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Les Fractales. Que sont les fractales et quelles en sont les applications ?. HAREL Delphine HERISSET Véronique PRIOUL Morgan RAGOIN Benoît. Sommaire. Introduction 1/ La naissance des fractales Caractéristiques Historique La baderne d’Apollonius
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Les Fractales Que sont les fractales et quelles en sont les applications ? HAREL Delphine HERISSET Véronique PRIOUL Morgan RAGOIN Benoît
Sommaire Introduction 1/ La naissance des fractales Caractéristiques Historique La baderne d’Apollonius Les poussières de Cantor Les courbes de Peano Le flocon de Von Koch Dimension fractale 2/ Fractales et Nature Dans le monde vivant Les choux Les coquillages Les poumons En géologie La côte de Bretagne Les nuages Les montagnes 3/ Fractales et leurs Applications La compression fractale Mur antibruit Mathématiques Art Musique 4/ Exemples Photos Conclusion Bibliographie
Introduction • Depuis l’Antiquité, la plupart des mathématiciens ne s’intéressaient pas aux objets irréguliers qu’ils ne pouvaient pas vraiment décrire. • Il faut attendre 1975 avec la publication du livre Les Objets Fractals par Mandelbrot, un mathématicien français, pour parler des fractales, mot inspiré du latin « fractus » qui signifie « brisé ».
Mandelbrot n’a jamais vraiment tenu à donner une définition précise des fractales étant donné la complexité géométrique de ces objets. • On ne définira donc les fractales que par leurs caractéristiques. Elles vont permettre de mieux décrire la nature et auront aussi de nombreux domaines d’application
Caractéristiques Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes : • Il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes • Il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels, • Il est auto-similaire c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. • Il a une dimension non entière.
Historique Trois siècles avant J.C., Apollonius de Perge, disciple d’Archimède, avait intrigué les mathématiciens de l’époque avec sa “baderne”, triangle curviligne rempli de cercles de plus en plus petits tendant à recouvrir l’espace. Les géomètres de l’époque, médusés devant ce premier objet fractal, se demandaient si l’aire restante était vraiment réduite à rien. La baderne d’Apollonius Vers 1500, le graveur géomètre de la Renaissance, Albrecht Dürer, invente un autre objet fractal fait de pentagones emboîtés.
Puis vers la fin du 19ème siècle, Cantor présente ses “poussières”. A partir d’un segment, on lui retire son tiers central et on réitère l’opération sur les deux segments obtenus, puis sur les quatre, et ainsi de suite… Ce qui étonne est la tendance à perdre une dimension à l’infini. “ poussières” de Cantor Mais Cantor a surtout trouvé toute une technique pour fabriquer des objets fractals. Voici un des nombreux ensembles de Cantor: Le cube de Cantor C3
Presque simultanément, vers 1890, le mathématicien Peano réalise plusieurs courbes fractales autour d’un même principe : Deux des courbes de Peano Contrairement aux poussières de Cantor, la courbe de Peano va tendre à gagner une dimension à l’infini.
En 1904, Helge Von Koch construit son fameux « flocon de neige », utilisant la même technique que Cantor, à la différence que l’on part d’un triangle équilatéral. On remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération, on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives la figure ressemblera plus ou moins à un flocon de neige. Le côté surprenant de cette figure est que son périmètre tend vers l’infini alors qu’elle est incluse dans un cercle de périmètre fini.
En 1915, Sierpinski, un mathématicien polonais crée plusieurs ensembles Fractales. Le principe de la construction du carré fractal de Sierpinski est le suivant: On découpe le carré en 9 autres carrés égaux et on enlève celui du centre. On recommence l'opération à l'infini dans chacun des carrés obtenus. L’aire de la figure obtenue tend vers 0 à l’infini. Il tend à perdre une dimension. Il est donc nécessaire de définir une dimension fractale
La dimension fractale ou de Hausdorff La dimension fractale est une mesure de la façon dont la fractale occupe l'espace.On connaît déjà les dimensions des figures simples: Un segment a pour dimension D=1 Si on agrandit un segment de longueur L, k fois (échelle k), on obtient un nouveau segment de longueur kL, qui contient donc n=k1 fois le segment de départ. La dimension se calcule ainsi :D = log (k1) / log (k) = 1 ce qui revient à écrire n = kD
Un carré a pour dimension D=2 Même principe : à l'échelle k, le carré obtenu contient n=k² fois le carré initial, soit D = log (k²) / log (k) = 2 Un cube a pour dimension D=3 A l'échelle k, le cube contient k3 petits cubes initiaux :n = k3 soit D = log (k3) / log(k) = 3 Ceci marche avec n'importe quel facteur d'agrandissement. Le théorème dit que si on agrandit une figure géométrique d'un facteur k (k>0), les longueurs sont multipliées par k, les surfaces par k2 et les volumes par k3.
Pour les fractales, c'est un peu plus compliqué :On peut prendre l'exemple d'une côte rocheuse. Son contour, si vous le dessinez très précisément est une ligne extrêmement irrégulière. En augmentant à l'infini l'irrégularité de cette ligne, son irrégularité serait telle que cette ligne semblerait avoir une surface (alors que, par définition, une ligne n'a pas de surface). Ce ne serait donc plus vraiment une ligne, de dimension 1, ni tout à fait une surface, de dimension 2.En effet, les fractales ont des dimensions fractionnées. • Exemples : • Les poussières (ensembles discontinus de points) ont une dimension entre 0 et 1 ; • Les courbes ou les surfaces planes (côte, mosaïque) ont une dimension entre 1 et 2 ; • Les objets qui ont un volume (cristaux, éponges...) ont une dimension entre 2 et 3.
La dimension fractale D est définie, pour une figure linéaire, par D = Exemple le flocon de Koch: D=1,26… avec n le rapport des objets et k le rapport de longueurs log (n) log (k) On réduit d’un facteur k l’objet sur lequel on travaille et on multiplie par n le nombre de fois où l’on doit l’appliquer le long de la figure .
Le chou-fleur et le chou romanesco. • Lorsque l'on regarde de près la surface d’un chou-fleur ou d’un chou romanesco, on peut noter que celle-ci est constituée de cônes qui se juxtaposent de manière enroulée en spirales, formant ainsi des volutes qui constituent elles même des cônes similaires aux premiers, mais d'échelle plus grande. • Si on coupe le chou-fleur de haut en bas, on note une organisation en branches principales qui se séparent en branches plus petites. La première division se produit sur la branche principale d'origine, et peut donner 3 à 8 branches secondaires. De même si on coupe le chou romanesco, on note une structure identique. La première division se produit sur la branche principale d'origine et peut donner de 10 à15 branches secondaires. Cette division se renouvelle de la même manière à chaque étage avec une régularité impressionnante pour les deux. Les dimensions des surfaces de ces deux choux sont comprises entre 2 et 3.
Pour ces deux végétaux, chacune des branches (ou sous branches agrandies plusieurs fois) peut être confondue avec le chou lui-même ou avec la branche principale d'origine. Le chou romanesco et le chou-fleur présentent donc une autosimilarité et invariance des détails à toutes les échelles d’observation : ils sont considérés comme fractals.
Les coquillages. • Les conus, sont des coquillages qui appartiennent à la classe des gastéropodes, à la sous-famille des Posobranchia. Les cônes sont carnivores, ils paralysent leurs proies à l’aide d’un dard empoisonné envoyé par leur trompe. • Les couleurs, et textures des coquillages de ces 600 espèces de cônes sont extrêmement variées, allant du nacre aux motifs fractals. Les modélisations mathématiques des pigmentations utilisent la théorie des automates cellulaires. Il n’est pas alors si étonnant de retrouver le triangle de Sierpinski en observant le Conus Thalassiarchus : Triangle de Sierpinski
L’idée est que lors de la formation, plusieurs molécules sont mises en jeux, ayant entre elles des propriétés particulières. • Imaginons une molécule B et une molécule N telles que B + N N ; B + B B et N + N B et imaginons que ces molécules se promènent au hasard lors de la formation du coquillage, avec un sens privilégié, à chaque rencontre, on applique la règle de vie ci-dessus. L’image ci-contre est le résultat de ce processus programmé informatiquement. • La ressemblance avec le coquillage est frappante et on comprend mieux les processus chimiques mis en jeux lors de la formation du coquillage.
LES POUMONS • Dans notre organisme, plusieurs structures sont considérées comme fractales : les poumons, les voies respiratoires, l’intestin grêle, le réseau sanguin, ou encore celui des neurones dans le cerveau. • Au nombre de deux, les poumons sont l’organe principal de l’appareil respiratoire. Ils permettent l’échange des gaz, c’est-à-dire la ventilation entre notre organisme et le milieu extérieur grâce à une très grande surface d’échange pouvant atteindre 200 m². Ils enrichissent le sang en dioxygène (O2) et lui ôte le dioxyde de carbone (CO2).
Les poumons présentent une structure arborescente d’après leurs bronches et bronchioles. Les arborescences de petites tailles sont semblables à celles de tailles supérieures. On a donc un phénomène d’auto-similarité. Nous pouvons dire que les poumons présentent une structure fractale. • Par contre, on peut se demanderpourquoi les poumons sont des fractals. La réponse concrète est l’examen des ramifications des bronches. Les poumons assurent les échanges gazeux par l’intermédiaire d’une surface dont l’aire doit être la plus grande possible mais dans un volume limité tout en empêchant les encombrements. Par exemple, si on utilisait la géométrie d’une sphère pour augmenter l’aire, cela aurait pour conséquence une augmentation du rayon et du volume,ainsi on ne respecterait plus la contrainte d’une surface d’échanges importante pour un volume limité.
Les poumons dans notre organisme occupent une faible place par rapport à la surface d’échange gazeux qu’ils permettent. Ceci est possible grâce à la structure fractale des bronches qui rend la surface d’échange beaucoup plus importante. Ainsi, à l’intérieur de la cage thoracique, les bronches n’occupent qu’un infime espace par rapport au développement de la surface d’échanges qui est énorme. • Les fractales sont donc aussi dans notre organisme.
Les montagnes. Les reliefs montagneux sont très irréguliers, d’ailleurs, B. Mandelbrot en présente produits à partir de fractales dans son ouvrage « Les Objets Fractals ». La dimension fractale est comprise entre 2 et 3 car le relief montagneux est représenté par un polygone (de dimension 2) très compliqué tendant à remplir complètement l’espace (de dimension 3). Mandelbrot a montré que cette dimension est en fait comprise en 2.1 et 2.5 pour modéliser l’ensemble des montagnes que l’on peut trouver sur Terre.
Les nuages. Les nuages suivent une construction fortement lié au hasard étant donné le très grand nombre de paramètres incontrôlables entrant en jeu lors de leur formation. Les nuages présentent une structure fractale par leur auto-similarité. La modélisation fractale de paysages géologiques a trouvé des applications dans les domaines artistique et cinématographique ; dans la conception de paysages artificiels dans les films, dessins animés et jeux vidéo.
La côte de Bretagne • A votre avis, quelle est la longueur de la côte bretonne ? • Lorsque Mandelbrot s’est penché sur la question, il a trouvé un résultat plutôt étonnant. A son sens, cette longueur est infinie. La longueur de la côte varie selon l’altitude à laquelle on mesure. En effet, pour commencer on peut se contenter d’une mesure grossière avec une barre d’un mètre que l’on reporte bout à bout. Ensuite, si l’on utilise une barre de dix centimètres, on va pouvoir coller plus précisément le bord de la côte et donc la périphérie de la côte augmenterait, car les cartes côtières de Bretagne, quelque soit l’échelle, représente toutes une distribution semblable de baies et de caps, ceux ci ayant eux-mêmes des baies et des caps plus petits et ainsi de suite. C’est le principe de l’auto-similarité. Mais pourquoi ?
Bien que l’action des vagues sur une côte rocheuse puisse être souvent impressionnante, l’érosion des côtes est généralement très lente. C’est cette lenteur qui peut expliquer l’importance du détail présent dans la morphologie des côtes. Chaque baie, chaque cap est le résultat de millions d’années d’érosion intégrant finalement à chaque baie une nouvelle baie qui elle-même intègre un nouveau détail de relief de la côte. Mais, si l’on mesure la côte encore plus précisément c’est-à-dire si l’on utilise un segment d’un micron, on pourra contourner le bord de chaque grain de sable qui est à la limite des terres émergées. Si l’on recommençait avec un outil de mesure infiniment petit, la longueur de la côte deviendrait infiniment grande. C’est le processus de l’érosion qui donne le caractère fractal des côtes rocheuses.
La compression fractale Si le système "IFS" (Iterated Function System") est capable de générer des images, peut-être est-il aussi capable de les compresser ? Barnsley décide de poursuivre dans cette voie et fonde la société "Iterated Systems Incorporated", qui détient aujourd'hui les brevets des fichiers ".FIF", le format des images compressées par la technologie fractale. Malheureusement pour Barnsley qui pensait avoir résolu le problème de la compression, sa solution était très lente et non automatisée. En 1992, un de ses élèves, Arnaud Jacquin, automatise la procédure. Son algorithme est encore utilisé aujourd'hui pour la compression fractale.
La compression d’images est très utilisée en informatique et surtout dans l’élaboration de sites Web, où le rapport rapidité/qualité d’image doit être optimal. Elle est aussi très utilisée dans les jeux vidéos pour la création d'objets virtuels très réalistes comme des montagnes, des forêts, des nuages, etc. Finalement, avec la compression, il est possible d'enregistrer des images ou des vidéos sur ordinateur avec un minimum de données pour les stocker. Il existe plusieurs formats de compression d’images et nous comparerons les caractéristiques d’une image compressée à l’aide des IFS (Iterated Function Systems) avec une image compressée par le format le plus utilisé en ce moment le JPEG.
En 1988, un mathématicien, Michael F. Barnsley montra qu'on pouvait stocker des images avec peu de données grâce à une approximation de photographies numérisées à l'aide de fractales. Il évoque les fractales IFS (Iterated Function Systems) dans un livre qui fit sensation cette année là : "Fractals Everywhere". Selon lui, toute image peut être représentée par un ensemble de ces IFS. Il aboutit au "Collage Theorem" qui stipule à quoi doit ressembler un IFS afin de représenter une image.
Contrairement aux techniques habituelles de compression, la compression fractale ne tente pas de réduire le nombre de couleurs (format gif) ou de compresser de manière classique les octets composant l'image. Le principe est ici de remplacer l'image par des formules mathématiques. La compression fractale a pour principe qu'une image n'est qu'un ensemble de motifs identiques en nombre limité, auxquels on applique des transformations géométriques (rotations, symétries, agrandissements, réductions). Evidemment, plus l'image possède cette propriété, meilleur sera le résultat. Exemples d’images fractales générées par Informatique
Comme pour le format JPEG, l'image est découpée en blocs de pixel, mais ils sont ici de tailles variables. Il faut ensuite détecter les redondances entre ces blocs à diverses résolutions. Ces transformations décrivent l'image de plus en plus finement. A la fin de ce processus, on ne stocke pas le contenu d'un bloc autant de fois qu'il a été "vu" dans l'image mais seulement les équations mathématiques permettant de représenter le contenu de ces carrés.
Au final on obtient une structure présentant des caractéristiques similaires à des échelles différentes. Pour retrouver l'image il suffira de décrire les transformations qui ont été appliquées aux blocs initiaux. Ce processus rend la compression indépendante de la taille de l'image. De plus, l'image produite est vectorisée et ne subit pas les effets de la pixellisation, contrairement au JPEG. Ce phénomène est surtout visible lors d'un zoom par exemple, l'image fractale peut devenir floue mais ne pixélise pas. Ceci est dû au fait que lors de l'agrandissement, ce ne sont pas les pixels qui sont élargis, mais toute l'image qui est recalculée mathématiquement.
Image Fractale non compressée – 500ko Image Fractale compressée en JPG – 60ko Image Fractale compressée en FIF – 30ko
Le problème lié à cette technique est la lenteur du procédé de compression, de l'ordre de 50 fois plus lent que pour une image JPEG. La décompression quant à elle est aussi rapide que pour les autres formats. En conclusion, on peut dire que cette méthode fait encore l’objet de recherche actives, car malgré ses prouesses en matière de compression, l’algorithme utilisé pour la compression reste trop lent.
L’art fractal L’irruption de l’informatique dans la recherche mathématique a apporté de nouvelles tendances géométriques. En effet, il suffit d’entrer quelques formules d’itération simples pour créer des images grandioses. Tout le monde est d’accord pour dire que les images fractales sont, pour la plupart, très belles. Mais les nuages, la côte ou le relief, qui présentent des structures fractales, peuvent-ils être appelés œuvres d’art ? Y a-t-il réellement création artistique ?
B. Mandelbrot répond à cette question dans « Les Objets fractals » puisqu’il parle longuement du caractère purement esthétique de ces images. Il distingue trois étapes dans le développement de ce qu’il appelle déjà un art : • l’étape « héroïque » vers 1975, avec les premiers objets fractals ; • l’étape « classique » vers 1980, avec l’apparition des images de synthèse (montagnes, couchers de soleil, paysages urbains…) ; • l’étape « romantique », dix ans plus tard, avec les progrès de l’infographie et la maîtrise de la couleur.
La géométrie fractale nous donne les moyens de décrire nuages, rivières, galaxies…, mais aussi satellites, réseaux routiers, souvenirs… Ce qui constitue un énorme contraste avec la géométrie euclidienne et ses lignes droites, carrés, cercles ou triangles. Les fractales offrent désormais un monde riche en détails, en formes mystérieuses, en mouvement : un monde chaotique et complexe. Les images fractales, les paysages virtuels ont été le point de départ de tout un mouvement artistique. C’est dans les années 80 que quelques artistes commencent à explorer la possibilité d’une réelle existence de l’art fractal. Ces artistes réalisent que les fractales existent partout. Les œuvres fractales sont frappantes par la densité des éléments, visant à « saturer l’espace ». Elles sont d’ailleurs loin d’être simples car il n’y a ni premier ni arrière plan, ce qui place l’œuvre entre le hasard et l’organisation, chaque détail renvoie à l’infini.
Le visage de la guerre de Dali Dans Le visage de la guerre, peinture réalisée par Salvador Dali en 1940, le thème de la guerre en Espagne préside. L’image comporte deux idées : celle de la mort symbolisée par le crâne dans un paysage désertique, et celle de l’infini, illustrée par l’emboîtement de ces crânes. Cette œuvre est bien un objet fractal, car chaque tête de squelette est la réplique exacte du visage principal.
Mur Antibruit Ce qui a été découvert sur les côtes maritimes a trouvé une application dans l'insonorisation. L'effet d'amortissement du relief des plages dû à leurs contours fractals peut se faire au niveau des ondes sonores, qui ne sont en fait que des vagues d'air. Il suffit de répéter sur une surface un motif fractal simple, qui augmentera ainsi la surface de contact avec l'onde. Comme cette surface est brisée l'onde sera très peu réfléchie par le mur. A une fréquence de 250 Hz, ce mur ne renvoie que 15% de l'intensité sonore, alors qu'un mur classique en renvoie 45%. Mais malgré la simplicité du motif, le moulage de telles formes n'est pas facile et rend donc le prix d’un mur fractal plus élevé que celui d’un mur classique. On peut cependant espérer que d’ici plusieurs années ces murs fractals borderont les routes de grandes circulations...
Soit O le centre du polygone régulier tel que: OS1=OS2=OSn=1 • Soit P le périmètre de ce polygone et l’angle SiOSi+1 pour 1 =< i <= n-1 et lk la longueur à l’étape k entre les deux sommets. • étape 1: 3 côtés (triangle équilatéral) : P = 3 x l1 • étape 2: 6 côtés (hexagone régulier): P = 6 x l2 et = 60° • …………………… • étape n:2n-1 côtés avec P = 2n-1x 3 x ln et = 360°/2n-1 x 3 • Donc sin(n/2)= ln/2/1 • Donc ln = 2sin(n/2) • ln = 2sin(360°/2n x 3) • 2n-1 x 3 x ln = Pn • Remarque: lorsqu’on fait tendre n vers l’infini, on tend vers 2 d’où = lim 2n-1 x 3 x ln • n Étape 1 Étape 2 Recherche du nombre
Art Fractale La géométrie fractale permet aussi d'effectuer d'étonnantes réalisations dans le domaine des arts. La plus impressionnante est sans contredit l'art graphique. C'est grâce à leur beauté, leurs formes esthétiques et surprenantes que les fractales ont acquis une très grande popularité. Effectivement, c'est à l'aide de cette géométrie qu'il est possible de créer ce nouveau type d'art visuel. Voici quelques exemples d'images des plus impressionnants créés à l'aide des fractales
Musique fractale Pour écouter un extrait de musique fractale : D’après le côté infini d’une fractale et de son autosimilarité à toutes les échelles, on peut se demander comment la musique peut être fractale. Elle l’est à partir du moment où elle utilise des algorithmes travaillant dans un ensemble fini de formes. • Il existe 2 façons de créer de la musique fractale: • soit à partir d’une image, on la partage en plusieurs lignes et on associe chaque couleur à une note à l’aide d’un logiciel comme Art Song v2.3 ; • soit à partir d’équations mathématiques considérant que les chiffres sont liés à la musique ce qu’illustre la musique mathématique contemporaine.
Notre expérience Nous avons choisi de réaliser une expérience présentant une structure fractale : hydrolyse du chlorure d’étain. Matériel : tube en « U » ; électrodes en graphite ; générateur ; chlorure d’étain ; fils conducteurs. Protocole : Nous versons une solution de chlorure d’étain dans un tube en « U ». A chaque extrémité, nous plaçons des électrodes de graphite reliées au générateur. Ensuite, en variant l’intensité, nous observons le long de l’électrode branchée à la borne positive du générateur, l’apparition progressive de cristaux d’étain formant une structure fractale.
