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Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires B. Marx sous la direction de D. Georges et D. Koenig Laboratoire d’Automatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France. Introduction aux systèmes singuliers

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Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéairesB. Marxsous la direction de D. Georges et D. KoenigLaboratoire d’Automatique de GrenobleUMR CNRS-UJF-INPGB.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France

16 décembre 2003

plan de la pr sentation
Introduction aux systèmes singuliers

Placement optimal de capteurs et d\'actionneurs

Diagnostic robuste de défauts

Commande multicritère et commande tolérante aux défauts

Conclusion & Publications

Introduction

Plan de la présentation

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

d finition des syst mes singuliers
Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des

• relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.)

• relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.)

  • On a donc un modèle du type :
  • après linéarisation, le modèle devient :
  • avec
  • on peut supposer

Introduction

Définition des Systèmes singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

formes quivalentes
pour P et Q non singulières on a :
  • Forme équivalente standard :

sous-syst. usuel

sous -syst. non propre

  • Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières :

dynamique

statique

Introduction

Formes équivalentes

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

r ponse temporelle
Réponse temporelle

sous-syst.

usuel

sous syst.

non propre

Introduction

Réponse temporelle

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données det(sE-A) 0
  • système non impulsif
  •  admet une représentation usuelle
  •  a une fonction de transfert propre
  • N=0, dans la forme équivalente standard
  • A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E

16 décembre 2003

int r ts des syst mes singuliers
signification physique des variables

combinaison de relations dynamiques et statiques

systèmes rectangulaires

systèmes interconnectés

systèmes impulsifs

mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible

Introduction

Intérêts des systèmes singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

commandabilit des syst singuliers

 K tel que les pôles

finis de (E,A+BK) soient

arbitrairement placés

 L tel que les pôles

finis de (E,A+LC) soient

arbitrairement placés

sous-syst. usuel

observable

sous-syst. usuel

commandable

sous-syst.

non propre

commandable

sous-syst.

non propre

observable

(E,A,B)Imp-

commandable

(E,A,C)Imp-

observable

 K tel que (E,A+BK)

soit non impulsif

 L tel que (E,A+LC)

soit non impulsif

(E,A,C)

observable

Introduction

Commandabilité des syst. singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

(E,A,B)

commandable

16 décembre 2003

exemple

i2(t)

i1(t)

R

v(t)

C

L

décrit par la forme singulière

de fonction de transfert

(E,A,B) R-commandable

et Imp-commandable

(E,A,C) R-observable et

Imp-observable

x(t), avec retour d\'état

normalisant

Éstimée de x(t),

avec retour d\'état observé

État du système

Introduction

Exemple

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Circuit RLC parallèle :

à t=1, on applique v=1 V

Conclusion

16 décembre 2003

placement optimal de capteurs actionneurs
Problème : quelles grandeurs mesurer ?

sur quelles grandeurs agir ?

Introduction

Placement optimal de capteurs/actionneurs

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • Méthodes(pour systèmes usuels) :
  • • assurer l\'observabilité / la commandabilité
  • • minimiser une erreur d\'estimation / un coût de commande pour un type d\'observateur / correcteur donné
  • • performances en boucle fermée (norme H,…)
  • • maximiser les transferts d\'énergie

16 décembre 2003

principe et avantages des m thodes nerg tiques de poc a

localisation

  • des actionneurs
  • localisation
  • des capteurs

énergie

énergie

  • • fondement théorique : interprétation énergétique des grammiens :

Introduction

Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • Principe :

environnement

(correcteur,…)

environnement

(observateur,

correcteur,…)

système

énergie

énergie

  • Avantages :
  • • ne dépend pas de la structure de supervision

16 décembre 2003

calcul des grammiens g n ralis s pour syst mes singuliers

(i)Gccc, GcnccetGcc= Gccc + Gcncc satisfont respectivement

Introduction

Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

Théorème.

(ii) Si (E, A) est stable, Gccc 0, Gcncc 0etGcc  0, sont les uniques solutions de (1), (2) et (3) respectivement

(iii)Si (E, A) est stable, (E, A, B) est commandable si et seulement si Gcc>0 est l\'unique solution de (3).

=> Résultats analogues pour l\'observabilité (par dualité)

=> Résultats en temps discrets déjà établis

16 décembre 2003

interpr tation nerg tique des grammiens g n ralis s

(i) L\'énergie de commande minimale pour amener un système en X, depuis x(t0)=0, en un temps infini, est donnée par :

(ii) L\'énergie de sortie d\'un système libre, générée par une condition initiale x(0)=X, est donnée par :

Introduction

Interprétation énergétique des grammiens généralisés

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

Théorème.

Maximisation de Gdc

=> minimisation de l\'énergie de commande

Maximisation de (PQ)-TGdo(PQ)-1

=> maximisation de l\'énergie de sortie

16 décembre 2003

optimisation de l observabilit ou de la commandabilit
Placement de nc capteursmaximiser l\'énergie de sortie

le placement optimal correspond à la matrice C solution de

sous les contraintes et

  • Placement de na actionneursminimiser l\'énergie de commande
  • le placement optimal correspond à la matrice B solution de
  • sous les contraintes et

Introduction

Optimisation de l\'observabilité ou de la commandabilité

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

 Problèmes d\'optimisation entière

16 décembre 2003

r alisation et grammiens quilibr s

Les énergies de commande optimale, Eu(X), et de sortie, Ey(X), s\'écrivent alors :

et

Introduction

Réalisation et grammiens équilibrés

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Pour (E,A,B,C) commandable et observable, il existe T1 et T2 telles que :

cas continu : et

cas discret : et

où et

Conclusion

16 décembre 2003

optimisation jointe de l observabilit et de la commandabilit
Placement de nc capteurs et /ou na actionneurs

maximiser l\'énergie transmise des entrées vers les sorties,

le placement optimal correspond à la matrice C et/ou B solution de

sous les contraintes

Introduction

Optimisation jointe de l\'observabilité et de la commandabilité

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

diagnostic robuste

généralement insuffisant car :

    • bruits, dynamiques non modélisées, variation de paramètres…
    •  perturbations
  • biais, dérives, pannes,...  défauts
  •  besoin d\'étudier les défauts, malgré les perturbations

perturbations

défauts

mesures

consigne

actionneurs

système

capteurs

générateur de résidus

traitement des résidus

nature, valeur, instant d\'apparition,... des défauts

Introduction

Diagnostic robuste

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Modèle nominal

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

diagnostic robuste pour syst mes singuliers
méthodes a priori - traitement (logique, statistique,...) des données brutes :

 validation de bilans pour systèmes interconnectés

Introduction

Diagnostic robuste pour systèmes singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • méthodes a posteriori - comparaison entre des grandeurs mesurées et des grandeurs estimées :
  •  diagnostic robuste par filtrage-H
  •  diagnostic robuste par factorisation coprime
  •  estimation des fautes par observateur PI à entrées
  • inconnues

16 décembre 2003

validation de bilans pour syst mes interconnect s

Introduction

Validation de bilans pour systèmes interconnectés

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • objectifs :
  •  détecter et localiser des défauts de mesures (dérives,…)
  •  détecter et localiser des défauts système (fuites,…)
  •  validité à l\'apparition de défauts multiples

Conclusion

  • méthode :
  •  approche graphique : système équivalent à un graphe
  •  génération de résidus par arcs et par nœuds
  •  logiques de décision pour générer des alarmes
  • résultats :
  •  détection et localisation de défauts multiples
  •  minimisation des fausses alarmes,
  •  décentralisation possible

16 décembre 2003

diagnostic par filtrage h

Positionnement du problème :

  • système décrit par
  • ou

Introduction

Diagnostic par filtrage-H

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • Objectifs :
  •  génération de résidus
  •  modeler la réponse fréquentielle aux défauts
  •  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations
  • Hypothèse :
  •  faisceau (E,A) régulier
  • Méthode :
  •  généralisation du filtrage-H aux systèmes singuliers

16 décembre 2003

diagnostic par filtrage h1

Wf(s)

Wf(s)

Wf(s)

+

f

Gf(s)

génération de résidus

modelerGfr(s)

gabarit de robustesse

f

Gf(s)

génération de résidus

modelerGfr(s)

z

f

Gf(s)

Gf(s)

+

génération de résidus

modeler Gfr(s)

gabarit de robustesse

problème standard H

génération de résidus

-

+

-

w

d

-

d

Wd(s)

Gd(s)

K(s)

d

Gd(s)

+

+

K(s)

r

r

Wd(s)

Gd(s)

Gd(s)

+

+

K(s)

z

r

+

+

+

z

u

Gu(s)

u

Gu(s)

r

u

y

Gu(s)

-Gu(s)

-Gu(s)

-Gu(s)

K(s)

Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s) K(s)Gd(s)Wd(s) ||

Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s)||

Déterminer le K(s) qui minimise la norme H deGwz(s)

Introduction

Diagnostic par filtrage-H

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

  • Formulation sous forme de contrôle H :

Commande

Conclusion

  • Résolution :
  •  synthèse de K(s) par résolution de LMI strictes
  • Limite de cette approche :
  •  générateur de résidus éventuellement impulsif

16 décembre 2003

diagnostic par factorisation coprime

Introduction

Diagnostic par factorisation coprime

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Système :

Conclusion

  • Objectifs :
  •  génération de résidus par des filtres propres
  •  modeler la réponse fréquentielle aux défauts
  •  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations
  • Hypothèses :
  •  faisceau (E,A) régulier
  •  système (E,A,C) Imp-observable et détectable
  • Méthode :
  •  factorisation coprime du système
  •  formulation H du diagnostic

16 décembre 2003

factorisation coprime de syst mes singuliers

Un système régulier et Imp-observable admet une factorisation coprime avec

  • et

Théorème.

Introduction

Factorisation coprime de systèmes singuliers

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  •  cofacteurs propres, réalisables par une représentation usuelle

Application à la génération de résidus

  •  générateur de résidus
  • propre (choix de L)

16 décembre 2003

synth se du module de diagnostic

Wf(s)

f

Gf(s)

  • 1. Déterminer L, telle que (E,A+LC) soit admissible, par résolution d\'une LMI stricte.

d

Wd(s)

Gd(s)

d

z

y

+

+

-

u

Gu(s)

  • 2. Déterminer Qd(s), solution d\'un problème H standard pour le système non singulier (LMI)

f

Gf(s)

~

-Nu(s)

~

M(s)

+

Gd(s)

d

y

+

u

r

Gu(s)

r

Qd(s)

~

-Nu(s)

~

M(s)

+

r

Introduction

Synthèse du module de diagnostic

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Théorème. Le choix du gain L, n\'influe pas sur les performances du module de diagnostic

Conclusion

  • Algorithme de synthèse du module de diagnostic.

16 décembre 2003

exemple de diagnostic par factorisation coprime

Introduction

Exemple de diagnostic par factorisation coprime

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • On considère le système défini par
  • avec
  • On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations :

16 décembre 2003

exemple de diagnostic par factorisation coprime1

Introduction

Exemple de diagnostic par factorisation coprime

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • Résultats obtenus :
  • Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge)
  • Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert)

16 décembre 2003

estimation des d fauts par observateur pi entr es inconnues

Introduction

Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Système :

Conclusion

  • Objectifs :
  •  estimation robuste de l\'état et des défauts
  •  gabarit de robusesse
  • Hypothèses :
  •  (E, A, C) Imp-observable (H1)
  •  rang [EE1] = rang E (H2)
  •  défaut vérifiant df(t)/dt=0 (H3)
  • Méthode :
  •  extension de l\'observateur PI aux systèmes singuliers
  •  synthèse d\'un banc d\'observateurs dédiés

16 décembre 2003

observateur pi entr es inconnues

f

d

u

(\')

y

  • On propose l\'observateur proportionnel-integral défini par :

H

L3

+

-

^

f

K

L1+L2

M2

boucle integrale

^

y

z

^

x

J

+

M1

+

C

+

  •  gains à déterminer afin que
  • et

M3

D

F

Introduction

Observateur PI à entrées inconnues

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Système équivalent à () par compression des lignes de E :

Conclusion

16 décembre 2003

existence et synth se de l obs pi
Pour : F=T1A-L2C , L1=FT2 , J=T1B-(L1+L2)B , H=T1R1-L2R2 M1=In , M2=T2 , M3=-T2D, K=R2, l\'erreur d\'estimation vérifie :

avec

  • Existence
  • Théorème : sous (H1-H3), l\'observateur PI converge
  •  les erreurs d\'estimation sont stabilisables
  • Théorème : l\'observateur PI optimal est solution de la minimisation de  sous les contraintes LMI
  • et
  • etLest donné parL=X-1Y
  • Synthèse

Introduction

Existence et synthèse de l\'obs. PI

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

diagnostic robuste par observateur pi entr es inconnues
 Synthétiser un banc de nf observateurs : chaque observateur PI dédié à un défaut
  • Pour i=1,…nf l\'observateur PI dédié optimal est déterminé par la minimisation de i sous les contraintes LMI suivantes
  • où Di est la (n+i)ème colonne de D
  • etLiest donné parLi=X1i-1Yi

Introduction

Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  •  Un gabarit de robustesse est assuré par une fonction de pondération fréquentielleWd(s)
  • Algorithme de synthèse du module de diagnostic.

16 décembre 2003

exemple d application de l observateur pi

Introduction

Exemple d\'application de l\'observateur PI

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

  • On considère le système défini par
  • avec :
  • et le filtre de pondération :

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

diagnostic robuste pour syst mes singuliers r capitulatif

Introduction

Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

Validation de bilans

Filtrage H

Factorisation coprime

Observateur PI à entrées inconnues

Nature du système

Structure maillée

régime stationnaire

(E,A) régulier

(non impulsif)

(E,A) régulier

Imp-observable

détectable

Défauts à dynamiques lentes dans Im(E)

Résolution

Logique booléenne

(E,A) régulier

(non impulsif)

Problème H non singulier

LMI strictes

LMI strictes

placement de pôles

Implémentation

Automate logique

Filtre singulier (admissible) d\'ordre n

Filtre propre d\'ordre 2r+kf+fd

Filtre propre d\'ordre n+nf

Application

Génération de résidus,

Génération d\'alarmes

Estimation robuste des fautes,

Accomodation de la loi de commande

Génération de résidus,

Estimation robuste des fautes,

Contrôle tolérant aux fautes

Estimation robuste des fautes,

Accomodation de la loi de commande

16 décembre 2003

commande multicrit re

Introduction

Commande multicritère

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Système :

Conclusion

  • Objectifs :
  •  placement de pôles (O1)
  •  contrainte de norme-H sur le transfert de w vers z (O2)
  •  contrainte de norme-H2 sur le transfert de w vers z2 (O3)
  • Hypothèses :
  •  (E, A,B) Imp-commandable
  •  (E, A,C) Imp-observable
  •  Ker(E)  Ker(C2)
  • Méthode :
  •  formulation LMI des objectifs, et optimisation convexe

16 décembre 2003

caract risation par lmi stricte du placement de p les
Théorème : (E,A) est D-admissible si et seulement si il existe une matrice P définie positive et une matriceStelles que

EPET+APET + TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0

avec VetUbase du noyau deE etET,

et où 1ijdésigne la matrice(ij)de composantes égales à 1

Introduction

caractérisation par LMI stricte du placement de pôles

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  • Région LMI : région convexe de C 2 matrices =T et 
  • D-admissible : (E,A), stable, non impulsif et les v.p. finies  D
  •  Généralisé aux systèmes singuliers incertains

16 décembre 2003

synth se des correcteurs pour commande multicrit re
Théorème : Pour une région LMI D et deux réels 2 et  , il existe un retour d\'état u(t)=Kx(t) tel que le système en boucle fermée satisfasse (01-03) si il existe des matrices P=PT>0, L, H et S telles que

Introduction

Synthèse des correcteurs pour commande multicritère

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

  •  chaque objectif impose une contrainte LMI stricte

Commande

  •  recherche d\'un solution : convexité,… mais conservatisme

Conclusion

  • et le gain est donné par K=(LET+HUT)(PET+VSUT)-1
  •  méthode analogue pour le contrôle par retour dynamique de sorties

16 décembre 2003

commande tol rante aux fautes

Introduction

Commande tolérante aux fautes

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Système :

Conclusion

  • Objectifs :
  •  performances nominales
  •  tolérance aux fautes et aux perturbations
  •  mise en œuvre de filtres propres
  • Hypothèses :
  •  (E, A) régulier
  •  (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable
  •  (E, A,C) Imp-observable et détectable
  • Méthode :
  •  factorisation coprime
  •  formalisme H standard pour systèmes usuels

16 décembre 2003

synth se du correcteur pour la commande tol rante aux fautes

Réponse nominale  retour d\'état observé

  • L et F déterminés par LMI strictes

d

f

d

f

ref

u

y

ref

u

y

+

G(s)

+

G(s)

  • Tolérance aux fautes  problème standard H
  • Qc(s) déterminé par synthèse de correcteur H d\'un système non singulier.

~

-Nu(s)

~

M(s)

+

Qc(s)

Xr-1(s)

-Yr(s)

+

Xr-1(s)

-Yr(s)

Introduction

Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

  •  filtres propres
  •  perf. nominales / tolérance aux fautes : traitées séparément

16 décembre 2003

commande tol rante aux fautes adaptative

d

f

ref

u

y

+

G(s)

~

-Nu(s)

~

M(s)

+

r

Qc(s)

Qd(s)

r

Xr-1(s)

-Yr(s)

+

Introduction

Commande tolérante aux fautes adaptative

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • Algorithme de contrôle adaptatif tolérant aux fautes.
  • 1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal
  • 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s)
  • 3 Déterminer nf filtres Qci(s) chacun dédié à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute"
  • 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec
  • où Jd est la norme H du transfert de d sur r

Conclusion

16 décembre 2003

application de la commande tol rante aux fautes

Résidus fournis par le module de diagnostic

  • Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d\'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait).

Introduction

Application de la commande tolérante aux fautes

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • On considère le système défini par
  • avec

Conclusion

16 décembre 2003

conclusion perspectives

Introduction

Conclusion & Perspectives

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

  • On a proposé des méthodologies complémentaires de 1/ placement optimal de capteurs / actionneurs
  • 2/ diagnostic robuste
  • 3/ commande

Conclusion

  • mais de nombreux sujets restent ouverts…
  • 1/ robustesse du POC / A
  • 2/ LTR et Loop shaping
  • 3/ décentralisation de la commande
  • 4/ aspects numériques de la mise en œuvre

16 décembre 2003

publications
 Georges, Benoit, Chovin, Koenig, Marx & Mauris, Distributed Instruments for Control and Diagnosis Applied to a Water Distribution System, IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, Anchorage, USA, 2002.

 Koenig, Mammar & Marx, H Fault Detection and Isolation for Descriptor : a Matrix Inequalities Approach, American Conference on Control, Anchorage, USA, 2002.

 Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor/Actuator Location for Descriptor Systems Using Lyapnov-Like Equations, 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, 2002.

 Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.

 Marx, Koenig & Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, European Control Conference, Cambridge, UK,2003.

 Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for linear descriptor systems using proportional integral obsevers, 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Hawai, USA, 2003.

Soumis:

  •  Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor and actuator location for descriptor systems using generalized gramians and balanced realizations, soumis à American Control Conference, 2004
  •  Marx, Koenig & Georges, Pole-Clustering, H2/H Control for Descriptor Systems : a Strict LMI Approach, soumis à IEEE transactions on automatic control (2003)
  •  Marx, Koenig & Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003)

Introduction

Publications

Syst. Sing.

Plact Opt. CA

Diag. Robuste

Commande

Conclusion

16 décembre 2003

merci de votre attention
Merci de votre attention

(ou de votre patience)

16 décembre 2003

ad