Fractais L-Systems - Computação Natural -

1. Fractais L-Systems - Computação Natural - Componentes: Alessandro Oliveira Giovanni Comarela Leonel Fonseca Tatiana Pontes Yuri Tavares

2. Sumário • Fractais • Introdução • Motivação • Dimensão fractal • L-systems • Definição • Histórico • Estrutura • Exemplos • Aplicações

3. Introdução • Surgimento dos fractais: • Do latim fractus: quebrado, fraturado • O termo “fractal” surgiu em 1975 (BenoîtMandelbrot) • Inspirado no paradoxo da costa • Características dos fractais: • Autossimilaridade e/ou autossimilaridade estatística • Maneira bem definida de criação do fractal • Pertencem a uma “dimensão fractal”

4. Motivação • Modelagem de estruturas naturais (árvores, flocos de neve, etc) • Modelagem de objetos que possuem uma natureza caótica • Maneira relativamente simples de se representar estruturas complexas • Natureza aleatória de eventos naturais (crescimento de galhos numa árvore)

5. Motivação • Problema da costa da Grã-Bretanha • Quanto menor o instrumento de métrica, maior o comprimento da costa

6. Dimensãofracionária • Contando ε-bolas (modelo simplificado): • Cada ε-bola consiste em uma esfera de raio ε • Considere que para cobrir os segmentos do objeto em questão sejam necessárias N ε-bolas • A análise da influência da diminuição do raio ε sobre o número N necessário para cobrir o objeto estima a dimensão do objeto

7. Definição L-systems • L-System é uma variação de uma gramática formal, que permite reescrita paralela; • Sua aplicação mais famosa é a modelagem do crescimento de plantas; • Permite modelar crescimento morfológico de uma variedade de organismos; • Utilizada para gerar fractais auto-similares;

8. Definição L-systems • A principal diferença em relação em relação as gramáticas de Chomsky está em como aplicar regras de produção: sequencial x paralela; • Esta diferença reflete a motivação biológica. Produções capturam divição das células de organismos multicelulares (Várias divisões ocorrem simultaneamente);

9. Definição (cont.) • L-Systems = Lindenmayer Systems Aristid Lindenmayer 1925–1989

10. Histórico • Como biólogo, Lindenmayer trabalhou com leveduras e fungos filamentosos e estudou os padrões de crescimento de vários tipos de algas. Originalmente, L-Systems foram concebidas para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de tais simples organismos multicelulares. Posteriormente, esse sistema foi estendido para descrever as plantas e estruturas complexas de ramificação.

11. Classificação • Existem vários tipos de L-Systems: • Context-Free L-Systems; • Stochastic L-Sytems; • Branching Structures; • 3D; • Context-Sensitive L-Systems; • ...

12. DOL-Systems

13. Interpretação • Gramáticas geram strings. O que fazer com estas strings para que elas tenham uma interpretação gráfica? • A cada símbolo do alfabeto é dada uma semântica para que cada string gerada possa ser mapeada em um “desenho”; • Turtle Interpretation: Considere uma tartaruga andando no espaço bidimensional. O estado da tartaruga é dado pela tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga);

14. Interpretação (cont.) • Turtle Interpretation: Considere o estado da tartaruga como a tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga).

15. Interpretação (cont.) • Curva de Koch: • Variável: F • Constantes: + e – • Axioma: F • Produção: F -> F + F - F - F + F • Ângulo delta: 90 graus

16. Interpretação (cont.)

17. Interpretação (cont.) • Fractal Planta: • Variáveis: F e X • Constantes: +, -, [ e ] • Axioma: X • Produções: X -> F−[[X]+X]+F[+FX]−X e F -> FF • Ângulo delta: 25 graus

18. Interpretação (cont.) • Fractal Planta (Estágio n = 6)

19. Stochastic L-Systems

20. Stochastic L-Systems • 6 imagens produzidas pela mesma gramáticas. Todas representam o 5 estágio.

21. Stochastic L-Systems • Exemplo mais complexo (Flower Field)

22. Exemplos • Curva do dragão: • Applet

23. Exemplos • Curva do dragão: • O Heighway Dragon (também conhecido como Jurassic Park Dragon) foi inicialmente estudado por físicos da NASA • Apareceu na novela Jurassic Park, de Michael Crichton, a qual deu origem ao filme • Na história, o conhecido matemático e teórico do caos Ian Malcon criou curvas do dragão para simular as ações que seriam tomadas no parque

24. Exemplos • Curva do dragão: • Descrição • Começando por um segmento base, substitua cada segmento por dois segmentos com um ângulo de 90° entre eles e com uma rotação de 45° alternadamente para a esquerda e para a direita.

25. Exemplos • Curva do dragão: • Variáveis: X Y • Constantes: F + - • Axioma: FX • Regras: • Ângulo: 90° • “F”, “+” e “-” representam ações de desenho • X e Y são usados apenas para controlar a evolução da curva.

26. Exemplos • Curva do dragão: • Também pode ser gerado pelo conjunto limite da seguinte IFS (iterated function system), no plano Real • Essa representação é mais usada em softwares como o Aphophysis, da Microsoft

27. Exemplos • Curva do dragão: • Dobrando o Dragão • Para as primeiras iterações, a sequência de viradas é a seguinte: • 1st iteration: R • 2nd iteration: R R L • 3rd iteration: R R L R R L L • 4th iteration: R R L R R L L R R R L L R L L • Padrão: Pegue a iteração anterior e adicione um R ao fim dela. Pegue a iteração original de trás para frente, mude cada letra e adicione o resultado após o R

28. Exemplos • Curva do dragão: • Dobrando o Dragão • Esse padrão origina o método de dobramento conhecido como “dobrando uma tira de papel”

29. Exemplos • Curva do dragão: • Dobrando o Dragão • Esse padrão também possibilita calcular a direção do n-ésimo giro da sequência • Para tal, primeiro expressa-se n sob a forma em que k é um número ímpar. Depois, divide-se k por 4. Se o resto da divisão for 1, então o giro é para a direita. Se for 3, o giro é para a esquerda. • Exemplo: 76376º giro • 76376 = 9547 x 8. • 9547 = 2386x4 + 3 • so 9547 mod 4 = 3 • so turn 76376 is L

30. Exemplos • Curva do dragão: • Dimensões

31. Exemplos • Curva do dragão: • Dimensões • Seu perímetro é infinito, uma vez que é incrementado por um fator de a cada iteração • A curva nunca cruza ela mesma • Sua dimensão fractal pode ser calculada: • A dimensão fractal de sua fronteira foi aproximada numericamente por Chang & Zhang:

32. Exemplos • Curva do dragão: • Dimensões • Possui muitas auto-similaridades, sendo a mais óbvia a repetição do mesmo padrão rotacionado de 45° e com o tamanho modificado por uma taxa de

33. Lírio-do-brejo (Convallariamajalis): A A → I[IF0]A Fi → Fi+1 Onde I representa ramos e Fi o crescimento de uma flor

34. Aplicando as regras da gramática: A I[IF0]A I[IF1]I[IF0]A I[IF2]I[IF1]I[IF0]A I[IF3]I[IF2]I[IF1]I[IF0]A

35. Lírio-do-brejo (Convallariamajalis)

36. Aplicações Floco de neve de vonKoch Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

37. Aplicações Floco de neve de vonKoch Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

38. Aplicações Montanhas fractais • Modelagem de relevo. • Cada iteração estabelece uma altura para as medianas dos segmentos.

39. Aplicações L-systems e Algoritmos Genéticos • GA com genótipos inspirados em L-systems. • Função de fitness baseada em hipóteses evolucionistas sobre fatores que tiveram maior efeito sobre a evolução das plantas.

40. Aplicações L-systems e Algoritmos Genéticos • GA para construção de figuras simétricas. • Função de fitness favorece estruturas com simetria bilateral.

41. Aplicações Mitose Celular • Processo de divisão celular conservativa. • Célula inicial origina duas novas células com a mesma composição genética.

42. Aplicações Iris do Olho Humano • Iris do olho humano formada por interpolação de padrões.

43. Aplicações Arquitetura de Plantas • Crescimento de plantas representado por um l-systems.

44. Aplicações Arte em L-systems

45. Consideraçõesfinais • L-systems são úteis e importantes por vários motivos: • Permitem modelagem da natureza com estruturas complexas de essência caótica e aleatória. • Possuem diversas aplicações práticas, uma vez que auxiliam na obtenção de formatos mais próximos da realidade. • Devido à sua utilidade, há vários códigos disponíveis na web (de fácil uso) para a criação de novos L-systems.

46. Referências • http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Plant_generation_I • http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html • http://www.generation5.org/content/2002/lse.asp • http://algorithmicbotany.org/papers/WebApps/LSystems/LSys.html • http://en.wikipedia.org/wiki/L-system • Lindenmayer A (1968). Mathematical models for cellular interaction • in development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of • Theoretical Biology 18:280-289 • Prusinkiewicz P, Lindenmayer A (1990). The Algorithmic Beauty of • Plants. Springer-Verlag:New York