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Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real

Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real. Carlos Cardeira. Máquinas de estados – Tempo Real. Máquinas de estado em tempo real Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), representação [A,B,C,D] Equações Diferenciais e sua relação com LTI.

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Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real

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Presentation Transcript


  1. Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real Carlos Cardeira

  2. Máquinas de estados – Tempo Real • Máquinas de estado em tempo real • Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), representação [A,B,C,D] • Equações Diferenciais e sua relação com LTI

  3. Máquinas de estados – Tempo Real • Máquinas de estado em tempo real • Similares às máquinas de estados mas agora os indices representam tempo real. Há uma actualização periódica do estado. Deixa de haver “absent”. • O espaço de estados pode ser infinito • A função update pode ser expressa algébricamente (de outra forma não podia ser uma vez que o espaço de estados pode ser infinito)

  4. Sistemas Lineares e Invariantes (LTI) • Os sistemas Lineares e Invariantes no tempo são aqueles para os quais se conhecem mais resultados • De uma forma geral, dentro de ums determinada gama de funcionamento, os sistemas podem ser aproximados a LTI.

  5. Equações Diferenciais • Os sistemas que se conseguem descrever através de equações diferenciais podem ser definidos como sistemas LTI • Circuitos electricos RLC ou sistemas mecânicos pertencem a esta categoria

  6. Máquinas de estados determinísticas

  7. Máquinas de estados tempo real • n deixa de representarapenas um índicemaspassa a representar tempo real (segundos, minutos, etc.). • Absent deixa de ser necessário. • Entradas, saídas, estadospassam a assumirvalorespertencentes a R. • Recursointensivo à Álgebra Linear para a manipulação dos vectores e matrizes.

  8. Delay3

  9. Estados do Delay • O exemplopodecorresponder à amostragem de um sinal de vozaoritmo de 8192 amostras/s. O sistema delay guarda as últimastrêsamostrasdestesinal. • si(n) representa a iésimaamostra anterior (s1 (n) = x(n-1), …, s3 (n) = x(n-3) = y(n) • A saída é igual à entradadesfasada de trêsunidades • Como se verá, estesistemapode ser representadopormatrizes. • O espaço de estados é R3. Se as entradasforem {0,1} o espaço de estadosseria {0,1}3 • Não se podemfazerdiagramas de estadooutabelas se o espaço de estados, entradasousaídaspertencerem a R.

  10. Média Móvel

  11. Média Móvel • Trata-se de uma média móvel das últimas 4 amostras. • Os estados seguintes dependem dos estados actuais e das entradas, • A saída depende do estado actual e das entradas.

  12. Estimação • y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) • Em estimação é frequente ter valores onde se pensa poder extrair uma função que os identifique. • Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular os valores que melhor satisfizessem a equação de y(n).

  13. Média móvel das saídas (autoregressão) e da entrada actual • y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) • Neste caso, a saída depende dos seus próprios valores anteriores e da entrada nesse instante. • Parece óbvio que os estados correspondam a s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3). • A função update seria: • Começar por s1 não dá  • s2(n+1)=y(n-1)= s1(n) • s3(n+1)=y(n-2)=s2(n) • y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) • (agora já se tem o s1(n+1) porque é igual ao y(n))

  14. Usando Delays: y(n-1) y(n-2) y(n-3) y(n) D D D ¼ ¼ ¼ x(n) + ¼

  15. Autoregressão e Média Móvel (ARMA) • y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2) • Necessitaria de 5 delays (adiante veremos que seria possível fazê-lo com 3)

  16. MédiaMóvel • s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) • s2(n+1)= s1(n) • s3(n+1)=s2(n) • y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) s1(n+1) ¼ ¼ ¼ s1(n) 1/4 s2(n+1) = 1 0 0 s2(n) + 0 x(n) s3(n+1) 0 1 0 s1(n) 0

  17. MédiaMóvel • y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n) s2(n) s3(n)

  18. Representação [A,B,C,D] S(n+1) = A s(n) + B x(n) y(n) = CT s(n) + D x(n) Notas: Por omissão, todos os vectores são colunas. Um vector linha obtem-se transpondo um vector coluna Todos os LTI podem ser colocados neste formato

  19. Sistema LTI Genérico • MIMO: Multiple Input, Multiple Output • SISO: Single Input, Single Output

  20. Espaço de estados infinito com funções de update lineares

  21. Exemplo: Circuito R/C

  22. Resposta de um sistema SISO

  23. Resposta de um sistema SISO

  24. Resposta de um sistema SISO m=n-1 m=1 m=0

  25. Resposta de um sistema SISO • A resposta pode ser decomposta em duas partes: • Uma que só depende do estado inicial • Outra que só depende das entradas • Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado inicial. Trata-se da resposta “zero-input” • Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da entrada. Trata-se da resposta “zero-state” • A resposta total é a soma das duas. • O facto de se poder separar a resposta nestas duas componentes, é uma característica importante dos sistemas LTI.

  26. Resposta de um sistema SISO • Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0. • O sistema é linear !

  27. Resposta Impulsiva

  28. Resposta Impulsiva

  29. Resposta Impulsiva • Suponhamos a entradaimpulso (função Delta de Kronecker) x(n)=d(n): • x(0) = 1, x(n) = 0 n>0 • Se assim for, a resposta do sistemadáexactamente h(n) • É porissoque a h(n) se chama “respostaimpulsiva”

  30. Exemplos SISO – circuito RC

  31. Exemplos SISO – circuito RC

  32. Exemplo : circuito RC

  33. Exemplos SISO – circuito RC

  34. Circuito RC : exemplo numérico R=1M C=1µF =0.1s

  35. Exemplos SISO – circuito RC

  36. Exemplos SISO – circuito RC – resposta impulsiva

  37. Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada contínua

  38. Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada contínua

  39. Exemplos SISO – conta bancária – resposta impulsiva

  40. Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um empréstimo

  41. Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um empréstimo

  42. Exemplos SISO – FIR

  43. Exemplos SISO – FIR

  44. Exemplos SISO – FIR

  45. Sistemas MIMO A matriz A é quadradra (NxN) A matriz B tem dimensões (NxM) A matriz C tem dimensões (KxN) A matriz D tem dimensões (KxM)

  46. Sistemas MIMO • A matriz h tem dimensões (KxM) • h(i,j) é a resposta impulsiva da saída yi à entrada xj, considerando as restantes entradas nulas

  47. MIMO e SISO

  48. Sistemas Lineares Contínuos • SISO • z: ReaisPositivos → ReaisN estado do sistema • z.(t) é a derivada de z avaliada em t • v: ReaisPositivos → Reais é a entrada do sistema • w: ReaisPositivos → Reais é a saída do sistema

  49. Sistemas Contínuos • Em vez do estado seguinte, da-se a tendência do estado (a sua derivada). • O estado seguinte não teria sentido uma vez que o sistema deixa de ser uma máquina de estados cujos estados mudam a intervalos regulares. • A resolução de um sistema contínuo, implica a resolução de equações diferenciais (e transformadas de Laplace). • É no entanto possível aproximar um sistema contínuo por um sistema discreto. Este é o processo usado em simulações.

  50. Aproximação de Sistemas Contínuos – Circuito RC • Conforme vimos no circuito R/C, o sistema contínuo é aproximado por um sistema discreto.

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