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MATEMÁTICAS A. CS II. Tema 10 * Integrales DEFINIDAS. ÁREAS ENTRE FUNCIONES. Tema 10.4 * 2º BCS. ÁREAS PLANAS ENTRE FUNCIONES. EJEMPLO_1 Hallar el área que forman las funciones y = x e y = x 2 entre x=0 y x=1 Área = Área de y=x entre 0 y 1 menos Área y = x 2 entre 0 y 1

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Matem ticas a cs ii

MATEMÁTICAS A. CS II

Tema 10 * Integrales DEFINIDAS

Matemáticas 2º Bachillerato CS


Reas entre funciones

ÁREAS ENTRE FUNCIONES

Tema 10.4 * 2º BCS

Matemáticas 2º Bachillerato CS


Reas planas entre funciones

ÁREAS PLANAS ENTRE FUNCIONES

  • EJEMPLO_1

  • Hallar el área que forman las funciones y = x e y = x2 entre x=0 y x=1

  • Área = Área de y=x entre 0 y 1 menos Área y = x2 entre 0 y 1

  • 1 1 2

  • Área = ∫ x dx – ∫ x dx =

  • 0 0

  • 2 1 3 1

  • = [x / 2] – [x / 3] =

  • 0 0

  • =1/2 – 1/3 = 1/6 u2

Y

y = x2

1

0 1 X

Matemáticas 2º Bachillerato CS


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  • EJEMPLO_1

  • Hallar el área que forman las funciones y = 2x e y = x2

  • Previo: Puntos de corte

  • x = 2 es uno de ellos.

  • x = – 0,5 es el otro

  • Al ser todas las áreas positivas

  • 2 2

  • Área = ∫ 2x dx – ∫ x2 dx =

  • -0,5 -0,5

  • 2 2

  • = [2x /ln2] – [x3/ 3] =

  • -0,5 -0,5

  • = (5,7707 – 1,0201) –

  • – (8/3 + 0,125/3) =

  • = 4,7506 – 2,7083 =

  • = 2,0423 u2

Y

4

3

2

1

y = 2x

y = x2

0 1 2 X

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  • EJEMPLO_3

  • Hallar el área que encierran las funciones y = x3 – x e y = x

  • Por el dibujo vemos que ambas funciones tienen simetría impar.

  • Las áreas A1 y A6 con iguales, aunque con distinto signo.

  • Las áreas A2 y A5 son iguales, aunque con distinto signo.

  • Las áreas A3 y A4 son iguales, aunque con distinto signo.

  • El área A1 es diferencia de dos áreas.

y = x

A6

y = x3 - x

  • Previos

  • Calculamos el corte de ambas.

  • Resulta el sistema:

  • y = x3 – x

  • y = x

  • Por igualación:

  • x3 – x = x  x3 = 2.x

  • x=0 es una solución.

  • x2 = 2  x = ±√2 son las otras dos

A3

A5

A4

-√2 -1 0 1 √2

A2

A1

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  • Resolución

  • -1 -1 -1 -1

  • A1 = ∫ x dx – ∫ x3 – x dx = [ x2 / 2 ] – [ x4/ 4 – x2 / 2 ] =

  • – √2 – √2 – √2 – √2

  • = [ 1/ 2 – 2 / 2 ] – [ (1/4 – ½) – (4/4 – 2/2)] = – 0,5 – ( – 0,25)= – 0,25

  • 0 0

  • A2 = ∫ x dx = [ x2 / 2 ] = 0 – ½ = – 0,5

  • – 1– 1

  • 0 0

  • A3 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = 0 – (1/4 – ½) = 0,25

  • – 1– 1

  • El área pedida será:

  • A = 2.|A1| + 2.|A2|+2.A3 = 2.| – 0,25|+2.| – 0,5|+2.0,25 = 2 u2

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  • EJEMPLO_4

  • Hallar el área que envuelven las funciones y = ln x e y = x - 2

  • Resolución

  • La intersección de ambas funciones son los puntos:

  • ln x = x – 2  (0,16, -1,84) y (3,15, 1,15)

  • De forma aproximada, con dos decimales.

  • A = A1+A2+A3+A4

  • A1  Diferencia de áreas

  • (ambas negativas) en (0,16, 1)

  • A2  Originada por la función

  • lineal, negativa, en (1, 2).

  • A3  Originada por la función

  • logaritmo, positiva, en (1, 2).

  • A4  Diferencia de áreas

  • (ambas positivas) en (2, 3,15)

y = x – 2

1

Y

y = ln x

A4

A3

0 1 2 3,15 X

A2

A1

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  • Resolución

  • 1 1 1 1

  • A1 = | ∫ x – 2 dx | – | ∫ lnx dx | = | [x2/2 – 2.x] | – | [x.lnx – x] | =

  • 0,16 0,16 0,16 0,16

  • = | (1/2 – 2) – (0,0128 – 0,32) | – | (1.ln 1 – 1) – (0,16.ln 0,16 – 0,16)| =

  • = |– 1,5 + 0,3072 | – | – 1 – (– 0,4532) | = 1,2928 – 0,5468 = 0,7460 u2

  • 2 2

  • A2 = | ∫ x –2 dx | = | [x2/2 – 2.x] | = |(2 – 4) – (1/2 – 2)| = | – 2 + 1,5 | = 0,5 u2

  • 1 1

  • 2 2

  • A3 = ∫ lnx dx = [x.lnx – x] =(2.ln2 – 2) – (1.ln1 –1)= – 0,6137+1 = 0,3863 u2

  • 1 1

  • 3,15 3,15 3,15 3,15

  • A4 = ∫ lnx dx – ∫ x – 2 dx = [x.lnx – x] – [x2/2 – 2.x] | =

  • 2 2 2 2

  • = [(3,15.ln3,15 – 3,15) – (2.ln2 – 2)] – [(4,96 – 6,3) – (2 – 4)] =

  • =(0,4643 +0,6137) – (– 1,34 + 2) = 1,087 – 0,66 = 0,427 u2

  • Área = 0,7460 + 0,5000 + 0,3863 + 0,4270 = 2,0593 u2

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