Chapitre 10

1. Chapitre 10 Symétrie Axiale

2. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

3. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

4. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

5. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

6. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

7. 1) 2) (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite.

8. 1) Axe de lasymétrie 2) Flèche 1 Flèche 2 (d) 3) En pliant la feuille de papier calque le long de la droite. 4) Lorsqu’on pli la feuille de papier calque le long de la droite (d), les deux flèches se superposent. On dit que les deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d). 5) C’est l’axe de la symétrie.

9. I)Figures symétriques Définition Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent parfaitement après pliage le long de cette droite. Cette droite est alors appelée l’axe de la symétrie. Exemple Dans l’activité ci-dessus, les deux flèches dessinées sur papier calque sont superposables après pliage selon la droite (d). Ces deux figures sont donc symétriques par rapport à la droite (d).

10. Exemple Dans quelles situations les figures sont-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? Dans les situations 2, 3 et 4, les figures sont symétriques par rapport à la droite (d) car elles se superposent après pliage selon la droite (d). En revanche, les cercles de la de la situation 1 ne se superposent pas après pliage selon la droite (d) : les deux cercles ne sont donc pas symétriques.

11. Vocabulaire Dans la situation 4 de l’exemple précédent, on peut dire que : 1) Les figures 1 et 2 sont symétriques par rapport à la droite (d). 2) La figure 1 est le symétrique de la figure 2 par rapport à la droite (d). 3) La figure 2 est le symétrique de la figure 1 par rapport à la droite (d). Remarque Dans cette situation, la droite (d) est l’axe de la symétrie. On dit aussi d’une symétrie par rapport à une droite que c’est une symétrie axiale.

13. 1) 2) 3) G E L

14. 1) 2) 3) G E L

15. 1) 2) 3) G M E L

16. 1) 2) 3) G M E L

17. 1) 2) 3) G M E N L

18. 1) 2) 3) 4) G M E N L

19. 1) 2) 3) 4) G M E N L

20. 1) 2) 3) 4) G O M E N L

21. II)Points symétriques 1)Médiatrice d’un segment Définition La médiatrice d’un segment est la droite : - passant par le milieu du segment ; - perpendiculaire à ce segment.

22. Exemple Dans la situation 1, la droite (d) est perpendiculaire à la droite (AB) mais ne passe pas par le milieu du segment [AB]. La droite (d) n’est donc pas la médiatrice du segment [AB]. Dans la situation 2, la droite (d) passe par le milieu du seg- ment [AB] mais n’est pas perpendiculaire à la droite (AB). La droite (d) n’est donc pas la médiatrice du segment [AB].

23. Dans la situation 3, la droite (d) est perpendiculaire à la droite (AB) et passe par le milieu du segment [AB]. La droite (d) est donc la médiatrice du segment [AB].

24. Comment construire la médiatrice d’un segment ? A Milieu du segment [AB] B Médiatrice du segment [AB]

25. Voici comment construire la médiatrice d’un segment à la règle graduée et à l’équerre : Pour une médiatrice, penser à deux mots : milieu et perpendiculaire.

26. E 1) EF = 8 cm N 2) M 3) Milieu du segment [EF] 4) (d) F 5) On peut conjecturer que si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est à égale distance des extrémités du segment.

27. Propriété Un point appartient à la médiatrice d’un segment ce pointest à égale distance des extrémités de ce segment. SI ALORS • M appartient à la médiatrice de [AB] MA = MB. SI ALORS SI ALORS

28. Remarque Cette propriété est à utiliser de la façon suivante : je peux déduire que MA = MB Si je sais que que M est sur la médiatrice du segment [AB] alors Donnée Conclusion Exemple

29. La droite (KI) est perpendiculaire à la droite (MN) et passe par le milieu du segment [MN]. La droite (KI) est donc la médiatrice dusegment [MN]. Comme K appartient à la droite (KI), je sais que K appartient à la médiatrice du segment [MN] donc je peux déduire que KM = KN.

30. E 1) EF = 8 cm N 2) M 3) Milieu du segment [EF] 4) (d) F 5) On remarque que les points M et N sont sur la médiatrice du segment [EF]. On peut conjecturer que si un point est à égale distance des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

31. Propriété Un point est à égale distance des extrémités d’un segment ce pointappartient à la médiatrice de ce segment. SI ALORS MA = MB M appartient à la médiatrice de [AB]. SI ALORS SI ALORS

32. Remarque Cette propriété est à utiliser de la façon suivante : Si je sais que MA = MB alors je peux déduire que M est sur la médiatrice du segment [AB]. Donnée Conclusion Exemple Traçons un cercle de centre J, de rayon 5cm et plaçons sur le cercle deux points distincts A et B.

33. Démontrer que le point J, centre du cercle, est sur la médiatrice du segment[AB]. A est un point du cercle donc AJ = 5 cm. On a donc AJ = BJ. B est un point du cercle donc BJ = 5 cm. Je sais que AJ = BJ donc je peux déduire que A est sur la médiatrice du segment [AB].

34. 2)Symétrique d’un point Nous avons définit la notion de symétrie axiale expérimentalement à l’aide d’un pliage selon une droite. Nous allons maintenant la définir mathématiquement. Définition Cas 1 : le point A n’est pas sur l’axe de la symétrie. On dit que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) lorsque la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].

35. A (d) Axe de lasymétrie

36. A (d) A’ Axe de lasymétrie Cas 2 : le point A est sur l’axe de la symétrie. Le symétrique A’ du point A par rapport à la droite (d) est lui-même ! Les points A et A’ sont confondus. On dit que le point A est un point invariant.

37. (d) A A’ Axe de lasymétrie 3)Construction du symétrique d’un point Avec l’équerre et le compas :

38. Avec le compas seul : Remarque La symétrie est une transformation qui permet de « passer » d’un objet à un autre, comme un miroir. La sy- métrie n’est pas un objet mais une action.

39. III)Propriétés de la symétrie axiale A B C (d) C’ B’ A’ Propriété Le symétrique d’une droite par rapport à une droite (d) est une droite. La symétrie axiale conserve l’alignement.

40. A B (d) B’ A’ Propriété Le symétrique d’un segment par rapport à une droite (d) est un segment. La symétrie axiale conserve les longueurs.

41. (C) A C B (d) B’ A’ C’ Propriété (C’) Le symétrique d’un cerclepar rapport à une droite (d) est un cercle de même rayon. La symétrie axiale conserve les mesures d’angle.

42. Comment construire le symétrique d’une figure ? On décompose la figure en figures simples (point, segment, droite, … ) et on applique les principes suivants : - pour obtenir le symétrique d’une droite, on construit les symétriques de deux points distincts de cette droite ; - pour obtenir le symétrique d’un segment, on construit les symétriques des extrémités de ce segment ; - pour obtenir le symétrique d’un cercle, on construit le symétrique du centre (le rayon est le même).

43. Exemple Pour construire le symétrique du triangle ABC rectangle en A, on peut construire les symétriques de chaque sommet du triangle.

44. Exemple Pour construire le symétrique du triangle ABC rectangle en A, on peut construire les symétriques de chaque sommet du triangle.

45. Exemple Pour construire le symétrique du triangle ABC rectangle en A, on peut construire les symétriques de chaque sommet du triangle.

46. Exemple Pour construire le symétrique du triangle ABC rectangle en A, on peut construire les symétriques de chaque sommet du triangle.

47. Exemple Pour construire le symétrique du triangle ABC rectangle en A, on peut construire les symétriques de chaque sommet du triangle.

48. On peut aussi utiliser les propriétés de conservation.

49. On peut aussi utiliser les propriétés de conservation.

50. On peut aussi utiliser les propriétés de conservation.