Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim • ID grupy: 97_29_mf_g2 • Opiekun: Jarosław Boboryko • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: „Różne własności liczb naturalnych” • Semestr/rok szkolny: III/ 2010-2011

3. „Różne własności liczb naturalnych” Wielokrotnie na lekcjach matematyki nauczyciele irytowali się, gdy któryś z nas, omyłkowo liczby naturalne nazywał całkowitymi, czy też rzeczywistymi. Postanowiliśmy się zająć tym tematem, między innymi po to, by z takimi omyłkami raz na zawsze skończyć. Liczyliśmy też na ciekawe odkrycia związane z tymi liczbami. Chcieliśmy sobie wyjaśnić tu i tam zasłyszane magiczne właściwości niektórych z nich.

4. „Różne własności liczb naturalnych” Nie zawiedliśmy się na swoich oczekiwaniach. Temat liczby naturalne wydaje się nie mieć końca. Ta prezentacja pokazuje najważniejszą część tego co udało się nam w ciągu paru miesięcy o nich dowiedzieć. Bawiąc się w poszukiwaczy wiedzy, jednak nie zdołaliśmy się przekonać do magicznych właściwości jakichkolwiek liczb, w które to wierzył niejeden badacz jeszcze kilka wieków temu. Cóż, wychowujemy się w XXI wieku i ma to swoje konsekwencje ;-)

5. Przebieg prac nad projektem Po dogadaniu się na początku w grupie jakie są nasze główne cele: Ustaliliśmy (zagłębiając się w literaturze naukowej i zasobach sieci internetowej) jakiego rodzaje liczby będziemy prezentować. Podzieliliśmy się na podzespoły, które wybrały sobie odpowiedni rodzaj liczb do opracowania. Następnie ostro wzięliśmy się do pracy w podzespołach. W trakcie prac okazało się, iż niektóre podzespoły mają nieco większy materiał do opracowania niż inni. Poza tym niektóre zespoły zaczęły się powielać. Nastąpiła korekta przydziału zadań i znowu ruszyło wszystko do przodu. Na koniec, nasza liderka połączyła owoce naszej pracy w jedną całość, co możecie podziwiać w niniejszej prezentacji.

6. LICZBY NATURALNE 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

7. Liczby naturalne – liczby powstałe w konsekwencji potrzeby zliczania zwierząt, przedmiotów, itd. , a więc liczby: 1,2,3,… Niekiedy (w zależności od potrzeb) do liczb naturalnych zalicza się także liczbę zero. Zbiór liczb naturalnych oznacza się przez N. Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony.

8. Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

9. Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

10. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka

11. Zbiór liczb naturalnych opisuje się aksjomatycznie. Najbardziej znaną aksjomatyką zbioru liczb naturalnych jest aksjomatyka Peano. Pojęciami pierwotnymi są tu: liczba zero, liczba naturalna i pojęcie następnika.

12. Postulaty Peano 0 jest liczbą naturalną; Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a); 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; Różne liczby naturalne mają różne następniki: ; Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

13. W zbiorze liczb naturalnych wykonalne jest tylko dodawanie i mnożenie; odejmowanie i dzielenie wyprowadza poza poza zbiór liczb naturalnych (tzn. wyniki tych działań nie zawsze są liczbami naturalnymi), np. 1-2 = -1 , 2:3 =

14. Liczby olbrzymie

15. Liczby olbrzymy są to liczby kryjące za sobą wiele tajemnic. Opisują one niewyobrażalne wielkości, dlatego znalazły zastosowanie głównie w astronomii. Wyobrażenie sobie pewnych materii obecnych w kosmosie jest wręcz niemożliwe, ale dzięki liczbom olbrzymim stajemy przed choćby uświadomieniem sobie ogromu wszechświata.

16. Przykłady obecności liczb olbrzymich w życiu codziennym: • Komar powiększony milion razy będzie miał 5 km długości • Włos ludzki powiększony milion razy będzie miał w średnicy 70 metrów • Milion kropek nie zmieściłoby się na na papierowej wstążce długości 1.8 km • Bilion sekund upływa w ponad 30.000 lat • Od początku naszej ery upłynął ledwo miliard minut dokładnie 29.04.1902r o godzinie 10:40 nasza era rozpoczęła drugi miliard minut.

17. Nazewnictwo liczb olbrzymich Nazwy liczb olbrzymich składają się ze składowych słów pochodzących miedzy innymi z języka słowiańskiego, francuskiego i łaciny… Milioun jest starofrancuskim słowem, pochodzącym od starowłoskiego milione, będącym wzmocnioną wersją słowa mille, tysiąc. Wyraz ze średniowiecznego francuskiego miliart. Słowo to jest przekształconą nazwą miliona ze zmienioną końcówką. We francuskim pojawiło się w XVI wieku

18. Łaciński przedrostek bi- oznacza dwu-. Dodana końcówka z milion Łaciński przedrostek bi- oznacza dwu-. Dodana końcówka z miliard Łaciński przedrostek tri- oznacza trój-. Dodana końcówka z milion Łaciński przedrostek tri- oznacza trój-. Dodana końcówka z miliard

19. Łaciński przedrostek quadri- oznacza czwór-. Dodana końcówka z milion Od łacińskiego quintus, piąty. Od łacińskiego sextus, szósty. Od łacińskiego septimus, siódmy. Od łacińskiego octāvus, ósmy. Od łacińskiego nonus, dziewiąty. Od łacińskiego decĭmus, dziesiąty. Od łacińskiego undecĭmus, jedenasty. Od łacińskiego duodecĭmus, dwunasty. Od łacińskiego centum – sto, lub centesĭmus – setny

20. W Anglii, w Niemczech i w niektórych innych krajach Europy północnej przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe tzn. że: Zawiłości wokół nazewnictwa liczb olbrzymich

21. Natomiast w Ameryce, Francji i krajach Europy południowej podstawą liczenia są grupy trzycyfrowe, czyli:

22. Do schyłku XVIII wieku w Polsce stosowany był sposób angielski (grupy sześciocyfrowe), ale wtedy wraz z modą na francuszczyznę przyszedł do nas francuski sposób liczenia (grupami trzycyfrowymi) i pomimo tego, że nie został powszechnie przyjęty wywołał ogromne zamieszanie. Dopiero po I Wojnie Światowej, kiedy w zniszczonej Europie rozszalała się inflacja oswoiliśmy się z wielkimi liczbami i wróciliśmy do naszego dawnego, angielskiego sposobu ich nazywania, który używany jest do dziś.

26. Cechy podzielności liczb naturalnych Gdy chcecie dowiedzieć się czy liczba 36378 jest podzielna przez 2, nie ma sensu biegać po kalkulator albo wykonywać mozolne obliczenia w słupku.

27. Ogólnie Mówimy że liczba całkowita n jest podzielna przez liczbę całkowitą m, przy czym m ≠ 0, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że n = k · m. Piszemy wówczas m | n i czytamy liczba m dzieli liczbę n, albo liczba n jest wielokrotnością liczby m. Wiadomo jednak że uczeń powie „Co?! I to ma mi pomóc?”. Dlatego przedstawimy to w prostszy sposób na przykładach.

28. Kilka zasad dzięki którym podzielność liczb dla tych których sprawia ona trudność będzie łatwa i przyjemna:

29. Podzielność przez liczbę 2 Przez 2 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry: 0, 2, 4, 6 lub 8 Np : 478 43904 28656 29380

30. Podzielność przez liczbę 3 Przez 3dzielą się liczby, których suma cyfr dzieli się przez 3 Np : 3333 3+3+3+3=12 12:3=4 3981 3+9+8+1=21 21:3=7 2214 2+2+1+4=9 9:3=3 111 1+1+1=3 3:3=1

31. Podzielność przez liczbę 4 Liczba jest podzielna przez4jeżeli liczba utworzona z jej cyfry dziesiąteki jednościdzieli się przez4 Np : 3340 40:4=10 3916 16:4=4 2212 12:4=3 144 44:4=11

32. Podzielność przez liczbę 5 Przez 5 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry 0 lub 5 Np : 475 43900 28650 29385

33. Podzielność przez liczbę 6 Przez 6 są podzielne liczby, gdy spełniają one warunki liczb podzielnych przez 2 i 3 Np : 6 | 12, bo 12:3=4 12:2=6 6 |3312, bo 3312:3=1104 3312:2=1656 6 |814 , bo 814:3=271 814:2=407

34. Podzielność przez liczbę 7 Przez 7 są podzielne liczby, gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez 7. Np : 7 | 531027, bo 531-27=504 504:7=72 Co więc gdy liczba jest dwucyfrowa? Np. 21, to 000021, więc 21-0=21 21:7=3

35. Podzielność przez liczbę 8 Liczba jest podzielna przez 8, gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8. Np : 8 | 32072, bo 72:8=9 8 | 5139640, bo 640:8=80 8 | 207008, bo 8:8=1

36. Podzielność przez liczbę 9 Przez 9 dzielą się liczby, których suma cyfr dzieli się przez9 Np : 9 | 3330, bo 3+3+3+0=9 9:9=19 | 3970, bo 3+9+7+0=18 18:9=29 | 2214, bo 2+2+1+4=9 9:9=19 | 117, bo 1+1+7=9 9:9=1

37. Podzielność przez liczbę 10 Przez 10 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfrę 0 Np : 9450 4389570 2870 20

38. Podzielność przez liczbę 11 Przez 11 są podzielne liczby, gdy suma liczb stojących na pozycjach parzystych lub nieparzystych są podzielne przez 11. Np : 11 | 856 352 403 104, bo 8 + 6 + 5 + 4 + 3 + 0 = 26, 5 + 3 + 2 + 0 + 1 + 4 = 1526 - 15 = 11 a 11:11=1

39. Podzielność przez liczbę 99 Liczba jest podzielna przez 99, przez 33 lub przez 11, jeżeli suma jej odcinków dwucyfrowych, licząc od prawej strony, jest podzielna przez 99, 33 lub 11. Przykład: Liczba 2037354 jest podzielna przez 11, 33, bo 54 + 73 + 03 + 2 = 132, a ponieważ 11|132 i 33|132, więc 11|2037354 i 33|2037354. Liczba 6918021 jest podzielna przez 11, 33 i 99, bo21+80+91+6=198, a ponieważ 11|198 i 33|198 i 99|198, więc 11|6918021, 33|6918021, 99|6918021

40. Podzielność przez liczbę 101 Liczba jest podzielna przez 101, jeśli różnica pomiędzy sumą odcinków dwucyfrowych stojących na nieparzystych miejscach od prawej strony i sumą takich, że odcinków stojących na parzystych miejscach równa się 0 albo wielokrotności 101. Na przykład dla 268405783: 83 + 40 + 2 = 125, 57 + 68 = 125, 125 - 125 = 0

41. Jak widzimy, każda następna cecha podzielności jest coraz bardziej skomplikowana przez co trudniejsza do zapamiętania. Istnieje ich jeszcze wiele. Nadal wymyślane są następne. Stopień ich skomplikowania jednak jest na tyle duży, że są mniej ciekawe i słabo użyteczne.

42. LICZBY PIERWSZE

43. Liczby pierwsze- Są to liczby naturalne których jedynymi dzielnikami są 1 oraz ona sama np. 1, 2 (jedyna parzysta liczba pierwsza), 3, 5. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides. Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS). Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) to projekt obliczeń rozproszonych (obliczenia, umożliwiające współdzielenie zasobów obliczeniowych, często rozproszonych geograficznie) rozpoczęty w styczniu1996r w którym biorą udział ochotnicy poszukujący liczb pierwszych Mersenne'a. Założycielem i autorem oprogramowania jest George Woltman.

44. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI LICZB PIERWSZYCH Najmniejszy różny od jedynki dzielnik liczby naturalnej większej od jedności jest liczbą pierwszą. Euklides pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych: Niech X będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech x będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w X (gdy X jest puste, to x=1). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb x oraz x+1 jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w X, nie jest dzielnikiem liczby x+1. Ale x+1 > 1. Więc x+1 ma dzielnik p, który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza p nie należy do X (bo jest dzielnikiem liczby x+1). Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.

45. Wyznaczanie liczb pierwszych za pomocą „Sita Eratostenesa” Nietrudno jest wyznaczać kolejne liczby pierwsze nie większe od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze.  Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie niewykreślone liczby są liczbami pierwszymi. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. Źródło animacji- http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Animacja_liczb_pierwszych.gif&filetimestamp=20100124194144

46. Rodzaje liczb pierwszych Liczby pierwsze bliźniacze. Liczby pierwsze p i q są bliźniacze jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73... 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych. Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych (stan na listopad 2007) to Liczby te, znalezione w 2007 roku, posiadają 58711 cyfr w zapisie dziesiętnym.

47. Liczby pierwsze czworacze. Liczby czworacze – liczby pierwsze,mające postać p, p+2, p+6, p+8, np. 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to 4104082046 × 4799! + 5651, 4104082046 × 4799! + 5653, 4104082046 × 4799! + 5657 oraz 4104082046 × 4799! + 5659, gdzie ! jest silnią. Liczby pierwsze izolowane. Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady:23, 89, 157, 173.

48. Liczby pierwsze Mersenne'a. Liczbę M(n) := 2n – 1 nazywamy n-tą liczbą Mersenne'a (dla n=0, 1, ...). Tak otrzymana funkcja M jest homomorfizmem ze względu na największy wspólny dzielnik NWD: M(NWD(k, n)) = NWD(M(k), M(n)). Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne'a. Przykłady: 3, 7, 31, 127, 8191... Warunkiem koniecznym, żeby liczba Mersenne'a M(n) była pierwsza jest pierwszość liczby n. Jednak nie dla każdej liczby pierwszej p, liczba M(p) jest pierwsza; na przykład 211 – 1 = 23·89

49. Liczby pierwsze Fermata. Są to liczby pierwsze postaci . Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata, które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537 a oto przykładowe faktoryzacje (rozkłady na czynniki) liczb Fermata F5 = 641 × 6700417 F6 = 274177 × 67280421310721 Liczby pierwsze Germain. Liczbę pierwszą p nazywamy liczbą pierwszą Sophie Germain jeżeli liczba 2p + 1 również jest pierwsza. Oto kilka liczb tego rodzaju: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83... Liczby pierwsze Germain związane są ze szczególnymi przypadkami wielkiego twierdzenia Fermata. Liczby pierwsze Germain są związane z liczbami złożonymi Mersenne'a.

50. Ciekawostki… Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 46 (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: 243112609−1 i liczy sobie 12978189 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 23 sierpnia 2008 roku przez Edsona Smitha – uczestnika projektu GIMPS. Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: 27653 × 29167433 + 1 Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust. Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: (2148 + 1) / 17 znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.