Depth-first search

1. Depth-first search Visita in profondità di un grafo Algoritmo Esempio Complessità dell’algoritmo Proprietà Ordinamento topologico

2. Depth-first search • Dato un grafo G=(V,E) e un specifico vertice s chiamato sorgente, la visita in profondità (in inglese depth-first search) esplora il grafo andando ogni volta il più possibile in profondità. • Per ogni vertice v in visita si prosegue la visita sugli archi non ancora esplorati. • Se sul vertice v in visita si sono esplorati tutti gli archi si torna al vertice di origine. • Se sul grafo rimane qualche vertice non scoperto si ricomincia la visita in profondità su quel vertice. • L’intero processo è ripetuto finché non vengono scoperti tutti i vertici del grafo.

3. Depth-first search • Strutture dati utilizzate: • Liste di adiacenza Adj: per conoscere i vertici adiacenti a un vertice. • color[u]: per colora il vertice u di bianco (vertice non scoperto), di grigio (vertice appena scoperto) e di nero (ha finito di visitare la lista di Adiacenza). • p[u]: il predecessore di u nella foresta DFS. • d[u]: tempo in cui viene scoperto u. • f[u]: tempo in cui viene finita la visita in u. Si ha d[u]<f[u]. • Nota: u è bianco (WHITE) prima di d[u], grigio (GRAY) tra d[u] e f[u], infine nero (BLACK) dopo f[u].

4. Algoritmo DFS(G,s) • for ogni vertice u in V[G] // inizializzazione di ogni vertice • do color[u] ← WHITE • p[u] ← NIL • time ← 0 • for ogni vertice u in V[G] • doif color[u] = WHITE • then DFS-VISIT(u) // visita da ogni vertice non ancora scoperto DFS-VISIT(u) • color[u] ← GRAY // vertice diventa grigio, appena scoperto • d[u] ← time // tempo inizio visita lista adiacenza • time ← time + 1 • for ogni vertice v in Adj[u] • doif color[v] = WHITE • then p[v] ← u • DFS-VISIT(v) // visita subito vertice non ancora scoperto • color[u] ← BLACK // vertice diventa nero, ha visitato tutta l’adiacenza • f[u] ← time // tempo fine visita lista adiacenza • time ← time + 1

5. Esempio u w u w u w v v v 1/ 1/ 1/ 2/ 2/ (a) (c) (b) 3/ x z x z x z y y y u w u w u w v v v 1/ 1/ 1/ 2/ 2/ 2/ (d) (f) (e) 4/ 3/ 4/ 3/ 4/5 3/ x z x z x z y y y u w u w u w v v v 1/ 1/ 1/ 2/7 2/7 2/ (h) (i) (g) 4/5 4/5 3/6 3/6 4/5 3/6 x z x z x z y y y

6. Esempio u w u w v v u w v 9/ 1/8 1/8 9/ 2/7 2/7 1/8 2/7 (m) (n) (l) 4/5 4/5 3/6 3/6 4/5 3/6 x z x z y y x z y u w u w u w v v v 9/ 9/ 9/ 1/8 1/8 1/8 2/7 2/7 2/7 (p) (q) (o) 4/5 10/ 4/5 4/5 10/ 3/6 3/6 3/6 10/11 x z x z x z y y y u w v 1/8 2/7 9/12 (r) 4/5 3/6 10/11 x z y

7. Complessità • Analisi del tempo di esecuzione: • Ci sono due cicli in DFS() che vengono eseguiti Θ(|V|) volte. • DFS-VISIT(u) viene eseguito esattamente una volta per ogni vertice in V. • Durante l’esecuzione di DFS-VISIT(u) il ciclo nelle linee 4-7 viene eseguito |Adj[u]| volte. Poiché la somma di tutte le liste di adiacenza è Θ(|E|), si ha che il costo totale del ciclo in DFS-VISIT() è Θ(|E|). • Quindi, il tempo totale di esecuzione è Θ(|V| + |E|). • Nota: come per il BFS si definisce degli alberi DFS corrispondente al sottografo Gp definito da vettore p.

8. Proprietà • Teorema delle parentesi • In ogni visita in profondità di un grafo G=(V,E), per ogni coppia di nodi u,v in V, con A=[d[u], f[u]] e B=[d[v], f[v]]. Allora una e una sola delle seguenti condizioni è vera: • e u è discendente di v in un albero DFS. • e v è discendente di u in un albero DFS.

9. Proprietà Dimostrazione Caso d[u] < d[v]: Se d[v] < f[u], allora u diventa grigio prima di v, ma quando viene scoperto v la visita ad u non è stata completata. Questo implica che v è un discendente di u. Poiché v è stato scoperto più recentemente di u, la visita in v deve completarsi prima di ritornare a u, f[v] < f[u]. Quindi l’intervallo [d[v], f[v]] è completamente contenuto in [d[u], f[u]]. Se f[u] < d[v], allora u diventa nero prima di v, ossia quando viene scoperto v la visita ad u è stata completata. (d[v]<f[v]) Quindi l’intervallo [d[v], f[v]] è disgiunto da [d[u], f[u]]. Caso d[v] < d[u]: simmetrico.

10. Proprietà Teorema delle cammino bianco In una foresta DFS di un grafo G=(V,E) un vertice v è discendente di u se e solo se al tempo d[u] in cui la visita scopre u, il vertice v è raggiungibile da u con un cammino contenete esclusivamente nodi bianchi. dimostrazione “v discendente di u” => allora sia w un qualunque vertice del cammino tra v e u. Si ha per il teorema delle parentesi d[u] < d[w] < d[v]. Quindi, per come è strutturato l’algoritmo w è ancora bianco quando viene scoperto u.

11. Proprietà “al tempo d[u] esiste un cammino bianco verso v” <= Si suppone per assurdo che v non diventi discendente di u. Con una sorta di dimostrazione per induzione si assuma che ogni altro nodo del cammino bianco divenga discendente di v. Prendiamo w adiacente a v e predecessore di v nel cammino bianco. w è discendente a u e prima che la visita a w finisca v verrà visitato perché v è bianco ed esiste un arco da w a v. Quindi, d[u] < d[w] < d[v] < f[w] < f[u]. Per il teorema delle parentesi v deve necessariamente essere discendente di u.

12. Proprietà • Classificazione degli archi: • Tree-edge (T, archi dell’albero): archi appartenenti alla foresta DFS. • Back-edge (B, archi all’indietro): archi non appartenenti alla foresta DFS che vanno da un vertice v ad un suo antenato u in un albero DFS. • Forward-edge (F, archi in avanti): archi non appartenenti alla foresta DFS che vanno da un vertice u ad un suo successore v in un albero DFS. • Cross-edge (C, archi di attraversamento): tutti gli altri archi.

13. Proprietà u v w T 1/8 2/7 9/12 T: Tree-edge B: Back-edge F: Forward-edge C: Cross-edge B C F T T 4/5 3/6 10/11 T x y z • Si modifica l’algoritmo DFS in modo che ogni arco (u,v) è: • WHITE (bianco): se appartiene ad un albero DFS. • GRAY (grigio): se è un arco all’indietro (unisce due vertici grigi durante la DFS). • BLACK (nero): se è un forward-edge (d[u] < d[v]) o un cross-edge (d[u] > d[v]). E’ un arco che va verso un vertice nero nel DFS().

14. Proprietà Nota: nel caso di grafo non orientato l’arco viene classificato secondo il tipo attribuito a quello tra (u,v) e (v,u) che viene incontrato per primo. Proposizione Se G è un grafo non orientato ogni arco o è un Tree-edge oppure è un Back-edge. Dimostrazione Sia (u,v) un arco arbitrario di G. Senza perdita di generalità, supponiamo d[u] < d[v]. Ci sono due casi:

15. Proprietà • L’arco (u,v) viene visitato a partire da u, u grigio e v bianco. Allora (u,v) è classificato bianco (Tree-edge). • L’arco (u,v) viene visitato a partire da v, u e v grigi. Allora (u,v) è classificato grigio (Back-edge). • Proposizione • Un grafo G contiene un ciclo se e solo se l’algoritmo DFS determina l’esistenza di un Back-edge. • Dimostrazione • <=Se (u,v) è un arco all’indietro, allora v è un antenato di u. Esiste un cammino da v a u e l’arco (u,v), non appartenente al cammino, completa il ciclo.

16. Proprietà =>G ha un ciclo c. Sia v il primo vertice del ciclo c ad essere scoperto e sia (u,v) l’arco che lo precede in c. Al tempo d[v] tutti i nodi da v a u sono bianchi (v grigio). Per il teorema dei cammini bianchi il vertice u diventerà discendente i v. Durante la visita del vertice u l’arco (u,v) verrà necessariamente classificato come grigio (Back-edge, unisce due vertici grigi). u v c

17. Ordinamento Topologico Ingresso: un grafo orientato e aciclico (DAG: Direct Acyclic Graph) Uscita: una lista ordinata e lineare dei vertici di G <u1, u2, …, u|V|> tale che se G contiene l’arco orientato (u,v) allora nell’ordinamento u precede v. 1 2 2 1 3 4 4 3

18. Ordinamento Topologico TOPOLOGICAL-SORT(G) • chiama DFS(G) per calcolare I tempi di fine visita f[v] per ogni vertice v • appena la visita è finita inseriscilo in testa ad una lista concatenata • restituisci la lista concatenata dei vertici DFS(G) richiede tempo Θ(|V| + |E|). L’inserimento di ognuno dei |V| vertici nella lista concatenata richiede tempo O(1). Quindi, si può eseguire un ordinamento topologico in tempo Θ(|V| + |E|).

19. Ordinamento Topologico • Proposizione • TOPOLOGICAL-SORT(G) produce un ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico G. • Dimostrazione • Basta dimostrare che se G è aciclico, allora per ogni arco (u,v) in E si ha che f[u] > f[v]. • Essendo aciclico, non esistono archi grigi (Back-edge). • Allora (u,v) è bianco oppure nero. • Se (u,v) è bianco allora f[v] < f[u] per il teorema delle parentesi. • Se (u,v) è nero allora f[v] < f[u] perché v è già stato visitato prima di finire la visita in u.