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PROBABILIDAD COMPUESTA

PROBABILIDAD COMPUESTA. Bloque IV * Tema 169. EXPERIMENTOS COMPUESTOS. Son el resultado de combinar dos o más experimentos aleatorios simples. Ejemplos:

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PROBABILIDAD COMPUESTA

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  1. PROBABILIDAD COMPUESTA Bloque IV * Tema 169 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. EXPERIMENTOS COMPUESTOS • Son el resultado de combinar dos o más experimentos aleatorios simples. • Ejemplos: • Lanzar dos monedas al aire. Lanzar tres dados al aire. Extraer dos bolas consecutivas de una urna. Extraer tres bolas a la vez de una misma urna. • Pueden darse dos casos muy importantes: • Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. • Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). • Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. • Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados. Matemáticas Acceso a CFGS

  3. PROBABILIDAD COMPUESTA • Dos o más experiencias son independientes cuando el resultado de una de ellas no dependen del resultado de las demás. • Ejemplos: • Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, extracciones con reemplazamiento. • Dos o más experiencias son dependientes cuando el resultado de una de ellas influye en el resultado de las demás. En este caso debemos hablar de probabilidad CONDICIONADA. • Ejemplos: • Extraer dos cartas de una baraja sin reemplamiento, extraer dos bolas de una urna sin reemplamiento, extraer una carta de una baraja y luego una bola de la urna A o de la B según sea la carta extraída. Matemáticas Acceso a CFGS

  4. Ejemplos • Ejemplo 1 • Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. • P(C ∩ 5) = P(C).P(5) = (1/2).(1/6) = 1/12 = 0,0833 • Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda. • Ejemplo 2 • Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. • Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” • Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” • 2 1 2 1 • P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = -------- ------- = --- --- = 2/20 =1/10 = 0,10 • 2+3 1+3 5 4 • En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro que quedan. Matemáticas Acceso a CFGS

  5. MONEDAS • Se lanza al aire dos monedas. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. • ¿Y de obtener una cara y una cruz?. • Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX} , vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos. • P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 • P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 • P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 • También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. DADOS • Se lanza al aire dos dados exagonales. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. • ¿Y de obtener un doble? • ¿Y de obtener un 7 como suma? • ¿Y de no obtener un 4? • Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} • P(S=12) = Sf/Sp = 1/36 = 0,0277 • P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • _ • P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = • = 0,9167 Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Se lanza al aire dos dados exagonales. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos seises?. • ¿Y de obtener un cuatro y un uno? • Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} • Sea A=Obtener un 6 en un dado. • Sea B=Obtener un 6 con el otro dado. • Sea C=Obtener un 4 en un dado. • Sea D=Obtener un 4 con el otro dado. • Sea E=Obtener un 1 en un dado. • Sea F=Obtener un 1 con el otro dado. • P(A∩B)=P(A).P(B) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 • También P(6∩6)=P(6).P(6) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 • P(C∩F)U(D∩E) = P(C).P(F) + P(D).P(E) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = • = 1/36 + 1/36 = 0,0556 • P(4∩1)U(1∩4) = P(4).P(1) + P(1).P(4) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = • = 1/36 + 1/36 = 0,0556 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. BOLAS • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/8= 8/72 = 1/9 = 0,1111 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/8= 9/72 = 1/8 = 0,125 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/8 + 4/9 . 3/8= 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333 Matemáticas Acceso a CFGS

  9. En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. • Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. • a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. • b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. • c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. • d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. • e)¿Cuál es la p. de que las tres sean de un mismo color?. • Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} • a) • P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20 . 5/19 . 10/18 = 100 / 6840 = 0,01462 • b) • P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20 . 4/19 . 2/18 = 40 / 6840 = 0,005848 • c) • P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20 . 2/19 . 1/18 = 6 / 6840 = 0,000874 • d)_ _ _ _ _ _ • P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20 . 17/19 . 16/18 = 4896 / 6840 = • = 0,7158 • e) • P(BBBUNNNUVVV) = P(B).P(B).P(B) + P(N).P(N).P(N) + P(V).P(V).P(V) Matemáticas Acceso a CFGS

  10. BOLAS • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar con reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/9= 8/81 = 0,09876 • Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/9= 9/81 = 1/9 = 0,1111 • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/9+ 4/9 . 3/9= 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963 Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Probabilidad compuesta: Resumen • Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumplan dos (o más) sucesos: • P(A y B) = P(A∩B)= P(A).P(B) • Es la llamada Regla del producto. • Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumpla alguno de los dos (o más) sucesos: • P(A o B) = P(AUB)= P(A)+P(B) • Es la llamada Regla de la suma. • Para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos se puede utilizar el diagrama del árbol, el cual es imprescindible cuando el experimento presenta cierta complejidad. Matemáticas Acceso a CFGS

  12. DIAGRAMA DE ÁRBOL • El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. • NORMAS • 1.- Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. • 2. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. • 3.- Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. • 4.- Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. • Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  13. URNAS DE BOLAS (1) • En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. • En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. • Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. • a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. • b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. • c)¿Y de que sean de distinto color? P(B∩B) = 2/5 . 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) B 5/9 B P(B∩N) = 2/5 . 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) 2/5 4/9 N P(N∩B) = 3/5 . 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 B N 5/9 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c) 3/5 P(N∩N) = 3/5 . 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 4/9 N Matemáticas Acceso a CFGS

  14. URNAS DE BOLAS (2) • En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. • Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. • Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. P(B∩B) = 3/5 . 3/5 = 9/25 = 0,36 B 3/5 B P(B∩N) = 3/5 . 2/5 = 5/25 = 0,20 3/5 2/5 N P(N∩B) = 2/5 . 4/5 = 8/25 = 0,32 B N 4/5 2/5 P(N∩N) = 2/5 . 1/5 = 2/25 = 0,08 1/5 N Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28 Matemáticas Acceso a CFGS

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