Mapa Logístico

1. Mapa Logístico Tiago A. Almeida Walter Furloni DT-FEEC-UNICAMP

2. Introdução • 1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada; • xn assume valores entre 0 e 1; • Um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos;

3. 1º Modelo Malthusiano de População • Para µ < 1: redução contínua da população; • Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado; • Necessidade: levar em conta limitações de recursos e de espaço; • Solução: introdução do termo (1-xn) que conduz a uma diminuição da população para valores altos da mesma, o que contemplaria uma possível luta por recursos escassos, doenças, etc.

4. Diagrama de Bifurcação • 0 < µ < 1 : extinção; • 1 < µ < 3 : equilíbrio; • µ > 3 : ocilação periódica, primeiro com período 2, depois com período 4, 8, 16 e assim até um ponto de acumulação onde começa a ocorrer caos. Dentro da faixa do caos, existem zonas onde o sistema volta a ter comportamento periódico; • µ > 4 : o sistema diverge;

5. Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade Pontos de Equilíbrio: Análise de Estabilidade: Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se: , o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1 e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3

6. Diagrama de Teia • Poderosa ferramenta para análise de mapas unidimensionais; • Possibilita acompanhar a evolução da variável de estado do sistema através das sucessivas iterações; • A base do diagrama consiste da: Função F(.), que nada mais é que o campo vetorial discreto da equação (seu papel é determinar as características dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada como referência para a realização das iterações, introduzindo a realimentação inerente aos mapas discretos);

7. Diagrama de Teia • Eixo x: valor presente no estado; • Eixo y: valor após uma iteração; • O diagrama nos dá a idéia de como realizar uma vez o processo iterativo. Mas, e depois? • Aí entra a função identidade: através dela pode-se “transformar” um valor de x(n+1) do eixo y em um valor xn no eixo x; Cerne do diagrama para µ = 3

8. Diagrama de Teia Fixando µ = 3 e x(0) = 0.1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa

9. Diagrama de Teia • Os pontos onde ocorrem cruzamentos entre F(.) e a função identidade são os pontos de equilíbrio do mapa; • Neste caso, o cruzamento ocorre apenas na origem, ou seja, xe = 0 é o único ponto de equilíbrio para este valor de µ; Fixando µ = 0.5 e x(0) = 0.1

10. Diagrama de Teia • Encontramos dois pontos de equilíbrio; • O primeiro, xe = 0, é instável. Podemos verificar no diagrama, verificando que uma reta tangente à parábola F(.), na origem, tem coeficiente angular de magnitude maior que a unitária. Isto quer dizer que |J(0)| > 1; • O segundo, xe = 0.6, é estável; Fixando µ = 2.5 e x(0) = 0.1

11. Diagrama de Teia • Comportamento periódico como esperado; • O estado não mais converge para um ponto fixo, mas tende a oscilar entre dois valores (vértices do quadrado); Fixando µ = 3.3 e x(0) = 0.1

12. Diagrama de Teia • Comportamento caótico (natureza aperiódica); • Figuras como esta explicam o fato de a nomenclatura destes diagramas estar associada à idéia de uma teia de aranha. Fixando µ = 4 e x(0) = 0.1

13. Mapa Logístico Simulação Virtual da evolução de uma população conforme o passar das gerações