為止。
8.1 何謂堆積 • 第二種方法為由下而上，先算出此棵樹的節點數目，假設n，再取其，從此節點，開始與它的最大子節點相比，若最大子節點的鍵值大於父節點之鍵值，則相互對調，一直做到樹根止。 • 記得相互對調後要往下繼續比較，看看是否還要對調喔！
8.1 何謂堆積 • 調整的方法如下： • step 1：先將每一節點按完整二元樹的順序加以編號如下圖：
8.1 何謂堆積 • step 2： ，故從第2節點開始與其較大的子節點相比。由於40比23大，故調換之。
8.1 何謂堆積 • step 3：接下來將第１個節點與其較大子 節點比，我們發現40大於15，故調換之，如下圖：
8.1 何謂堆積 • step 4：雖然皆已調換完成，但我們發現第2節點小於第4節點（15＜23），故需繼續對調，如下圖：
8.1 何謂堆積 8.1.1 Heap的加入 • 承以上的那一棵Heap，加入30及50。 • 首先按照完整二元樹的特性將30加進來，如下圖
8.1 何謂堆積 • 因為加入50後不是一棵Heap，所以要加以調整之。 • 由於原先已是一棵Heap，所以，只要將加入的那一個節點往上調整即可。
8.1 何謂堆積 8.1.2 Heap的刪除 • Heap的刪除則將完整二元樹的最後一節點取代被刪除的節點，然後判斷是否為一棵Heap，若否，則再依上述的方法加以調整之。
8.1 何謂堆積 • 再刪除40 ，則將10取代之。
8.1 何謂堆積 • 再舉一例，有一棵Heap如下：
8.1 何謂堆積 • 今欲將40刪除，則以15取代40（因為15在完整二元樹中是最後一個節點）
8.1 何謂堆積 • 此時將15和其所屬的最大子節點比較，亦即15和35（因為它大於30）比較，直接將15和35交換。
8.2 何謂min-heap • 上述介紹的Heap，我們稱之為max-heap，在max-heap樹中的鍵值，一律是上大於下，節點內的鍵值一律大於其子節點。其中min-heap的觀念十分簡單，其節點鍵值一律小於子節點，恰與max-heap相反，如下圖即為一棵min-heap的例子。
8.2 何謂min-heap • 由於其加入與刪除的方法與max-heap十分類似，在此就不重覆說明了。
8.3 min-max heap • min-max heap包含了min-heap與max-heap兩種Heap的特徵。
8.3 min-max heap • 何謂min-max heap：為了方便解說，我們就直接以上圖為例，來定義min-max heap，必須符合下列三項定義： • min-max heap是以一層min-heap，一層max-heap交互構成的。 • 樹中為min-heap的部分，仍需符合min-heap的特性。 • 樹中為max-heap的部分，仍需符合max-heap的特性。
8.3 min-max heap 8.3.1 min-max heap的加入 • min-max heap的加入與max-heap的原理差不多，但是加入後，要調整至符合上述min-max heap的定義。
8.3 min-max heap • 若加入5，步驟如下：
8.3 min-max heap • 加入後18>5，不符合第一項定義，將5與18交換。
8.3 min-max heap • 交換後，由於10>5，不符合第二項定義，將5與10對調。 • 此時已符合min-max heap的定義，不須再作調整。
8.3 min-max heap 8.3.2 min-max heap的刪除 • 若刪除min-max heap的最後一個節點，則直接刪除即可；否則，先將刪除節點鍵值與樹中的最後一個節點對調，再作調整動作，亦即以最後一個節點取代被刪除節點。假設已存在一棵min-max heap如下：
8.3 min-max heap • 若刪除45，則直接刪除。
8.3 min-max heap • 若刪除40，則需以最後一個節點的鍵值18取代40。
8.3 min-max heap • 交換後18<19，不符合第一項定義，將18與19交換。
8.3 min-max heap • 交換後，由於19小於32、28、34、31，不符合第三項定義，必需將19與最大的鍵值34交換。 • 符合min-max heap的定義，刪除動作結束。
8.4 Deap • 何謂Deap：Deap同樣也具備max-heap與min-heap的特徵，其定義如下： • Deap的樹根不儲存任何資料，為一空節點。 • 樹根的左子樹，為一棵min-heap；右子樹則為max-heap。 • min-heap與max-heap存在一對應，假設左子樹中有一節點為i，則在右子樹中必存在一節點j與i對應，則i必須小於等於j。
8.4 Deap 8.4.1 Deap 的加入 • Deap的加入動作與其它Heap一樣，將新的鍵值加入於整棵樹的最後，再調整符合Deap的定義，假設已存在一deap如右：
8.4 Deap • 若加入25，加入後右子樹仍為一棵max-heap，且左子樹對應節點15小於等於它所對應的右子樹節點25，符合deap的定義，加入的結果如下：
8.4 Deap • 加入17，加入後的圖形如下所示：
8.4 Deap • 此時右子樹仍為max-heap，但17小於其左子樹的對應節點20，故將17與20交換。
8.4 Deap • 加入40，如下所示：
8.4 Deap • 加入後左子樹雖為min-heap，但40大於其對應節點25（與節點40的父節點對應之右子樹節點），不符合deap的定義，故將40與25交換，如下所示：
8.4 Deap • 交換後樹中的右子樹不是一棵max-heap，重新將其調整為max-heap即可。
8.4 Deap 8.4.2 Deap的刪除 • Deap的刪除動作與其它Heap一樣，當遇到刪除節點非最後一個節點時，要以最後一個節點的鍵值取代刪除節點，並調整至符合deap的定義，假設存在－Deap如下：
8.4 Deap • 若刪除29，則直接刪除即可，結果如下圖所示：
8.4 Deap • 刪除21，此時以最後一個節點22取代之，再將最後一個節點刪除，檢查左子樹仍為一棵min-heap，且節點鍵值22小於其對應節點32，不需作任何調整。刪除結果如右：
8.4 Deap • 刪除12，以最後一個節點27取代。
8.4 Deap • 左子樹不符合min-heap的定義，將27子節點中鍵值較小者16交換。
8.4 Deap • 最後16與其對應的30比較；16小於30，並且27也小於它所對應max-heap那邊的30，故不需再做調整。
