Les fractales
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Les Fractales. Que sont les fractales et quelles en sont les applications ?. HAREL Delphine HERISSET Véronique PRIOUL Morgan RAGOIN Benoît. Sommaire. Introduction 1/ La naissance des fractales Caractéristiques Historique La baderne d’Apollonius

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Les fractales

Les Fractales

Que sont les fractales et quelles en sont les applications ?

HAREL Delphine

HERISSET Vronique

PRIOUL Morgan

RAGOIN Benot


Les fractales

Sommaire

Introduction

1/ La naissance des fractales

Caractristiques

Historique

La baderne dApollonius

Les poussires de Cantor

Les courbes de Peano

Le flocon de Von Koch

Dimension fractale

2/ Fractales et Nature

Dans le monde vivant

Les choux

Les coquillages

Les poumons

En gologie

La cte de Bretagne

Les nuages

Les montagnes

3/ Fractales et leurs Applications

La compression fractale

Mur antibruit

Mathmatiques

Art

Musique

4/ Exemples

Photos

Conclusion

Bibliographie


Les fractales

Introduction

  • Depuis lAntiquit, la plupart des mathmaticiens ne sintressaient pas aux objets irrguliers quils ne pouvaient pas vraiment dcrire.

  • Il faut attendre 1975 avec la publication du livre Les Objets Fractals par Mandelbrot, un mathmaticien franais, pour parler des fractales, mot inspir du latin fractus qui signifie bris.


Les fractales

  • Mandelbrot na jamais vraiment tenu donner une dfinition prcise des fractales tant donn la complexit gomtrique de ces objets.

  • On ne dfinira donc les fractales que par leurs caractristiques. Elles vont permettre de mieux dcrire la nature et auront aussi de nombreux domaines dapplication


La naissance des fractales

La naissance des fractales


Caract ristiques

Caractristiques

Un objet fractal possde au moins l'une des caractristiques suivantes:

  • Il a des dtails similaires des chelles arbitrairement petites ou grandes

  • Il est trop irrgulier pour tre dcrit efficacement en termes gomtriques traditionnels,

  • Il est auto-similaire c'est--dire que le tout est semblable une de ses parties.

  • Il a une dimension non entire.


Historique

Historique

Trois sicles avant J.C., Apollonius de Perge, disciple dArchimde, avait intrigu les mathmaticiens de lpoque avec sa baderne, triangle curviligne rempli de cercles de plus en plus petits tendant recouvrir lespace. Les gomtres de lpoque, mduss devant ce premier objet fractal, se demandaient si laire restante tait vraiment rduite rien.

La baderne dApollonius

Vers 1500, le graveur gomtre de la Renaissance, Albrecht Drer, invente un autre objet fractal fait de pentagones embots.


Les fractales

Puis vers la fin du 19me sicle, Cantor prsente ses poussires. A partir dun segment, on lui retire son tiers central et on ritre lopration sur les deux segments obtenus, puis sur les quatre, et ainsi de suite Ce qui tonne est la tendance perdre une dimension linfini.

poussires de Cantor

Mais Cantor a surtout trouv toute une technique pour fabriquer des objets fractals.

Voici un des nombreux ensembles de Cantor:

Le cube de Cantor C3


Les fractales

Presque simultanment, vers 1890, le mathmaticien Peano ralise plusieurs courbes fractales autour dun mme principe:

Deux des courbes de Peano

Contrairement aux poussires de Cantor, la courbe de Peano va tendre gagner une dimension linfini.


Les fractales

En 1904, Helge Von Koch construit son fameux flocon de neige, utilisant la mme technique que Cantor, la diffrence que lon part dun triangle quilatral.

On remplace le 1/3 central de chaque ct par 2 segments ayant la mme longueur que celle qui a t prleve et on recommence la mme opration sur chaque ct de la figure obtenue. la premire itration, on obtient une image proche dune toile de David, puis au fur et mesure des itrations successives la figure ressemblera plus ou moins un flocon de neige.

Le ct surprenant de cette figure est que son primtre tend vers linfini alors quelle est incluse dans un cercle de primtre fini.


Les fractales

En 1915, Sierpinski, un mathmaticien polonais cre plusieurs ensembles Fractales.

Le principe de la construction du carr fractal de Sierpinski est le suivant: On dcoupe le carr en 9 autres carrs gaux et on enlve celui du centre. On recommence l'opration l'infini dans chacun des carrs obtenus. Laire de la figure obtenue tend vers 0 linfini. Il tend perdre une dimension.

Il est donc ncessaire de dfinir une dimension fractale


La dimension fractale ou de hausdorff

La dimension fractale ou de Hausdorff

La dimension fractale est une mesure de la faon dont la fractale occupe l'espace.On connat dj les dimensions des figures simples:

Un segment a pour dimension D=1

Si on agrandit un segment de longueur L, k fois (chelle k), on obtient un nouveau segment de longueur kL, qui contient donc n=k1 fois le segment de dpart. La dimension se calcule ainsi :D = log (k1) / log (k) = 1 ce qui revient crire n = kD


Les fractales

Un carr a pour dimension D=2

Mme principe: l'chelle k, le carr obtenu contient n=k fois le carr initial, soit D = log (k) / log (k) = 2

Un cube a pour dimension D=3

A l'chelle k, le cube contient k3 petits cubes initiaux:n = k3 soit D = log (k3) / log(k) = 3

Ceci marche avec n'importe quel facteur d'agrandissement. Le thorme dit que si on agrandit une figure gomtrique d'un facteur k (k>0), les longueurs sont multiplies par k, les surfaces par k2 et les volumes par k3.


Les fractales

Pour les fractales, c'est un peu plus compliqu:On peut prendre l'exemple d'une cte rocheuse. Son contour, si vous le dessinez trs prcisment est une ligne extrmement irrgulire. En augmentant l'infini l'irrgularit de cette ligne, son irrgularit serait telle que cette ligne semblerait avoir une surface (alors que, par dfinition, une ligne n'a pas de surface). Ce ne serait donc plus vraiment une ligne, de dimension 1, ni tout fait une surface, de dimension 2.En effet, les fractales ont des dimensions fractionnes.

  • Exemples :

    • Les poussires (ensembles discontinus de points) ont une dimension entre 0 et 1 ;

    • Les courbes ou les surfaces planes (cte, mosaque) ont une dimension entre 1 et 2 ;

    • Les objets qui ont un volume (cristaux, ponges...) ont une dimension entre 2 et 3.


Les fractales

La dimension fractale D est dfinie, pour une figure linaire, par

D =

Exemple le flocon de Koch: D=1,26

avec n le rapport des objets et k le rapport de longueurs

log (n)

log (k)

On rduit dun facteur k lobjet sur lequel on travaille et on multiplie par n le nombre de fois o lon doit lappliquer le long de la figure .


Fractales et nature

Fractales et nature


Le chou fleur et le chou romanesco

Le chou-fleur et le chou romanesco.

  • Lorsque l'on regarde de prs la surface dun chou-fleur ou dun chou romanesco, on peut noter que celle-ci est constitue de cnes qui se juxtaposent de manire enroule en spirales, formant ainsi des volutes qui constituent elles mme des cnes similaires aux premiers, mais d'chelle plus grande.

  • Si on coupe le chou-fleur de haut en bas, on note une organisation en branches principales qui se sparent en branches plus petites. La premire division se produit sur la branche principale d'origine, et peut donner 3 8 branches secondaires. De mme si on coupe le chou romanesco, on note une structure identique. La premire division se produit sur la branche principale d'origine et peut donner de 10 15 branches secondaires. Cette division se renouvelle de la mme manire chaque tage avec une rgularit impressionnante pour les deux. Les dimensions des surfaces de ces deux choux sont comprises entre 2 et 3.


Les fractales

Pour ces deux vgtaux, chacune des branches (ou sous branches agrandies plusieurs fois) peut tre confondue avec le chou lui-mme ou avec la branche principale d'origine.

Le chou romanesco et le chou-fleur prsentent donc une autosimilarit et invariance des dtails toutes les chelles dobservation: ils sont considrs comme fractals.


Les coquillages

Les coquillages.

  • Les conus, sont des coquillages qui appartiennent la classe des gastropodes, la sous-famille des Posobranchia. Les cnes sont carnivores, ils paralysent leurs proies laide dun dard empoisonn envoy par leur trompe.

  • Les couleurs, et textures des coquillages de ces 600 espces de cnes sont extrmement varies, allant du nacre aux motifs fractals. Les modlisations mathmatiques des pigmentations utilisent la thorie des automates cellulaires. Il nest pas alors si tonnant de retrouver le triangle de Sierpinski en observant le Conus Thalassiarchus:

Triangle de Sierpinski


Les fractales

  • Lide est que lors de la formation, plusieurs molcules sont mises en jeux, ayant entre elles des proprits particulires.

  • Imaginons une molcule B et une molcule N telles que B + N N; B + B B et N + N B et imaginons que ces molcules se promnent au hasard lors de la formation du coquillage, avec un sens privilgi, chaque rencontre, on applique la rgle de vie ci-dessus. Limage ci-contre est le rsultat de ce processus programm informatiquement.

  • La ressemblance avec le coquillage est frappante et on comprend mieux les processus chimiques mis en jeux lors de la formation du coquillage.


Les poumons

LES POUMONS

  • Dans notre organisme, plusieurs structures sont considres comme fractales: les poumons, les voies respiratoires, lintestin grle, le rseau sanguin, ou encore celui des neurones dans le cerveau.

  • Au nombre de deux, les poumons sont lorgane principal de lappareil respiratoire. Ils permettent lchange des gaz, cest--dire la ventilation entre notre organisme et le milieu extrieur grce une trs grande surface dchange pouvant atteindre 200 m. Ils enrichissent le sang en dioxygne (O2) et lui te le dioxyde de carbone (CO2).


Les fractales

  • Les poumons prsentent une structure arborescente daprs leurs bronches et bronchioles. Les arborescences de petites tailles sont semblables celles de tailles suprieures. On a donc un phnomne dauto-similarit. Nous pouvons dire que les poumons prsentent une structure fractale.

  • Par contre, on peut se demanderpourquoi les poumons sont des fractals. La rponse concrte est lexamen des ramifications des bronches. Les poumons assurent les changes gazeux par lintermdiaire dune surface dont laire doit tre la plus grande possible mais dans un volume limit tout en empchant les encombrements. Par exemple, si on utilisait la gomtrie dune sphre pour augmenter laire, cela aurait pour consquence une augmentation du rayon et du volume,ainsi on ne respecterait plus la contrainte dune surface dchanges importante pour un volume limit.


Les fractales

  • Les poumons dans notre organisme occupent une faible place par rapport la surface dchange gazeux quils permettent. Ceci est possible grce la structure fractale des bronches qui rend la surface dchange beaucoup plus importante. Ainsi, lintrieur de la cage thoracique, les bronches noccupent quun infime espace par rapport au dveloppement de la surface dchanges qui est norme.

  • Les fractales sont donc aussi dans notre organisme.


Les montagnes

Les montagnes.

Les reliefs montagneux sont trs irrguliers, dailleurs, B. Mandelbrot en prsente produits partir de fractales dans son ouvrage Les Objets Fractals.

La dimension fractale est comprise entre 2 et 3 car le relief montagneux est reprsent par un polygone (de dimension 2) trs compliqu tendant remplir compltement lespace (de dimension 3). Mandelbrot a montr que cette dimension est en fait comprise en 2.1 et 2.5 pour modliser lensemble des montagnes que lon peut trouver sur Terre.


Les nuages

Les nuages.

Les nuages suivent une construction fortement li au hasard tant donn le trs grand nombre de paramtres incontrlables entrant en jeu lors de leur formation. Les nuages prsentent une structure fractale par leur auto-similarit.

La modlisation fractale de paysages gologiques a trouv des applications dans les domaines artistique et cinmatographique; dans la conception de paysages artificiels dans les films, dessins anims et jeux vido.


La c te de bretagne

La cte de Bretagne

  • A votre avis, quelle est la longueur de la cte bretonne?

  • Lorsque Mandelbrot sest pench sur la question, il a trouv un rsultat plutt tonnant. A son sens, cette longueur est infinie.

  • La longueur de la cte varie selon laltitude laquelle on mesure. En effet, pour commencer on peut se contenter dune mesure grossire avec une barre dun mtre que lon reporte bout bout. Ensuite, si lon utilise une barre de dix centimtres, on va pouvoir coller plus prcisment le bord de la cte et donc la priphrie de la cte augmenterait, car les cartes ctires de Bretagne, quelque soit lchelle, reprsente toutes une distribution semblable de baies et de caps, ceux ci ayant eux-mmes des baies et des caps plus petits et ainsi de suite. Cest le principe de lauto-similarit.

    Mais pourquoi?


    Les fractales

    Bien que laction des vagues sur une cte rocheuse puisse tre souvent impressionnante, lrosion des ctes est gnralement trs lente. Cest cette lenteur qui peut expliquer limportance du dtail prsent dans la morphologie des ctes. Chaque baie, chaque cap est le rsultat de millions dannes drosion intgrant finalement chaque baie une nouvelle baie qui elle-mme intgre un nouveau dtail de relief de la cte.

    Mais, si lon mesure la cte encore plus prcisment cest--dire si lon utilise un segment dun micron, on pourra contourner le bord de chaque grain de sable qui est la limite des terres merges. Si lon recommenait avec un outil de mesure infiniment petit, la longueur de la cte deviendrait infiniment grande.

    Cest le processus de lrosion qui donne le caractre fractal des ctes rocheuses.


    Fractales et applications

    Fractales et applications


    La compression fractale

    La compression fractale

    Si le systme "IFS" (Iterated Function System") est capable de gnrer des images, peut-tre est-il aussi capable de les compresser ? Barnsley dcide de poursuivre dans cette voie et fonde la socit "Iterated Systems Incorporated", qui dtient aujourd'hui les brevets des fichiers ".FIF", le format des images compresses par la technologie fractale. Malheureusement pour Barnsley qui pensait avoir rsolu le problme de la compression, sa solution tait trs lente et non automatise. En 1992, un de ses lves, Arnaud Jacquin, automatise la procdure. Son algorithme est encore utilis aujourd'hui pour la compression fractale.


    Les fractales

    La compression dimages est trs utilise en informatique et surtout dans llaboration de sites Web, o le rapport rapidit/qualit dimage doit tre optimal. Elle est aussi trs utilise dans les jeux vidos pour la cration d'objets virtuels trs ralistes comme des montagnes, des forts, des nuages, etc. Finalement, avec la compression, il est possible d'enregistrer des images ou des vidos sur ordinateur avec un minimum de donnes pour les stocker.

    Il existe plusieurs formats de compression dimages et nous comparerons les caractristiques dune image compresse laide des IFS (Iterated Function Systems) avec une image compresse par le format le plus utilis en ce moment le JPEG.


    Les fractales

    En 1988, un mathmaticien, Michael F. Barnsley montra qu'on pouvait stocker des images avec peu de donnes grce une approximation de photographies numrises l'aide de fractales. Il voque les fractales IFS (Iterated Function Systems) dans un livre qui fit sensation cette anne l : "Fractals Everywhere". Selon lui, toute image peut tre reprsente par un ensemble de ces IFS. Il aboutit au "Collage Theorem" qui stipule quoi doit ressembler un IFS afin de reprsenter une image.


    Les fractales

    Contrairement aux techniques habituelles de compression, la compression fractale ne tente pas de rduire le nombre de couleurs (format gif) ou de compresser de manire classique les octets composant l'image. Le principe est ici de remplacer l'image par des formules mathmatiques. La compression fractale a pour principe qu'une image n'est qu'un ensemble de motifs identiques en nombre limit, auxquels on applique des transformations gomtriques (rotations, symtries, agrandissements, rductions). Evidemment, plus l'image possde cette proprit, meilleur sera le rsultat.

    Exemples dimages fractales gnres par Informatique


    Les fractales

    Comme pour le format JPEG, l'image est dcoupe en blocs de pixel, mais ils sont ici de tailles variables.

    Il faut ensuite dtecter les redondances entre ces blocs diverses rsolutions. Ces transformations dcrivent l'image de plus en plus finement.

    A la fin de ce processus, on ne stocke pas le contenu d'un bloc autant de fois qu'il a t "vu" dans l'image mais seulement les quations mathmatiques permettant de reprsenter le contenu de ces carrs.


    Les fractales

    Au final on obtient une structure prsentant des caractristiques similaires des chelles diffrentes. Pour retrouver l'image il suffira de dcrire les transformations qui ont t appliques aux blocs initiaux. Ce processus rend la compression indpendante de la taille de l'image. De plus, l'image produite est vectorise et ne subit pas les effets de la pixellisation, contrairement au JPEG. Ce phnomne est surtout visible lors d'un zoom par exemple, l'image fractale peut devenir floue mais ne pixlise pas. Ceci est d au fait que lors de l'agrandissement, ce ne sont pas les pixels qui sont largis, mais toute l'image qui est recalcule mathmatiquement.


    Les fractales

    Image Fractale non compresse 500ko

    Image Fractale compresse en JPG 60ko

    Image Fractale compresse en FIF 30ko


    Les fractales

    Le problme li cette technique est la lenteur du procd de compression, de l'ordre de 50 fois plus lent que pour une image JPEG. La dcompression quant elle est aussi rapide que pour les autres formats.

    En conclusion, on peut dire que cette mthode fait encore lobjet de recherche actives, car malgr ses prouesses en matire de compression, lalgorithme utilis pour la compression reste trop lent.


    L art fractal

    Lart fractal

    Lirruption de linformatique dans la recherche mathmatique a apport de nouvelles tendances gomtriques. En effet, il suffit dentrer quelques formules ditration simples pour crer des images grandioses.

    Tout le monde est daccord pour dire que les images fractales sont, pour la plupart, trs belles. Mais les nuages, la cte ou le relief, qui prsentent des structures fractales, peuvent-ils tre appels uvres dart? Y a-t-il rellement cration artistique?


    Les fractales

    B. Mandelbrot rpond cette question dans Les Objets fractals puisquil parle longuement du caractre purement esthtique de ces images. Il distingue trois tapes dans le dveloppement de ce quil appelle dj un art:

    • ltape hroque vers 1975, avec les premiers objets fractals;

    • ltape classique vers 1980, avec lapparition des images de synthse (montagnes, couchers de soleil, paysages urbains);

    • ltape romantique, dix ans plus tard, avec les progrs de linfographie et la matrise de la couleur.


    Les fractales

    La gomtrie fractale nous donne les moyens de dcrire nuages, rivires, galaxies, mais aussi satellites, rseaux routiers, souvenirs Ce qui constitue un norme contraste avec la gomtrie euclidienne et ses lignes droites, carrs, cercles ou triangles. Les fractales offrent dsormais un monde riche en dtails, en formes mystrieuses, en mouvement: un monde chaotique et complexe.

    Les images fractales, les paysages virtuels ont t le point de dpart de tout un mouvement artistique. Cest dans les annes 80 que quelques artistes commencent explorer la possibilit dune relle existence de lart fractal. Ces artistes ralisent que les fractales existent partout.

    Les uvres fractales sont frappantes par la densit des lments, visant saturer lespace. Elles sont dailleurs loin dtre simples car il ny a ni premier ni arrire plan, ce qui place luvre entre le hasard et lorganisation, chaque dtail renvoie linfini.


    Les fractales

    Le visage de la guerre de Dali

    Dans Le visage de la guerre, peinture ralise par Salvador Dali en 1940, le thme de la guerre en Espagne prside. Limage comporte deux ides: celle de la mort symbolise par le crne dans un paysage dsertique, et celle de linfini, illustre par lembotement de ces crnes. Cette uvre est bien un objet fractal, car chaque tte de squelette est la rplique exacte du visage principal.


    Les fractales

    Mur Antibruit

    Ce qui a t dcouvert sur les ctes maritimes a trouv une application dans l'insonorisation. L'effet d'amortissement du relief des plages d leurs contours fractals peut se faire au niveau des ondes sonores, qui ne sont en fait que des vagues d'air.

    Il suffit de rpter sur une surface un motif fractal simple, qui augmentera ainsi la surface de contact avec l'onde. Comme cette surface est brise l'onde sera trs peu rflchie par le mur. A une frquence de 250 Hz, ce mur ne renvoie que 15% de l'intensit sonore, alors qu'un mur classique en renvoie 45%.

    Mais malgr la simplicit du motif, le moulage de telles formes n'est pas facile et rend donc le prix dun mur fractal plus lev que celui dun mur classique. On peut cependant esprer que dici plusieurs annes ces murs fractals borderont les routes de grandes circulations...


    Les fractales

    • Soit O le centre du polygone rgulier tel que: OS1=OS2=OSn=1

    • Soit P le primtre de ce polygone et langle SiOSi+1 pour 1 =< i <= n-1 et lk la longueur ltape k entre les deux sommets.

    • tape 1: 3 cts (triangle quilatral) : P = 3 x l1

    • tape 2: 6 cts (hexagone rgulier): P = 6 x l2 et = 60

    • tape n:2n-1 cts avec P = 2n-1x 3 x ln et = 360/2n-1 x 3

    • Donc sin(n/2)= ln/2/1

    • Donc ln = 2sin(n/2)

    • ln = 2sin(360/2n x 3)

    • 2n-1 x 3 x ln = Pn

    • Remarque: lorsquon fait tendre n vers linfini, on tend vers 2 do = lim 2n-1 x 3 x ln

    • n

    tape 1

    tape 2

    Recherche du nombre


    Les fractales

    Art Fractale

    La gomtrie fractale permet aussi d'effectuer d'tonnantes ralisations dans le domaine des arts. La plus impressionnante est sans contredit l'art graphique. C'est grce leur beaut, leurs formes esthtiques et surprenantes que les fractales ont acquis une trs grande popularit. Effectivement, c'est l'aide de cette gomtrie qu'il est possible de crer ce nouveau type d'art visuel.

    Voici quelques exemples d'images des plus impressionnants crs l'aide des fractales


    Les fractales

    Musique fractale

    Pour couter un extrait de musique fractale :

    Daprs le ct infini dune fractale et de son autosimilarit toutes les chelles, on peut se demander comment la musique peut tre fractale.

    Elle lest partir du moment o elle utilise des algorithmes travaillant dans un ensemble fini de formes.

    • Il existe 2 faons de crer de la musique fractale:

    • soit partir dune image, on la partage en plusieurs lignes et on associe chaque couleur une note laide dun logiciel comme Art Song v2.3 ;

    • soit partir dquations mathmatiques considrant que les chiffres sont lis la musique ce quillustre la musique mathmatique contemporaine.


    Notre exp rience

    Notre exprience

    Nous avons choisi de raliser une exprience prsentant une structure fractale: hydrolyse du chlorure dtain.

    Matriel: tube en U; lectrodes en graphite ; gnrateur ; chlorure dtain; fils conducteurs.

    Protocole: Nous versons une solution de chlorure dtain dans un tube en U. A chaque extrmit, nous plaons des lectrodes de graphite relies au gnrateur. Ensuite, en variant lintensit, nous observons le long de llectrode branche la borne positive du gnrateur, lapparition progressive de cristaux dtain formant une structure fractale.


    Exemples de fractales

    Exemples de fractales


    Bibliographie

    Bibliographie

    • http://gjoly.free.fr/fractales-projet/Mandel/mandel.html

    • http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/fr/art/intro.html

    • http://webfractales.free.fr

    • http://www.wack.ch/frac/pages.html

    • http://www.up.univ-mrs.fr/~ufrsm/filieres/LicPlurid/fractales/fractaleweb.html

    • http://barbara.petit.free.fr/fractales/nature.html

    • http://www.lesfractales.nomades.ch/nature1.htmlhttp://fractales.9online.fr

    • http://www.centretpe.com/tpe-tipe/fractales/fractale1.htm

    • http://www.stickymouse.net/TPE/fractales/

    • http://www.mon-ile.net/chaos/fractales.php

    • http://www.aromath.net/Page.php?IDP=638&IDD=0

    • http://membres.lycos.fr/astromarie/pages/historique.htm

    • Hors Srie TANGENTE n18 Les fractales

    • http://users.hol.gr/~helen/index.files/fractales/fractales.htm

    • http://fractales.free.fr/.../ voiesaerophores.htm.

    • www.up.univ-mrs.fr/.../ fractaleweb.html.

    • http://www.csteq.com/pages_htm/projets_jeunes/projet.jsp?projet=15

    • www.up.univ-mrs.fr/.../ fractaleweb.html.


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