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On Skew Fuss Paths

On Skew Fuss Paths. Li-Chih Chen 陳立志 指導教授 ：游森棚教授 Department of Applied Mathematics National University of Kaohsiung, ROC A ug 11, 2013. Outline. • Introduction Dyck paths Fuss paths Skew Dyck paths Skew Fuss paths • Main results • Idea of proof

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Presentation Transcript

  1. On Skew Fuss Paths Li-Chih Chen 陳立志 指導教授：游森棚教授 Department of Applied Mathematics National University of Kaohsiung, ROC Aug 11, 2013

  2. Outline • Introduction Dyck paths Fuss paths Skew Dyck paths Skew Fuss paths • Main results • Idea of proof • Discussions and future work

  3. Dyck paths Definition 長度為 n 的 Dyck paths：＝ ◎起點 (0,0)，終點 (2n,0) ◎使用向上步" " U (1,1)與向下步" " D (1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。 n=3 有5個Dyck paths

  4. Theorem (André,1887) 5 ◎Generating function 5

  5. 2-Fuss paths Definition(Fuss,1795,Bertrand,1887) 長度為 n 的 2-Fuss paths：＝ ◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。 ◎使用向上步 U(2,2)與向下步 D(1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。 n=2 U D 有3個2-Fuss paths

  6. Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887) 3 ◎Generating function 3

  7. 2-Fuss paths Dyck paths

  8. m-Fuss paths Definition (Fuss,1795,Bertrand,1887) 長度為 n 的 m-Fuss paths：＝ ◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。 ◎使用向上步 U(m,m)與向下步 D(1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。 n=2 m格 m格 U D 有4個 3-Fuss paths

  9. Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887) ◎ ◎Generating function

  10. m-Fuss paths 2-Fuss paths Dyck paths

  11. Skew Dyck paths Definition (Deutsch et al,2010) 長度為 n 的 Skew Dyck paths：＝ ◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。 ◎使用向上步 U(1,1)、右下步 D(1,-1)與左下步 L (-1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。 n=2 U D L 有3個Skew Dyck paths

  12. Theorem(Deutsch et al,2010) ◎ ◎Generating function 3 3

  13. m-Fuss paths 2-Fuss paths Dyck paths Skew Dyck paths

  14. Our question… m-Fuss paths 2-Fuss paths Dyck paths Skew Dyck paths ？ ？

  15. Yes, we find it！ 15

  16. Main results

  17. m-Fuss paths 2-Fuss paths Dyck paths Skew 2-Fuss paths Skew m-Fuss paths Skew Dyck paths

  18. n=1 有2個Skew 2-Fuss paths Skew 2-Fuss paths Definition 5.1 (Chen,2013) 長度為 n 的 Skew 2-Fuss paths：＝ ◎起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。 ◎使用向上步 U(2,2)、右下步 D(1,-1)與左下步 L (-1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。 U D L

  19. n=2 有14個Skew 2-Fuss paths

  20. Generating function Theorem 5.2 (Chen,2013) 14 Theorem 5.3 (Chen,2013) 14

  21. proof ： step1：利用結構拆解法 USD’SD”S USD’SL’ U(S-1)L’L” U(S-1)L’D’S 21

  22. step2： step3：用Lagrange Inversion formula proof ： 22

  23. m格 m格 U D L Skew m-Fuss paths Definition 5.4 (Chen,2013) 長度為 n 的 Skew m-Fuss paths：＝ ◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。 ◎使用向上步 U(m,m)、右下步 D(1,-1)與左下步 L (-1,-1)，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U的個數。

  24. Theorem 5.5 (Chen,2013) ◎ Generating function Theorem 5.6 (Chen,2013)

  25. proof ： step1：利用數學歸納法及結構拆解導出 已知 m=1 時成立(即定理4.2) 已知m=2 時成立(即定理5.2) 假設 Skew m-Fuss paths 時成立 證明 Skew (m+1)-Fuss paths 時也成立 設 Skew (m+1)-Fuss paths 的生成函數記為 S 25

  26. proof ： 依第一次下降到 y=1 及 y=0 分類，並令第 一次下降到 y=0 的單位步的起點為 P，可 分成 4 種類型： (Ⅰ) LD (Ⅱ) LL (Ⅲ) DD (Ⅳ) DL 26

  27. case1： proof ： ◎(Ⅰ)(Ⅱ) 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 L的路徑。 ◎在(Ⅰ)(Ⅱ)型中，先考慮 y=1 之上的路徑，就是以(1,1)為起點，P為終點的路徑。 ◎(Ⅰ)型的路徑＝原點到 P的路徑 × （S） ◎(Ⅱ)型的路徑＝原點到 P的路徑 × （1） ◎(Ⅰ)(Ⅱ) 型相當於以原點為起點，P為終點的路徑，乘上(S+1)。 27

  28. case2： proof ： ◎(Ⅲ)(Ⅳ) 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 D的路徑。 ◎在(Ⅲ)(Ⅳ)中，先考慮 y=1 之上的路徑，就是以(1,1)為起點，P為終點的路徑。 ◎(Ⅲ)型的路徑＝原點到 P的路徑 × （S） ◎(Ⅳ)型的路徑＝原點到 P的路徑 × （1） ◎(Ⅲ)(Ⅳ) 型相當於以原點為起點，P為終點的路徑，乘上(S+1) 28

  29. proof ： 原點走到P的函數方程由數學歸納法假設為 滿足S的函數方程 = 原點走到P乘上(S+1), 即 29

  30. step2： step3：用Lagrange Inversion formula proof ： 30

  31. 31

  32. m-Fuss paths 2-Fuss paths Dyck paths Skew 2-Fuss paths Skew m-Fuss paths Skew Dyck paths

  33. 按照向左步的計數(Skew 2-Fuss paths) Theorem 5.7 ◎Generating function n=2 33

  34. 按照向左步的計數(Skew 2-Fuss paths) Theorem 5.8 ： 34

  35. step1：利用結構拆解，將左下步標記為 y proof ： 35

  36. step2： step3：用Lagrange Inversion formula proof ： 36

  37. 按照向左步的計數(Skew m-Fuss paths) Theorem 5.9 ◎Generating function 37

  38. Discussions and future work 1.數論性質 （1）Dyck paths(Catalan數) （2）Fuss paths(Fuss Catalan數)

  39. Discussions and future work 1. 數論性質 （3）Skew 2-Fuss paths Theorem 6.1 證明：定義 ψ：→ ψ(……L) ＝……D，且ψ(……D) ＝……L ，顯然是一個 involution，ψ將所有 中的路徑二二配對，故 必為偶數。 n=2 39

  40. Discussions and future work 1. 數論性質 （3）Skew 2-Fuss paths Question：Skew m-Fuss paths的數論性質？ Conjectures： 40

  41. 2. 細分 Dyck Paths： 按照山峰數 Narayana numbers 按照隧道（tunnel）數 Narayana numbers 按照區塊（block）數 Ballot numbers 按照第一個山峰的高度 Ballot numbers 按照高度（height） Height distribution Discussions and future work Question： Skew m-Fuss paths 按照以上細分是否有結果？ 41

  42. 3. Skew 2-Fuss paths 按" " 步的細分 Discussions and future work (★) Question：(★)有簡單的証明嗎？ 42

  43. Discussions and future work 4. 組合結構？ ◎There are Catalan Structures ◎There are Fuss Structures Question： Skew m-Fuss paths families？？

  44. THANK YOU！

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