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Mapa Logístico - PowerPoint PPT Presentation


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Mapa Logístico. Tiago A. Almeida Walter Furloni DT-FEEC-UNICAMP. Introdução. 1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada; x n assume valores entre 0 e 1; Um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos;.

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Mapa log stico

Mapa Logístico

Tiago A. Almeida

Walter Furloni

DT-FEEC-UNICAMP


Introdu o
Introdução

  • 1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada;

  • xn assume valores entre 0 e 1;

  • Um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos;


1 modelo malthusiano de popula o
1º Modelo Malthusiano de População

  • Para µ < 1: redução contínua da população;

  • Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado;

  • Necessidade: levar em conta limitações de recursos e de espaço;

  • Solução: introdução do termo (1-xn) que conduz a uma diminuição da população para valores altos da mesma, o que contemplaria uma possível luta por recursos escassos, doenças, etc.


Diagrama de bifurca o
Diagrama de Bifurcação

  • 0 < µ < 1 : extinção;

  • 1 < µ < 3 : equilíbrio;

  • µ > 3 : ocilação periódica, primeiro com período 2, depois com período 4, 8, 16 e assim até um ponto de acumulação onde começa a ocorrer caos. Dentro da faixa do caos, existem zonas onde o sistema volta a ter comportamento periódico;

  • µ > 4 : o sistema diverge;


Pontos de equil brio e an lise de estabilidade
Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade

Pontos de Equilíbrio:

Análise de Estabilidade:

Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se:

, o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1

e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3


Diagrama de teia
Diagrama de Teia

  • Poderosa ferramenta para análise de mapas unidimensionais;

  • Possibilita acompanhar a evolução da variável de estado do sistema através das sucessivas iterações;

  • A base do diagrama consiste da: Função F(.), que nada mais é que o campo vetorial discreto da equação (seu papel é determinar as características dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada como referência para a realização das iterações, introduzindo a realimentação inerente aos mapas discretos);


Diagrama de teia1
Diagrama de Teia

  • Eixo x: valor presente no estado;

  • Eixo y: valor após uma iteração;

  • O diagrama nos dá a idéia de como realizar uma vez o processo iterativo. Mas, e depois?

  • Aí entra a função identidade: através dela pode-se “transformar” um valor de x(n+1) do eixo y em um valor xn no eixo x;

Cerne do diagrama para µ = 3


Diagrama de teia2
Diagrama de Teia

Fixando µ = 3 e x(0) = 0.1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa


Diagrama de teia3
Diagrama de Teia

  • Os pontos onde ocorrem cruzamentos entre F(.) e a função identidade são os pontos de equilíbrio do mapa;

  • Neste caso, o cruzamento ocorre apenas na origem, ou seja, xe = 0 é o único ponto de equilíbrio para este valor de µ;

Fixando µ = 0.5 e x(0) = 0.1


Diagrama de teia4
Diagrama de Teia

  • Encontramos dois pontos de equilíbrio;

  • O primeiro, xe = 0, é instável. Podemos verificar no diagrama, verificando que uma reta tangente à parábola F(.), na origem, tem coeficiente angular de magnitude maior que a unitária. Isto quer dizer que |J(0)| > 1;

  • O segundo, xe = 0.6, é estável;

Fixando µ = 2.5 e x(0) = 0.1


Diagrama de teia5
Diagrama de Teia

  • Comportamento periódico como esperado;

  • O estado não mais converge para um ponto fixo, mas tende a oscilar entre dois valores (vértices do quadrado);

Fixando µ = 3.3 e x(0) = 0.1


Diagrama de teia6
Diagrama de Teia

  • Comportamento caótico (natureza aperiódica);

  • Figuras como esta explicam o fato de a nomenclatura destes diagramas estar associada à idéia de uma teia de aranha.

Fixando µ = 4 e x(0) = 0.1


Mapa log stico1
Mapa Logístico

Simulação Virtual da evolução de uma população conforme o passar das gerações


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