odwzorowanie Mercatora odwzorowanie Cassiniego-Soldnera odwzorowanie Gaussa- Krügera

1. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii • odwzorowanie Mercatora • odwzorowanie Cassiniego-Soldnera • odwzorowanie Gaussa- Krügera • odwzorowanie UTM • odwzorowanie quasi-stereograficzne

2. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Mercatora Twórcą odwzorowania był kartograf i matematyk Gerhard Kremer, znany powszechnie jako Mercator. W 1569 roku sporządził mapęświata w odwzorowaniu równokątnym walcowym normalnym kuli w płaszczyznę. Odwzorowanie normalne Mercatora powierzchni kuli w płaszczyznę, gdy walec jest styczny do równika można przedstawić za pomocą wzorów: Gerardus Mercator - (1512-1594)

3. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Mercatora Siatka kartograficzna: Obrazami równoleżników są odcinki linii prostych równoległych do osi y układu współrzędnych prostokątnych płaskich xoy. Obrazami południków są odcinki linii prostych równoległych do osi x układu współrzędnych prostokątnych płaskich xoy. Rozkład zniekształceń: Linie jednakowych zniekształceń długości w odwzorowaniu Mercatora pokrywają się z obrazami równoleżników. W odwzorowaniu normalnym stycznym do równika bez zniekształceń odwzorowuje się równik. W miarę oddalania się od równika na południe i na północ zniekształcenia szybko rosną.

4. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Mercatora

5. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Mercatora Ważną własnością odwzorowania Mercatora jest to, że loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem) odwzorowuje się na prostą przecinającą obrazy południków pod stałym kątem. Zastosowanie: w nawigacji, do tworzenia map morskich. Obecnie wykorzystuje się odwzorowanie Mercatora zarówno kuli jak i elipsoidy. Aby zmniejszyć zniekształcenia odwzorowawcze stosuje się odwzorowanie sieczne. Odwzorowanie Mercatora poprzeczne styczne elipsoidy obrotowej spłaszczonej jest równoważne odwzorowaniu Gaussa-Krűgera. Odwzorowanie sieczne to odwzorowanie UTM.

6. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera • W 1745 r. francuski uczony César Fraçois Cassini de Thury (1714-1784) opracował odwzorowanie równoodległościowe elipsoidy w płaszczyznę, w którym bez zniekształceń odwzorowuje się południk osiowy a w kierunku prostopadłym do południka osiowego skala zniekształceń długości jest równa jeden. Cassini zastosował do tego celu system kwadratów z siatką współrzędnych prostokątnych przyjmując południk przechodzący przez Paryż za jedną z osi układu współrzędnych prostokątnych płaskich. Pominął problem konstruowania siatki kartograficznej w zaproponowanym przez siebie odwzorowaniu. César François Cassini

7. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera • Około 1810 roku Johann von Soldner niezależnie opracował odwzorowanie o podobnych własnościach jak to wcześniej zaproponował Cassini. Soldner rozwinął ideę układu współrzędnych prostokątnych krzywoliniowych na sferze i zastosował proponowany układ współrzędnych do konstrukcji równoodległościowego odwzorowania dla opracowania wielkoskalowych map Bawarii.

8. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Cassiniego-Soldnerasfery w płaszczyznę

9. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Cassiniego-Soldneraelipsoidy w płaszczyznę

10. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Cassiniego-Soldneraelipsoidy w płaszczyznę

11. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Siatka kartograficzna

12. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Elipsy zniekształceń odwzorowawczych

13. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Izolinie maksymalnych zniekształceń długości

14. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Własności metryczne odwzorowania Cassiniego-Soldnera Południk osiowy odwzorowuje się bez zniekształceń.Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera jest odwzorowaniem równoodległościowym w kierunku linii geodezyjnych prostopadle wychodzących z południka osiowego. Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku tych linii jest równa jedności. Ogólnie rzecz biorąc lokalne zniekształcenia w miarę oddalania się od obrazu południka osiowego rosną. Linie geodezyjne prostopadle wychodzące z południka osiowego przecinają się na elipsoidzie z południkami Soldnera pod kątem prostym. Ich obrazy w odwzorowaniu także są wzajemnie prostopadłe. Na podstawie I-go i II-go twierdzenia Tissota wiemy, że krzywe te są krzywymi w odwzorowaniu i wyznaczają kierunki ekstremalnych zniekształceń długości. Z tego wywodu wynika, że kierunek południka Soldnera będzie kierunkiem zniekształceń maksymalnych.

15. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Zastosowanie: Odwzorowanie to było wykorzystywane do opracowań map topograficznych Francji do 1803r. W następnych latach zastąpiono je odwzorowaniem Bonne’a. W XIX w. odwzorowanie to było wykorzystywane do tworzenia wielkoskalowych map katastralnych większości państw niemieckich. Do 1927 r. stanowiło ono także podstawę opracowania map katastralnych Prus, jednak z przyjęciem elipsoidy jako powierzchni oryginału Na początku drugiej połowy XIX wieku odwzorowanie Cassiniego-Soldnera zastosowano również w Wielkiej Brytanii do tworzenia map topograficznych. Początkowo z niezależnymi układami współrzędnych dla każdego okręgu administracyjnego, a później z 39 mniejszymi układami odwzorowawczymi. Odwzorowanie to stosowane było w Wielkiej Brytanii do 1919 r. Aktualnie odwzorowanie o nazwie Cassiniego-Soldnera stosowane jest do tworzenia wielkoskalowych map ograniczonych obszarów w takich krajach jak Cypr, Czechy, Dania, Niemcy, Słowacja, Malezja

16. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Gaussa- Krügera Twórcy odwzorowania: • Zostało opracowane przez matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa i użyte przez niego w latach 1820-1830 do obliczenia wyników triangulcji Hannoweru. • Na podstawie rękopisów Gaussa, geodeta • niemiecki Louis Krűger gruntownie • opracował metodę odwzorowania • i opublikował w 1912 r. Carl Friedrich Gauss

17. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Definicja: • Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem konforemnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę spełniające dwa warunki: • Południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej • Elementarna skala zniekształceń długości na południku • osiowym jest stała i równa jedności

18. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Gaussa- Krügera Interpretacja geometryczna: równokątne, walcowe, styczne, poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę Siatka kartograficzna: Południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej. Pozostałe południki odwzorowują się na krzywe symetryczne względem południka osiowego. Równoleżniki odwzorowują się na krzywe symetryczne względem prostoliniowego obrazu równika. Rozkład zniekształceń: Izolinie zniekształceń długości tworzą linie proste równoległe do obrazu południka osiowego. Elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym =1, poza południkiem osiowym >1, w miarę oddalania się od południka osiowego wartość elementarnej skali zniekształceń długości szybko rośnie.

19. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie Gaussa- Krügera Konstrukcja układu współrzędnych prostokątnych płaskich: Oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka osiowego, a oś rzędnych y z obrazem równika. Liczba układów współrzędnych prostokątnych jest równa liczbie pasów południkowych, na które zostaje podzielony odwzorowywany obszar. Zastosowanie: mapy topograficzne, układy współrzędnych 1942, 1965, 1992, 2000. Odwzorowanie stosowane w wąskich pasach południkowych 3 i 6 stopniowych oraz w układzie 1992 pas 10 stopniowy.

20. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie UTM (Universal Transverse Mercator) Definicja: Odwzorowanie UTM jest odwzorowaniem konforemnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę, w którym południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej oraz elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stała i mniejsza od jedności. Współrzędne prostokątne płaskie w odwzorowaniu UTM można wyznaczyć na podstawie współrzędnych wyznaczonych w odwzorowaniu Gaussa-Krűgera z prostej zależności gdzie m0jest to elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym.

21. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie UTM (Universal Transverse Mercator) Interpretacja geometryczna: równokątne, walcowe, poprzeczne, sieczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę. Siatka kartograficzna oraz konstrukcja układu współrzędnych prostokątnych płaskich jest podobna jak w przypadku odwzorowania Gaussa-Krűgera. Zastosowanie: wojskowe mapy topograficzne

22. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie UTM (Universal Transverse Mercator) W zastosowaniach wojskowych jest to odwzorowanie sześciostopniowych pasów południkowych. Przyjęto elementarną skalę zniekształceń długości na południku osiowym równą 0.9996. Uzyskuje się wówczas koła sieczne równoległe do płaszczyzny południka osiowego odwzorowujące się bez zniekształceń. W obszarze pomiędzy tymi kołami elementarna skala zniekształceń długości jest mniejsza od jedności, następuje więc kurczenie, natomiast na zewnątrz elementarna skala zniekształceń długości jest większa od jedności, występuje więc rozciąganie.

23. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie quasi-stereograficzne Twórcy odwzorowania: • Metodę tego typu odwzorowania stereograficznego dla elipsoidy podał w 1924 roku astronom francuski Roussilhe, tworząc odwzorowanie równokątne i azymutalne. • Profesor dr Lucjan Grabowski z Politechniki Lwowskiej uprościł wyprowadzenie wzorów matematycznych dla odwzorowania Roussilhe`a, a oficerowie WIG F. Biernacki i J. Słomczyński w 1930 roku zastosowali to odwzorowanie do obszaru Polski. Definicja: Odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwzorowaniem konforemnym, azymutalnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę. Odpowiada ono stereograficznemu odwzorowaniu kuli o promieniu

24. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie quasi-stereograficzne Interpretacja geometryczna: Parametry: punkt główny (współrzędne B,L) oraz elementarna skala długości w tym punkcie.

25. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowanie quasi-stereograficzne Rozkład zniekształceń: Izolinie zniekształceń długości w tym odwzorowaniu mają postać zbliżoną do koncentrycznych okręgów wokół obrazu punktu głównego. Jeżeli w punkcie głównym skala długości jest równa 1, to poza punktem głównym jest większa od jedności.W przypadku przyjęcia w punkcie głównym elementarnej skali zniekształceń długości mniejszej od jedności w odwzorowywanym obszarze następuje zmniejszenie zniekształceń. Konstrukcja układu współrzędnych prostokątnych płaskich: Początek układu znajduje się w punkcie głównym. Południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej. Oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka osiowego. Zastosowanie: układ współrzędnych 1965, GUGiK 80.

26. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Współrzędne prostokątne płaskie w odwzorowaniu Roussilhe’a możemy wyznaczyć dokonując transformacji płaszczyzny odwzorowania Gaussa- Krűgera w płaszczyznę odwzorowania Roussilhe’a. Zadanie proste Aby wyznaczyć współrzędne prostokątne w odwzorowaniu Roussilhe’a należy znać współrzędne prostokątne płaskie x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera. Następnie możemy wyznaczyć współrzędne xR,yR w odwzorowaniu Roussilhe’a ze związków gdzie

27. Wykład 12. Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Zadanie odwrotne W przypadku zadania odwrotnego należy obliczyć współrzędne x,y Gaussa-Krügera z zależności : Wyznaczenie współrzędnych elipsoidalnych B,L otrzymuje się poprzez realizację tzw. zadania odwrotnego w odwzorowaniu Gaussa-Krügera.