Sissejuhatus astrofüüsikasse

1. Sissejuhatus astrofüüsikasse Loeng 2 Tallinna Tehnikaülikool Vladislav-Veniamin Pustõnski 2010 – 2012

2. Päikese ja tähtede energiaallikad Päikese energeetiline heledus Kuna Päikese pinnatemperatuur on ca. Tp = 5800 K ja Päikese raadius ca. 7·108m, siis, eeldades et Päike on absoluutselt must keha, võib hinnata, kui palju energiat sekundis Päike kiirgab:L = 4πRp2·σTp4, ehk L = 4,0·1026W. Mis on selle energiaallikaks? Vaatleme mõningaid variante, aga peame meeles, et geoloogiliste ja evolutsiooniliste andmete põhjal Maa vanus on mitte vähem kui 4,5 mlrd. aastat = 4,5·109 a. · 32·106 sekundit/a. = 1,4·1017 sekundit. Päikese eluiga ei saa olla sellest väiksem. Võimalike energiaallikate analüüs • Oletame, et Päikese energiaallikaks on kütuse keemiline põlemine (oksüdeerimine). Nt 1 kg petrooleumi põlemisel eraldub ca 40·106J/kg, aga selleks on ka vaja ca. 2,7 kg hapnikku. Seega 1 kg kütuse ja hapniku segu põlemisel eraldub ca 40·106 J/(1+2,7) = 1,1·106 J/kg. Kui kogu Päikese mass (Mp = 2,0·1030 kg) koosneks kütusest ja oksüdeerijast, siis Päikese keemilise energiavaru oleks Ech = 2,0·1030 kg · 1,1·106 J/kg = 2,2 1037 J. Seega Päikese eluiga oleks t = Ech /L = 5,5·1010 s = 1700 aastat. See on Maa vanusest palju vähem. Seega keemilised reaktsioonid ei saa olla Päikese (ja üldiselt tähtede) energiaallikad.

3. Vaatleme veel ühte võimalikku energiaallikat, nimelt gravitatsioonilist kokkutõmbumist. Hindame Päikese gravitatsiooni energiat kui potentsiaalset energiat, mis eralduks Päikese massielementide kukkumisel keskpunkti. Kahe punktmassi m1 ja m2 potentsiaalne energia on teatavasti W = -Gm1 m2/r12 (kus r12 on massidevaheline kaugus). Kui gaaside massielemendid, millest koosneb Päike, asuksid lõpmatult kaugel üksteisest, siis nende potentsiaalne energia on null. Oletame, et Päikese tihedus ρ on ühtlane (konstantne). Siis, kui juba formeerunud massile m liitub mass dm, nende objekti potentsiaalne energia muutub dW= -G·m·dm/r võrra, ja objekti koguenergia selle akkumuleerimisel Päikese massini Mp on Kuna m = ρV =ρ·4πr3/3, siis dm = ρ·4πr2dr, ja saame integraali kirjutada (integreerides r’i kaudu nullist Päikese raadiuseni Rp) Sedasaabteisendada, kasutades Päikese täismassi Mp=ρ·4πRp 3/3: Arvutades, saame Päikese gravitatsioonienergiat Egr: Egr = 2,9 1041 J. Seega Päikese eluiga oleks t= Egr /L = 7,1·1014s = 23 mln. aastat. See on ka Maa vanusest palju vähem. Seega gravitatsioonilise energia eraldumine ei saa olla Päikese energiaallikaks (kuigi mittestatsionaarsetel tähtedel see võib mängida tähtsat rolli teatud eluetapidel).

4. Ainsaks tähtede energiaallikaks võib olla võimsaim teadaolev allikas – termotuuma reaktsioonid. Nendes reaktsioonides üks keemiline element muutub teiseks, reaktsioonis osalevate tuumade masside vahe Δm muutub energiaks vastavalt tuntud Einstein’i valemile E = mc2, kus c = 3·108m/s – valguse kiirus vaakumis. Päikese keskosas toimub reaktsioon 4H → He4, selle tulemusena aine mass kahaneb 0,7% võrra. Reaktsioonind toimuvad vaid Päikese keskosas (tuumas), ja Päikese elu vältel jõuab reageerida vaid 0,1 Päikese kogumassist. Seega Päikese elu jooksul väheneb selle mass 0,1·0,007 = 0,0007 võrra. Eraldatav termotuuma energia on seega Ett = 0,0007·Mpc2. Arvutus annab Ett= 1,3 1044 J. Seega Päikese eluiga on t= Ett /L = 3,1·1017s = 10 mlrd. aastat. See hinnang vastab tänapäva ettekujutustele tähtede evolutsioonist ja on kooskõlas Maa vanusega. Seega on juba Päike läbi elanud ca pool oma elueast, ja tema vesinikkütuse varusd jätkub veel ca. 5 mlrd. aastaks. Vesiniku lõppemisel algavad Päikeses teised, palju kiiremad protsessid. Klassikaline vs kvantmehaaniline vaade probleemile Hindame nüüd, milliseid temperatuure on vaja selleks, et vesiniku tuumadega (prootonitega) saaksid toimuda termotuuma reaktsioonid. Selleks on vaja, et prootonite kiirused suurel kaugusel üksteisest oleksid piisavad nende liginemiseks kaugusele, mis on võrreldatav prootoni läbimõõduga. Kui kaks prootonit liginevad üksteisele lõpmatusest, nende kineetiline energia muutub kuloni välja potentsiaalseks energiaks, kuna kuloni jõud pidurdab nende liikumist ja üritab neid üksteisest eemaldada. Kuloni jõu potentsiaalne energia laengute q1ja q2 jaoks kaugusel r12 üksteisest on W = (1/4πε0)·q1·q2/r12, kus ε0 = 8,85 ·10-12F/m – elektriline konstant. Seega kahe prootoni elektrilise vastasmõju potentsiaalne energia on W = (1/4πε0)·e2/d, kus e = 1,67·10-19Cl – elementaarlaeng ja d = 0,88·10-15m– prootoni raadius. See energia peab olema võrdne kahe prootoni summaarse kineetilise enegriaga lõpmatuses T = 2mpv2/2, kus mp = 1,67·10-27kg – prootoni mass. Seega v2 = (1/4πε0mp)·e2/d.

5. Aine Päikese sees on piisavalt kõrge temperatuuriga, ja kuigi tema tihedus on ka kõrge, võib seda suure täpsusega pidada ideaalseks gaasiks. Osakese keskruudulise kiiruse jaoks ideaalses gaasis eksisteerib valem <v>2 = 3RT/μ, kusR = 8,31J/K·moolon universaalne gaasikonstantjaμ on molaarmass (atomaarvesinikujaprootonitejaoksμ= 0,001 kg/mool). Seega võime kirjutada 3RT/μ = (1/2πε0mp)·e2/d, kust temperatuuri jaoks saame T = (μ/12πRε0mp)·e2/d. Arvutus annab T = 6,9 mlrd. K. Varsti veendume, et see temperatuur on palju kõrgem, kui tegelik temperatuur Päikese tuumas, mis on ca. 15 mln. (ehk 2 suurusjärku madalam). See tähendab, et klassikalise füüsika vaatepunktist ei ole tuumareaktsioonid enamiku tähtede tuumas võimalikud: prootonite soojusliikumise energiad ei ole piisavad selleks, et nad jõuaksid ületada vastastikku tõukkejõudu ja läheneda üksteisele piisavalt lähestikku. Kuidas seda probleemi lahendab kaasaegne astrofüüsika? Vastust annab kvantmehaanika, nimelt puhtalt kvantmehaaniline tunnelefekt. Efekt seisneb selles, et potentsiaalses augus asuv osake ikka suudab teatud tõenäosusega ületada auku piiravat potentsiaalset barjääri. See on täiesti võimatu klassikalises mehaanikas, aga kvantmehaanikas see on võimalik tänades Heisenbergi määramatuse printsiibile. Selle printsiibi üks esitus annab seose aja Δtja energia ΔEmääramatuste vahel: ΔE·Δt > h/4π, kush = 6,63·10-27 J·s on Planck’i konstant. Sellest järeldub, et piisavalt väikeste ajavahemikute jooksul võib osakese energia määramatus olla üsna suur, ja selle aja jooksul on tal võimalus ületada potentsiaalset barjääri. Mida kõrgem ja mida laiem on barjäär, seda väiksem on see tõenäosus, seetõttu klassikaliste objektide jaoks see tõenäosus on tühine. Aga prootonite jaoks, mis liikuvad 15 mln. K vastavate soojuskiirustega, tõenäosus ligineda üksteisega piisavalt lähestikku on arvestatav. Seega osa neist jõuab astuda üksteisega termotuuma reaktsiooni. Selle tõenäosus sõltub suurel määral nende kineetilisest energiast, aga temperatuuriga kasvab kiiresti kõrgeenergeetiliste osakeste osakaal ideaalses gaasis. Seega, mida kõrgem on temperatuur, seda rohkem on energeetilisi prootoneid, mille jaoks tõenäosus ületada potentsiaalset barjääri on suur. Vastavalt sellele kasvab reageerivate tuumade arv väga kiiresti temperatuuri kasvades. Kasv toimub astmefunktsiooni järgi, astmenäitaja on 6 – 8 pp tsükli jaoks ja 16 – 18 CNO tsükli jaoks. Nii, kus N on ühes sekundis reageerivate osakeste arv ja k = 6 – 16.

6. Peamisedtermotuumareaktsioonid tähtedes Kuna 4 prootoni üheajaline kohtumine samas kohas He4 tuuma moodustamiseks on äärmselt ebatõenäoline, toimub reaktsioon 4p → He4 etapiliselt, ehk tsükliliselt. On teada kaks peamist tsükli: pp-tsükkel ja CNO-tsükkel. Tähtedes, mille mass M <1,3Mp, põhilist rolli mängib nn prooton-prooton tsükkel, ehk pp-tsükkel. See domineerib tähe keskosa (tuuma) termperatuuridel vahemikus 10 – 14 mln. K. Tsükli peamine haru on selline: p + p → D2 + e+ + ve+ 0,4 MeV// e++ e- → 2γ + 1,0 MeV D2+ p → He3 + γ+ 5,5 MeV He3+ He3→ He4+ 2p+ 12,8 MeV Siin D2 on deuteeriumi tuum (raske vesinik, vesiniku tuum ühe lisaneutroniga), e+ ja e- on vastavalt positron (elektroni antiosake) ja elektron, ve on nn elektrooniline neutriino ja γ on gamma-kvant (elektromagnetkiirguse kvant röntgeni spektripiirkonnast). Nendest reaktsioonidest on esimene kõige aeglasem (karakteristlik ajaskaala on 10 mlrd. aastat), teised reaktsioonid toimuvad palju kiiremini, seega Päikese koosseisus on peaaegu pole deuteeriumi ja väga vähe He3. On veel mitu pp-tsükli harusid, aga need on efektiivsed kõrgematel temperatuuridel, mille juures CNO-tsükkel on üldiselt efektiivsem. On lihtne veenduda, et pp-tsüklis iga He4 tuuma moodustamisega on seotud energia eraldumine ca 2(0,4 + 1,0 + 5,5) + 12,8 = 26,6 MeV. Massiivseimates tähtedes(M >1,3Mp) põhilist rolli mängib nn CNO-tsükkel, ehk Bethetsükkel. See domineerib tähe keskosa (tuuma) termperatuuridel > 14 mln. K. Tsükli peamine haru on selline:

7. C12 + p → N13 + γ+ 1,9 MeV N13 → C13+ e+ + ve+2,2 MeV C13+ p → N14+ γ+ 7,5 MeV N14+ p → O15+ γ+ 7,4 MeV O15→ N15 + e+ + ve+ 2,8 MeV N15+ p → C12 + He4+ 5,0MeV Nagu näeme, C12 osaleb selles tsüklis katalüsaatorina, reaktsioonides see muutub järjekordselt lämmastikuks, hapnikuks ja lõpuks sattub väljundproduktidesse koos He4-ga. Kõige aeglasem selles ahelas on neljas reaktsioon. Seega tsüklis osalevatest elementidest leidub peamiselt N14, muud elemendid reageerivad suhteliselt kiiresti. Nende tasakaaluline suhe tähtede atmosfäärides (kuhu nad sattuvad tuumast konvektsiooni tõttu) peab vastama reaktsioonide iseloomulikele ajaskaaladele, mida leitakse teoreetiliselt. Seega, mõõtes nende elementide suhtelisi koguseid spektraalanalüüsi abil, saab kontrollida teoreetilisi järeldusi. CNO-tsüklis neutriino viiab ära ca 1,7 MeV võrra rohkem energiat kui pp-tsüklis, seega tähele jääb ca 25 MeV iga He4 tuuma kohta. Neutriinode jaoks aine on peaaegu läbipaistev: kuna nad ei osale elektromagneetilises interaktsioonis, seega lahkuvad nad Päikest vabalt ja ei soojenda ainet; samamoodiläbivad nad ka Maad vabalt. Neutriinod võtavad osa vaid nn nõrgas interaktsioonis, vastavate reaktsioonide tõenäosus on äärmiselt väike, seega vaid tühine osa neutriinodest osalevad reaktsioonides, meie näeme seda hiljem. Eksisteerivad ka teised CNO-tsükli harud, nende tõenäosus on väiksem. Mõned nendest realiseeruvad vaid väga massiivsetes tähtedes, mille tuuma temperatuurid on väga kõrged. On ka harud, mis realiseeruvad eriti kõrgetel temperatuuridel, mida tähtede tuumades ei leidu, aga mis võivad tekkida muudes tingimustes, nt novades.

8. Ülalmainitud tsüklite valemitest järeldub, et nii pp-tsüklis kui ka CNO-tsüklis eraldub iga He4tuuma kohta 2 elektroonilist neutriinot (ve) ja ca 26 MeV energiat. See lubab meile hinnata elektrooniliste neutriinode voogu, mida meie võime oodata Maa orbiidi kaugusel Päikeselt. Kuna 1 MeV = 1,67·10-19 J, siis Päikese energeetiline heledus on L/1,67·10-19= 2,4·1045MeV/s, seega oodatav eraldatavate elektrooniliste neutriinode voog Päikeselt on N = 2·2,4·1045/25·106 = 1,9·1038osakest/sekundis. See voog on isotroopne (ühesugune igas suunas), ja läbib Maa orbiidi raadiusega (Rma) sfääri. Selle sfääri raadius on 4·π·Rma2 = 2,8·1023m2, seega igat ruutmeetrit peab läbima sekundis 6,8·1014 elektroonilist neutriinot, mis on hiiglaslik arv. Vaatamata sellele, vaid tühine osa nendest reageerib ainega, enamus aga läbib ainet takistamata. Reaalsuses, Maal detekteeritav elektrooniliste neutriinode voog on vaid ½ – ⅓ teoreetilisest. Palju aastaid see jäi üheks Päikese saladuseks. Võimalikud lahendused olid kas väiksemad temperatuurid Päikese tuumas ja seega väiksema intensiivsusega termotuumareaktsioonid; ja nn neutriino ostsillatsioonid. Esimene lahendus oleks väga problemaatiline, kuna see tähendaks, et tähtede ehituse teooriad ei ole õiged, kuigi need teooriad olid väga hästi arendatud. Lõpuks sai selgeks, et just teine lahendus on õige, ja sellele olid leitud ka eksperimentaalsed tõestused. Neutriino ostsillatsioonid on võimalikud siis, kui neutriino seisumass (ehk mitteliikuva osakese mass: relatiivsusteooria järgi sõltub mass kiirusest) ei võrdu nulliga. Ostsillatsioonid tähendavad, et elektroonilised neutriinod teatud tõenäosusega saavad muutuda tau-neutriinodeks ja müoon-neutriinodeks. Vanades eksperimentides oli võimalik detekteerida vaid elektroonilisi neutriinosid. Uuemates eksperimentides detekteeritakse kõikide kolme tüüpi neutriinosid.Oli leitud, et kõikide tüüpide neutriinode koguvoog on just selline, nagu tähtede ehituse teooria ennustab. Sellest otseselt tuleneb järeldus, et neutriinod on massiivsed osakesed, ehk nende seisumass pole null. Neutriino avastamisel peeti tõenäoliseks, et nende seisumass on küll null, kuigi Päikese neutriinode eksperimendid lükkavad selle hüpoteesi ümber.