פונקציות יוצרות ופתרון בעיות

1. פונקציות יוצרות ופתרון בעיות האמצעים בהם נשתמש בפתרון הבעיות שלהלן הם: 1. הטור הגיאומטרי האינסופי שסכומו הוא כאשר . 2. נוסחת הבינום • נוסחת הבינום הכללית (נוסחת הבינום של ניוטון). • פירוק לשברים חלקיים של ביטויים פשוטים

2. השיטה של פונקציות יוצרות היא אמצעי יעיל המאפשר פתרון בעיות בתחומים שונים: קומבינטוריקה, קלקולוס, הסתברות ותורת המספרים. לעתים קרובות מתברר שניסוח אנליטי חדש של בעיה באמצעות שיטה זו מאפשר פתרון שגישות אחרות מתבררות כבלתי יעילות לחלוטין. אין זה אומר שבאמצעות שיטת הפונקציות היוצרות אפשר לפתור כל בעיה. ניתן לומר שפונקציות יוצרות הופכות בעיות על סדרות לבעיות על פונקציות. כך ניתן להשתמש בפונקציות יוצרות לפתרון בעיות מניה. נתחיל בבעיה בה עסק לאונהרד אוילר (1707-1783): * אילו כמויות ניתן לשקול באמצעות המשקולות גרמים ובכמה אופנים ניתן לבצע זאת? הפתרון של אוילר (הפתיע) מפתיע ביותר.

3. הוא התבונן במכפלה בצוע המכפלה האינסופית מוביל לפולינום אינסופי מיהו המקדם ? זהו מספר האופנים בהם ניתן להציג את כסכום של איברים מתוך . במילים אחרות הוא מספר האופנים בהם ניתן לשקול kגרמים באמצעותקבוצת המשקולות הנתונה. מכאן, כדי לפתור את הבעיה די לחשב את המקדמים .יש לשים לב שאם כמות מסוימת אינה ניתנת לשקילה כנדרש, המקדם המתאים יהיה אפס. החישוב הישיר אפשרי רק כאשר k קטן. אוילר מצא דרך לחשב את המקדמים כאשר מצא ביטוי ל-f(x)בעזרת נוסחת כפל מקוצר : .

4. אם נכפול אגף אגף ונצמצם נקבל כלומר קבלנו מסקנה: כל המקדמים שווים ל-1 ועל כן אפשר לשקול כל כמות ומספר האופנים לשקול כמות של k גרמים באמצעות המשקולות הנתונות הוא 1.

5. פונקציה יוצרת עבור סדרה אינסופית היא טור החזקות הפורמלי פונקציה יוצרת היא "פורמלית" במובן שלעתים קרובות מתבוננים על x כעל שומר מקום ולא כעל מספר. רק לעתים רחוקות x יחשב כמספר ממשי, כך שלמעשה נושא ההתכנסות של הטור אינו צריך להטריד אותנו. ראינו בדוגמה הראשונה את הפונקציה היוצרת של הסדרה והיא הפונקציה היוצרת של הסדרה היא

6. *בעיית ההפקדותהנך מפקיד 10,000 שקלים בבנק בריבית שנתית של 5% המשולמת בסוף שנת ההפקדה. בתחילת כל שנה הנך מפקיד 5,000 שקלים נוספים באותו חשבון (החל מהשנה השנייה). מהו הסכום שיצטבר בחשבון לאחר n שנים? ניגש לטפל צעד אחר צעד באסטרטגיה של פונקציה יוצרת. תהי פתרון נסמן ב- את המאזן לאחר n שנים. אזי (שקלים) ו- הפונקציה היוצרת של הסדרה . נכפול את שני באגפים של נוסחת הנסיגה ב- ונסכם עבור כל n שלם אי-שלילי.

7. האגף שמאל הוא ואילו באגף ימין נמצאים • . . השוויון הופך להיות נחלץ את ונקבל כדי למצוא את באגף ימין. נשים לב ש-

8. ואז המקדם של באגף ימין יהיה . זהו המאזן לאחר n שנים.

9. *בעיית מספר האזורים המקסימלי הנקבעים במישור על ידי חיתוך n מעגלים מעגל אחד קובע שני אזורים שני מעגלים קובעים 4 אזורים שלושה מעגלים קובעים 8 אזורים מהו המספר המקסימלי של אזורים הנקבעים על ידי 4 מעגלים? 4 8

11. השאלה היא למה. שני מעגלים יכולים להיחתך לכל היותר ב-2 נקודות. באופן כללי, המעגל ה-n-י חותך את (n-1) המעגלים הקודמים בדיוק ב-2(n-1)נקודות – המספר המקסימלי האפשרי. כל שתי נקודות עוקבות על המעגל ה-n-יהן קצותיה של קשת שקובעת באזור שנקבע על ידי n-1 המעגלים הקודמים אזור חדש. מכאן שהמעגל ה-n –י מוסיף 2(n-1) אזורים חדשים לאלה שנקבעו על ידי (n-1) המעגלים הקודמים. אם נסמן ב- את מספר האזורים הנקבעים על ידי n מעגלים, נוכל לרשום את הפונקציה היוצרת של הסדרה נסמן ב- . נכפול את נוסחת הנסיגה ב- , נסכם ונוסיף את . נקבל

12. מכאן אנו מעונינים במקדם של באגף ימין. נקבל המספר המקסימלי של אזורים שנקבעים על ידי חיתוך n מעגלים הוא .

13. נשים לב שבתרשימי VENN, 4 קבוצות נדרשות ליצור 16 אזורים. שאלה: האם תמיד אפשר להגיע למספר המקסימלי של אזורים באמצעות מעגלים במילים אחרות האם אפשר תמיד לבנות n מעגלים שכל אחד חותך אחר בשתי נקודות שונות. התשובה היא כן. ההוכחה כדלקמן:

14. יהיו n נקודות על מעגל שמרכזו O ומחוגו r .נקודות אלה ישמשו כמרכזים של n מעגלים בעלי רדיוס . כיוון שהמרחק בין ו- הוא לכל היותר 2r, המעגלים ייפגשו בשתי נקודות שונות (על האנך האמצעי של הקטע . אין שלושה מעגלים שיכולים להיפגש באותה נקודה, כי לו הייתה קיימת נקודה כזאת, היא הייתה במרחק שווה R משלושת המרכזים. אולם הנקודה היחידה הנמצאת במרחק שווה משלוש נקודות שונות הנמצאות על ההיקף של המעגל שמרכזו O היא המרכז עצמו O. אולם המרחק של O מכל נקודה על ההיקףהוא r הקטן מ-R. ההוכחה הושלמה.

15. * מגדל הנוי מגדל הנוי הוא משחק מתמטי (חידה) בו שלושה מוטות ומספר טבעות בגדלים שונים. המשחק מתחיל כאשר כל הטבעות המסודרות מהגדולה אל הקטנה נמצאות על אחד המוטות. המטרה להעביר את כל הטבעות על מוט אחר כפוף לכללים הבאים: בכל צעד מעבירים רק טבעת אחת בכל צעד מעבירים את הטבעת העליונה הנמצאת על אחד המוטות למוט אחר עליו יכולות להימצא טבעות אין להניח טבעת על טבעת קטנה ממנה. המשחק הומצא ב-1883 על ידי המתמטיקאי הצרפתי Eduard Lucas (1842-1891). קיימת אגדה על מקדש הודי בו נמצא חדר הזמן. בחדר זה שלושה מוטות ועל אחד היו 64 טבעות זהב. הכמרים של ברהמה, הפועלים בעקבות נבואה עתיקה, חייבים להזיז את הטבעות כפוף לכללים דלעיל. כאשר העברה תגיע לסיומה העולם יחרב. אשר לסיום הטראגי של העולם, אם הכמרים מסוגלים להעביר טבעת אחת בכל שניה, הרי תוך 18,446,744,073,709,551,615 שניות העולם יחרב. מדובר ביותר מ-585 מיליארדי שנים. גיל היקום הוא כ-13.7 מיליארדי שנים.

17. כעת, המגדל של הנוי משמש בהוראת התכנות כדוגמה למה שנקרא אלגוריתם רקורסיבי. המטרה שלנו היא למצוא את מספר הצעדים עד לסיום המשימה. אנו נמצא נוסחת נסיגה ובאמצעות פונקציה יוצרת נמצא את הנדרש. אם מסמן את מספר הצעדים הדרושים במקרה של n טבעות ו- מספר הצעדים במקרה של n-1 טבעות, אז בשלב ראשון מעבירים n-1טבעות מהמוט הראשון למוט השלישי, נותרת עליו הטבעת הגדולה ביותר אותה מעבירים בצעד אחד לטבעת השנייה, ואז נותר להעביר n-1טבעות מהמוט השלישי למוט השני ב- צעדים. מכאן נוסחת הנסיגה נתבונן בפונקציה יוצרת אותה נכפול ב-2x ונחסיר אותה מ-H(x) .

18. נקבל אם נתחשב בנוסחת הנסיגה ובעובדה ש- נקבל או ואם נפתח לטור, נקבל מכאן מספר הצעדים הוא

19. נתבונן בדוגמה נוספת שגם בה עסק אוילר. * מהו מספר הפתרונות השונים בשלמים אי-שליליים של המשוואה כאשר mו-nמספרים שלמים אי –שליליים. אוילר התבונן בביטוי שלאחר העלה בחזקה m הופך להיות מיהם המקדמים ? הוא המקדם של . למעשה שווה למספר האופנים השונים לבחור מחובר אחד מכל כופל (יש m כופלים) כך שסכום החזקות שלהם יהיה שווה ל- . מכאן ש- שווה למעשה למספר הפתרונות בשלמים אי-שליליים של המשוואה של אוילר. נותר לחשב אותו. על ידי שימוש בפתוח שכבר ציינו

20. אנו מקבלים ש- אם נפתח על פי נוסחת הבינום את נקבל ואז, אם נשווה את המקדמים המתאימים, נקבל זה מספר הפתרונות בשלמים חיוביים של המשוואה הנתונה. * מצא ביטוי לאיבר הכללי בסדרת פיבונצ'י.

21. תחילת הסדרה היא כל איבר החל מהשלישי מתקבל כסכום שני האיברים הקודמים לו. אם נרשום את איברי הסדרה באופן כללי כאשר הפונקציה היוצרת המתאימה לסדרה זו היא

22. רוצים לנצל את נוסחת הנסיגה עבור איברי הסדרה. מכאן הרעיון לכפול את הפונקציה היוצרת פעם ב-x , פעם ב- ונחסיר מ-f(x)את שתיים האחרות קבלנו ביטוי עבור הפונקציה היוצרת של סדרת פיבונצ'י. נפרק את לשברים חלקיים.

23. הפירוק הוא אם נפתח לטור על פי הנוסחה שכבר השתמשנו עד כה ונשווה מקדמים נקבל ש- קבלנו מה שקרוי נוסחת בינה –BINNET.

24. חישוב סכום של מקדמים בינומיאליים: מצא ביטוי מצומצם לסכום פתרון נתבונן בפונקציה יוצרת

25. כל עמודה היא פתוח בינומי פשוט ועל כן נקבל הוא המקדם של בפיתוח זה והוא . על כן