Matemática Básica para Economistas

1. Matemática Básica para Economistas Función Inversa

2. Introducción Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como: p = -3q + 8 ¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?

3. Definición previa: función inyectiva o biunívoca • Una función f , con dominio D es una función inyectiva o biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes: - Si a  b en D, entonces f(a)  f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D Es decir a un valor de la imagen le corresponde un único valor del dominio.

4. Ejemplo 1: ¿Es inyectiva la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1? Si es inyectiva

5. Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1? No es inyectiva

6. ¿En qué dominio será biunívoca? x -; 0 x[0;  [

7. Observaciones: • Una función f es inyectiva si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto. • Una función creciente es inyectiva. • Una función decreciente es ………… biunívoca

8. Función Inversa: La función inversa de f se denota por f-1 Definición: Si f-1 es inversa de f: (fof-1)(x) = x Dom (f-1) = Ran (f) Ran (f-1) = Dom (f)

9. Función Inversa: Para determinar la función inversa (f-1): • Verificar que f es inyectiva. • Despejar x en términos de y. • Cambiar x por y.

10. Ejemplo: Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5] Dom f-1 = Ran f

11. 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 Regla: la función inversa f-1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x f(x) y = x f(x) f-1(x) x

12. 2.x = f -1(x) = , x > -1 • 3. Composición: • f -1(x2 - 1) = , x>0 • f ( ) = ( )2 - 1= x,x>-1 Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano: 1.Es biunívoca en x>0

13. f(x) y f –1(x) x Graficando f y f -1 en un mismo plano:

14. y x ¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa? No sería una función

15. Ejercicios: Hallar y graficar: