离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三

2. 本次课重点 • 函数的定义 • 单射、满射和双射 • (函数的递归定义—自学) • 集合的基数

3. 第六章 函数 第一节 函数的集合概念 1、定义：设f是集合X到Y的一条对应规则，如 果对每个x  X，都有唯一的y Y与之对应， 则称f 是X到Y的一个（一元）函数。一般记 为 f：X  Y。 对应规则 f 也常叫做映射。 在 f 下 x 与 y 的对应习惯记为 f(x) = y。

4. X叫做函数f 的定义域，也称为 f 的像源集。 Y叫做函数f 的值域，f(X)称为 f 的像集。 如果X=Y，就说f 是集合A上的函数。 注意：这里定义的函数满足： ①处处有定义； ② 单值。 本章中定义的函数称为全函数，如果不是 处处有定义，则称为部分函数（或偏函数）。

5. 例如，定义域为正整数集合的映射f(n)= n/(n-3)，以及复数集合上的映射h(x)= x的复根，它们都不满足这里的函数定 义。前者在n=3处无定义，因而是部分 函数；后者不满足单值条件，称为多值 函数。这种情况不纳入考虑范围。

6. 2、函数的几个例子 例1、熟知的实数集R上的线性函数 f(x)=ax+b, 指数函数 g(x)=axn, 正实数集合R+上的对数函数 h(x)=lnx 等，都满足函数的定义。

7. 例2、设A={a, b, c, d}，定义f： A  A如下： f (a)=a, f(b)=c, f(c)=a, f(d)=c 则 f是A上的一个函数。也可以记为 f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}。 f 的定义域和值域都是A，f 的像集是 f(A)={a，c}。

8. 例3、正整数集合I+上的欧拉函数  ： I+I+ 满足： (n)=不超过n且与n互质的正整数个数. 根据定义，可计算出： (1)=1, (2)=1, (8)=4, (20)=8, ...

9. 例4: 正整数集合I+上的 Fibonacci函数 f(1)=1 f(2)=2 f(n+2)=f(n+1)+f(n) （n  I+) 注意，函数的这种定义方式称为递归 定义，是计算机科学中常用的一种定 义数据对象的方式。这里的递归定义

10. 可以看成是定义了一个序列f1，f2，f3，... (或记为(fn))，其中第一、二两式指定了这个 序列的前两个值，第三个式子称为递归公式， 用以产生序列其余的各个值。大家熟知的阶 乘定义就是这种形式： 0 !=1 n !=n  (n-1) !

11. 3、多元函数 定义: 如果映射 f：A1  A2  ...  AnB1  B2 ...  Bt 满足对任何 (a1, a2, ...,an)  A1  A2  ...  An , 存在唯一 (b1, b2,...,bt)  B1  B2 ...  Bt 与之对应， 则称f 是一个n元函数。

12. 例4、定义集合A的幂集2A上的二元映射 f： 2A 2A 2A如下： f(X,Y)=X Y 根据多元函数定义，f 是一个二元函数。 4、函数与关系的联系与区别 ① 一元函数 f：X  Y 是一个特殊的二元 关系：f={(x, y) f(x)=y}。

13. ② 函数定义域中每个元素只有一个像，关 系则无限制。 ③ 关系的并、交、补、差仍是关系，而函 数的并、交、补、差则不一定是函数。 5、两个函数f 和g 相等问题 f=g 当且仅当①它们有共同的定义域和 值域； ②对定义域中任何x，f(x)=g(x) 。

14. 6、函数的复合运算 ① 、定义：设函数f：A  B，g：B  C， 令 g f={(x, z)(y)[yB  f(x)=y  g(y)=z]}， 称 g f为函数f复合g的复合函数。 注意: 函数复合与关系复合记法的不同， 约定g f(x)=g(f(x))。

15. ② 函数的复合满足结合律 由于函数也是关系，可以从关系的复合满 足结合律，知道函数的复合也满足结合律。 例1：设A={a, b, c, d}，定义f、g： A  A 如下： f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)},

16. 则f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)}, gf={(a, b), (b, a), (c, b) , (d, a)} fg ={(a, c), (b, c), (c, a), (d, a)}, f(gf) ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} (fg)f ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} ff={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。 ff f ={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。

17. 例2：设f、g是实数集R上的函数，其中 f(x)=x2— 3x+2，g(x)=2x —5， 那么， gf (x)=g(f(x))= 2x2— 6x —1, fg (x)=f(g(x))= 4x2— 26x +42。 当f是集合A上的函数时，记f2= ff， f3= ff f ，一般，fn= fn-1 f。 特别规定 f0=IA ( 即A上的恒等函数)。 作业：习题六 1、2

18. 第二节 单射、满射和双射 一、定义：设映射f：A  B，如果 ① 、对任何x1、x2 A，当x1x2时，必 然 f(x1) f(x2)，则称f是(A到B的)单射； ②、对任何yB，都有xA使f(x)=y，则称 f 是(A到B的)满射; ③、如果 f 既是单射又是满射时，称 f 是 （A到B的）双射。

19. “单射”表达的意义可简记为“源不同则 像不同”；“满射”表达的意义可简记为 “值域都有源”；“双射”则是“单且满”。 例1：设f、g是实数集R上的函数，其中 f(x)=x2— 4x+2，g(x)=2x —5， 由于f(x)是一个一元二次函数，其最小值为 —2，因而它不是满射；它对应的图像是一 个开口向上的抛物线，对任何 y 〉 —2，

20. f(x)=y都有两个不同解x1和x2，因而不满足 “源不同则像不同”的条件，所以也不是 单射。 至于g(x)，它是一个线性函数，对任何 y，f(x)=y都有唯一的解，因而它既是单射又 是满射，也就是双射。它对应的图像是一条 斜率为 2 的直线。 实际上，单调函数都是单射。

21. 例2：R+到R的对数函数f(x)=lnx、R到R+的 指数函数f(x)=ex都满足单射和满射的条 件，因而都是双射。 例3：设A={a1，a2，...，an}，并假定元素的 参照顺序为其下标序，则这n个元素的任 意全排列（相对于参照序）称为集合元素 的一个置换，可记为

22.  a1 a2 ... an  =   (a1) (a2) ... (an) 由于全排列中每个元素出现一次且仅出现 一次，因而置换既是单射又是满射，也就 是双射。我们知道n个元素的全排列数目是 n!, 所以A上的不同置换也有n!个。

23. 例如，设A={a，b，c}时，可得到如下 6个置换： a b c a b c a b c a b c a c b b a c a b c a b c a b c b c a c a b c b a 例4：集合A上的恒等函数IA是双射。 例5：(-, +)到(-/2, /2)的映射 f(x)= arctg x 是双射。

24. 二、复合函数的单射、满射情况 定理 设映射f：A  B 和 g：B  C是 两个函数，对于复合函数g  f：A C ① 当f和g都是单射时，g  f也是单射； ② 当f和g都是满射时，g  f也是满射； ③ 当f和g都是双射时，g  f也是双射。

25. 证明要点：对于①，假设 g  f (a1)= g  f (a2)， 即g(f (a1)) = g(f (a2))， 由于g是单射，因而f (a1) = f (a2)， 再由于f是单射，最后导致a1=a2。 根据定义， g  f也是单射。

26. 对于②，设任意c C，由于g是满射， 因而存在 bB，使g(b)=c。对于这个 bB ，由于 f 也是满射，因而存在 a A，使 f(a)=b。也就是g  f (a)=c， 由c的任意性可知， g  f是满射。 ③可由 ①和 ②推得。

27. 例4：如果f是有限集合A上的满射，证明 f 必是双射。 证明：假设A含有n个元素，如果f 不是单 射，则A中至少有两个不同元素在f下的像 相同，因而f(A)的元素个数少于n，这与f 是满射的前提矛盾。所以f 既是满射也是 单射，从而是双射。

28. 三、函数的逆 首先注意，函数f的逆不一定是函数。例如 设f 是集合A={a, b, c, d}上的函数，定义为： f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, 其逆为 g ={ (a, a), (c, b), (a, c), (c, d)}, 已不是函数。

29. 1、定义：设函数f：A  B，如果存在函数 g：B  A使g  f=IA和f  g=IB，则称 g 是 f 的逆函数，并记为 g =f–1。 2、定理：函数 f 存在逆函数的充要条件是f 是双射。 证明要点：如果 f 有逆函数，根据定义 f 必须既是满射又是单射，所以是双射。

30. 如果f有逆函数f–1,则f f–1=IB ,及IB (y)= = f f–1(y)=y. 设: f–1 (y)=x, 即 f(x)=y.因此,f是满射. • 假设s,t A, 使得f(s)=f(t), 那么f–1 f(s)= f–1 f(t). 因为f–1 f = IA, 即 s=t.所以,f是单射.

31. 反过来，当f是双射时，则定义域和值域的 元素具有双向的一一对应，故存在逆函数。 例5： f ={ (a, a), (b, c), (c, d), (d, b)}是集合 A={a, b, c, d}上的双射函数，它的逆函数是 f–1 ={ (a, a), (c, b), (b, d), (d, c)}。 例6：R+到R的对数函数f(x)=lnx和R到R+的 指数函数f(x)=ex都是双射，它们互为逆函数。

32. 3、定理 如果f是双射，则(f–1)–1 = f。 其证明是明显的。 4、定理： 如果f和g都是双射，则 (gf)–1 = f–1  g–1 证明：假设f：A  B, g：B  C，则 gf ：A  C。根据已知，f–1 、 g–1、 (gf)–1和gf都是双射，且

33. (gf)(f–1  g–1 )= (g(ff–1) g–1 ) = (gIB g–1 ) = g  g–1= IC。 同样(f–1  g–1) (gf) = (f–1(g–1 g) f) = (f–1IB f ) = f–1 f= IA。 根据定义， (gf)–1 = f–1  g–1。 作业：习题六 7,8,9

34. 第四节 集合的基数简介 一、集合间的等势 1、定义：如果存在从集合A到集合B的双 射，则称A和B等势，并记为A  B。 2、定理：等势是集合族上的等价关系。 证明要点：自反性可由恒等映射说明；对 称性可由双射函数的逆是双射说明；至于 传递性可由双射函数的复合也是双射说明。

35. 3、有限集的等势与无限集等势的区别 ① 两个有限集合等势当且仅当它们的元素 个数相等。 由双射的一 一对应得出。 ② 无限集可以与它的真子集等势。 例1：I是整数集合，设2I是偶数集合，显然 2I I。可以构造映射f：I 2I，使得对任 意xI，f(x)=2x。那么f是双射，因此I  2I。

36. 例2：R是实数集合，(0, 1)是实数开区间， 显然(0, 1)  R。构造映射f：R (0, 1)， 使得对任意xR，f(x)= 1/2+(arctgx)/ 。 那么f是双射，因此R  (0, 1)。 二、集合的基数 1、有限集合A的基数就是集合A的元素个 数，并记为|A|。

37. 例如：由英文小写字母组成的集合L是有限 集，且|L|=26。 2、非有限集合X的基数是与之等势的集合族 的一种属性描述，记为card(X)。 3、自然数集N的基数规定为card(N)= 0。 4、凡与自然数集N等势的集合，其基数都是 0。包括整数集合、有理数集合。

38. 5、实数集合R与自然数集N不等势，其基数 称为。 已知的基数的大小可以排列如下： 0<1<2<3<...< 0 <  6、没有最大的基数。 因为对任何集合X，card(X) < card(2X)。 作业：习题六 18