Um Consenso Completamente Resolvido entre Árvores Filogenéticas Completamente Resolvidas

1. Um Consenso Completamente Resolvido entre Árvores Filogenéticas Completamente Resolvidas José Augusto Amgarten Quitzau

2. Organização • Introdução • n-Árvores e Sistemas de Cortes • Métodos de Consenso • Árvore Mais Provável • Um Algoritmo para Determinar as Árvores Mais Prováveis • Testes

3. Introdução

4. Introdução

5. Introdução

6. Grafo: Acíclico Conexo Com no máximo um vértice de grau 2. Introdução

7. Introdução • Vértices de grau 1 são denominados folhas • Todos os demais são nós internos • No máximo um vértice pode ser eleito para ser a raiz da árvore • Se houver um vértice de grau 2, ele é obrigatoriamente a raiz • Denotamos o conjunto de folhas por L

8. Introdução • Vértices de grau maior que três são denominados politomias • Uma árvore filogenética sem politomias é considerada completamente resolvida

9. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Sistema de Classificação de Linnaeus • Hierarquia de Classes • Cada ser vivo pertence a exatamente uma classe em cada nível da hierarquia • Se um ser vivo de uma classe qualquer A num nível inferior pertence a uma classe qualquer B num nível superior, então A  B • Os subconjuntos de L determinados pelas classes são o que se costuma chamar de uma n-Árvore

10. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Um conjunto  de subgrupos (subconjuntos) de L é denominado uma n-árvore se e somente se as quatro condições abaixo forem verificadas: •    • L   • {x}   para todo x  L • AB  {A, B, } para todos os subgrupos A,B  

11. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Toda n-árvore determina exatamente uma árvore filogenética com raiz. • Dizemos que uma n-Árvore é completamente resolvida se e somente se a inclusão em  de qualquer subgrupo não vazio que não pertença a  fere a condição de que AB  {A, B, } para todos os subgrupos A, B  

12. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Uma n-árvore  é completamente resolvida se e somente se para qualquer subgrupo S com cardinalidade maior que um existirem dois subgrupos A,B tais que AB = S e AB =  [Teo 2.2.3] • O número de subgrupos de uma n-árvore completamente resolvida sobre L é 2|L| - 1 [Teo 2.2.4]

13. n-Árvores e Sistemas de Cortes L= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}; {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 18, 19}; Protista = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; Plantae = {9, 10, 11, 12, 13, 14}; {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}; Animalia = {5, 16, 17, 18, 19}; {16, 17, 18, 19}; {9, 10, 11, 12}; {16, 17, 18}; {9, 10, 11}; {6, 7, 8}; {1, 3, 5}; {16, 17}; {13, 14}; {9, 11}; {6, 7}; {1, 3}; {19}; {18}; {17}; {16}; {15}; {14}; {13}; {12}; {11}; {10}; {9}; {8}; {7}; {6}; {5}; {4}; {3}; {2}; {1}

14. n-Árvores e Sistemas de Cortes

15. n-Árvores e Sistemas de Cortes

16. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Um corte S={A,B} de um conjunto qualquer X é uma bipartição de X em dois subconjuntos não vazios A e B • Dois cortes S e S’ são chamados compatíveis se e somente se existem cortes AS e A’S’ tais que AA’=; caso contrário, eles são chamados incompatíveis • Um conjunto de cortes é chamado um sistema de cortes

17. n-Árvores e Sistemas de Cortes • A distância de cortes () entre dois sistemas de cortes é definido como o número mínimo de inserções e remoções de cortes que deve ser aplicado em um sistema para transformá-lo no outro. • (S1,S2) = |S1| + |S2| - 2|S1S2| [Teo2.1.6]

18. n-Árvores e Sistemas de Cortes • A função  é uma enumeração arbitrária dos elementos de L • Se R é um subgrupo de L, (R) = {(r) | r  R} • Sejam R e S subgrupos de L, então R<S se e somente se: • |R| < |S|, ou • min((R\S)) < min((S\R)) • Se A, B e C são três subgrupos distintos de L. Se A<B e B<C, então A<C[Teo 2.3.2]

19. n-Árvores e Sistemas de Cortes • Seja S={A,B} um corte de L tal que A<B, então chamamos A de subgrupo pequeno de S e denotamos A por Sp • Dois cortes são compatíveis se e somente se seus subgrupos pequenos são compatíveis [Teo 2.3.3] • Seja L um conjunto de cardinalidade maior que dois e T uma árvore filogenética sem raiz com conjunto de folhas L. Então T é completamente resolvida se e somente se F(T) tiver exatamente três n-árvores maximais e estas árvores forem completamente resolvidas [Teo 2.3.5]

20. Métodos de Consenso

21. Métodos de Consenso Consenso Estrito Consenso de Nelson Componentes Combináveis Regra da Maioria

22. Árvore Mais Provável • Seja L um conjunto de unidades taxonômicas e T uma coleção não vazia qualquer de árvore filogenéticas completamente resolvidas e sem raiz com conjunto de folhas L • Freqüência relativa com que o corte C é encontrado numa coleção de cortes: • Peso de uma árvore: • Uma árvore que maximiza p(T,T ) é uma Árvore Mais Provável para o conjunto.

23. Árvore Mais Provável • Definições semelhantes para subgrupos: • Freqüência relativa com que o subgrupo C é encontrado numa coleção de cortes: • Peso de uma n-árvore:

24. O Algoritmo • Usa a relação entre peso de árvores e peso de n-árvores dada pelo Teorema 6.0.2: • Baseado no Teorema 2.3.5, procura encontrar pares de subgrupos para tentar resolver subgrupos maiores

25. O Algoritmo • Um subgrupo S é considerado resolvido se: • |S| = 1, ou • Há um par de subgrupos A,B associados a ele tal que AB=S e AB= • O algoritmo usará uma estrutura composta por três tipos de sub-estruturas para representar as árvores mais prováveis

26. O Algoritmo • Analisa todos os possíveis pares de subgrupos pequenos encontrados na coleção de árvores • Cada par A,B de subgrupos pode se enquadrar em exatamente um dos três casos abaixo: • O par é solução de um terceiro subgrupo pequeno • O subgrupo C = L\{AB} é um subgrupo pequeno e {A, B, C} pode ser uma Árvore mais provável • Nenhum dos casos acima ocorre

27. O Algoritmo • Analisa todos os possíveis pares de subgrupos pequenos encontrados na coleção de árvores • Cada par A,B de subgrupos pode se enquadrar em exatamente um dos três casos abaixo: • O par é solução de um terceiro subgrupo pequeno • O par é condicionalmente adicionado à lista de soluções • O subgrupo C = L\{AB} é um subgrupo pequeno e {A, B, C} pode ser uma Árvore mais provável • A tripla é condicionalmente adicionada à lista de árvores • Nenhum dos casos acima ocorre • O par é descartado

28. O Algoritmo

29. O Algoritmo

30. O Algoritmo • Complexidade: O(l2t2lglt)

31. O Algoritmo • Complexidade: O(l2t2lglt)

32. O Algoritmo

33. Testes

34. Testes

35. Testes