Logaritmos
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Logaritmos. Qual é o tempo?. Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.

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Logaritmos

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Logaritmos

Logaritmos


Qual o tempo

Qual é o tempo?

  • Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.

  • Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.


Qual o tempo1

Qual é o tempo?

  • Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava?

  • Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.


Veja os c lculos

Veja os cálculos

Capital aplicado: C = 1 000

Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês

Montante pretendido: M = 1 500,00

⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t

M = C.(1 + i)t

1,057 ≈ 1,407

1,058 ≈ 1,477

1,059 ≈ 1,551

⇒ 1,05t = 1,5

Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.


Qual o expoente

Qual é o expoente?

  • Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6?

  • A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.


Hist ria

História

  • A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi.

  • Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculosnuméricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação.

  • A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como


Hist ria1

História

  • A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como

2,382,5

√12,4

3

.

5,13,8

O valor dessa expressão equivale ao valor de

102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1


Hist ria2

História

  • Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.


Hist ria3

História

  • Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.


Trabalhando com pot ncias de base 10

Trabalhando compotências de base 10


A base 10

A base 10

  • Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos:


A base 101

Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos:

A base 10


Exemplos

Exemplos

  • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.

  • 4 = 22

= (100,301)2

= 100,602

10

10

  • 5 =

=

= 101 – 0,301

= 100,699

2

100,301

= 100,301 + 0,477

  • 6 = 2.3

= 100,301 . 100,477

= 100,778


Exemplos1

Exemplos

  • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10.

  • 60 = 2.3.10

= 100,301 . 100,477 . 10

⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1

⇒ 60 = 101,778


Exemplos2

Exemplos

  • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12.

2x = 12

⇒ 2x = 22.3

⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477

⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477

⇒ 0,301.x = 1,079

⇒ 100,301.x = 101,079

1,079

⇒ x ≈ 3,585

⇒ x =

0,301


Logaritmo como expoente

Logaritmocomo expoente


Logaritmo como expoente1

Logaritmo como expoente

  • O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja:

2x = 8

⇒ x = 3

No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,

log2 8 = 3


Logaritmo como expoente2

Logaritmo como expoente

  • Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8.

Vale, portanto a equivalência:

log2 8 = 3

⇔ 23 = 8

Calcular um logaritmo é obter um expoente.

Logaritmo é o mesmo que expoente.


Defini o

Definição

  • Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x).

loga b = x ⇔ ax = b

  • a é a base;

  • b é o logaritmando ou antilogaritmo;

  • x é o logaritmo;


Exemplos3

Exemplos

  • log2 32 = 5, porque 25 = 32

  • log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81

  • log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001

  • log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252

3

3

De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.


Exemplos4

Exemplos

  • Calcular log4 8.

log4 8 = x

⇒4x = 8

⇒ (22)x = 23

⇒ x = 3

⇒ 22x = 23


Exemplos5

Exemplos

  • Calcular log1/3 √9.

5

x

1

log1/3 √9 = x

√9

5

5

=

3

⇒ 3–x = 32/5

⇒ (3–1)x = 32/5

⇒ –x = 2/5

⇒ x = –2/5


Condi o de exist ncia do logaritmo

Condição de existência do logaritmo

  • Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições:

loga b = x ⇔

b > 0

a > 0

a ≠ 1


Condi o de exist ncia

Condição de existência

  • Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos.

log2 (–4) = x

⇒ 2x = –4

impossível

log–2 8 = x

⇒ (–2)x = 8

impossível

log7 0 = x

⇒ 7x = 0

impossível

log1 6 = x

⇒ 1x = 6

impossível

log0 2 = x

⇒ 0x = 2

impossível


Observa o

Observação

  • Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.


Exemplos6

Exemplos

  • Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.

1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.

x > –4

2x + 8 > 0

x > 0

x > 0

x > 0

x ≠ 1

x ≠ 1

x ≠ 1

2o. Usando a definição de logaritmo.

logx (2x + 8) = 2

⇒ x2 – 2x – 8 = 0

⇒ x2 = 2x + 8

⇒S = {4}

⇒ x = –2 ou x = 4.


Conseq ncias da defini o

Conseqüências da definição


Conseq ncias da defini o1

Conseqüências da definição

  • Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição.

loga1 = 0

porque a0 = 1

logaa = 1

porque a1 = a

logaak = k

porque ak = ak


Exemplos7

Exemplos

  • log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1

  • log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0

  • log3 39 = 9

  • log10 10–3 = –3


Conseq ncias da defini o2

logak

a

=k

Conseqüências da definição

  • Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade:


Exemplos8

Exemplos

log5 3

  • 5

= 3

log2 6

1 + log2 6

  • 2

= 21.2

= 2.6 = 12

log3 5

log3 5

2

log3 5

  • 9

= (32)

=

= 52 = 25

3

1 – log15 3

15

151

  • 15

=

=

= 5

log15 3

3

15


Sistema de logaritmos

Sistema de logaritmos


Sistema de logaritmos1

Sistema de logaritmos

  • Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:

  • O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x.

log x → logaritmo decimal de x (base 10)


Exemplos9

Exemplos

  • log 1000 = log10 1000 = 3

  • log 0,01 = log10 10–2 = –2

  • log 1 = log10 1 = 0

  • log 100 = log10 100 = 2


Sistema de logaritmos2

Sistema de logaritmos

  • O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza,como base, o número irracional e.

  • Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828.

  • O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x.

Ln x → logaritmo natural de x (basee)


Exemplos10

Exemplos

  • Ln e = loge e = 1

  • Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3

  • Ln e3 = loge e3 = 3


Observa o1

Observação

  • Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b.

cologb a = – logb a

  • colog2 8 = – log2 8 = –3

  • colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2


Logaritmos decimais

Logaritmos decimais


Logaritmos decimais1

Logaritmos decimais

  • O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).

  • Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.


T bua de logaritmos decimais

Tábua de logaritmos decimais

log 13 = 1,114

ou

101,114 = 13

log 35 = 1,544

ou

101,544 = 35


Exemplos11

Exemplos

  • Calcule os logaritmos decimais

    a) log 10

    b) log 10 000

    c) log 1013

    d) log 10–30

    e) log 0,000001


Exemplos12

Exemplos

  • Consultando a tábua de logaritmos calcule

    a) log 60 + log 31 – log 5

    b) 100,903 + 101,505 – 1000,69

    c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15


Exemplos13

Exemplos

  • Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes.

    a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.

    b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300

    c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342.


Mudan a de base

Mudança de base


Mudan a de base1

Mudança de base

  • Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).

  • Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases?

  • Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?


Mudan a de base2

log7 23 =

log10 23

log10 7

Mudança de base

  • Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23.

log10 23 = 1,362

⇒ 101,362 = 23

log10 7 = 0,845

⇒ 100,845 = 7

log7 23 = x

⇒7x = 23

⇒ (100,845)x = 101,362

⇒ 100,845.x = 101,362

1,362

⇒ 0,845.x = 1,362

⇒ x =

= 1,612

0,845


F rmula de mudan a de base

Fórmula de mudança de base

  • De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida.

logk a

Logb a =

logk b


Exemplos14

Exemplos

  • Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6.

loge 6

Ln 6

1,792

= 2,586

log2 6 =

=

=

loge 2

Ln 2

0,693


Exemplos15

Exemplos

  • Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.

5x = 20

⇒ x = log5 20

log10 20

log 20

1,301

= 1,861

log5 20 =

=

=

log10 5

log 5

0,699


Exemplos16

Exemplos

  • Se logk x = 2, calcular logx (1/k).

logk (1/k)

–1

logx (1/k) =

=

logk x

2


Exemplos17

Exemplos

  • Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.

log 3

0,48

log2 3 =

=

= 1,6

log 2

0,30

Observe que, log2 3 = 1,6⇔ 21,6 = 3.


Exemplos18

Exemplos

  • Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto

    log2 7 . Log7 13 . Log13 2

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.

1

1

1

log 7

log 13

log 2

.

.

= 1

log 2

log 7

log 13

1

1

1


Conseq ncia mudan a de base

Conseqüência – mudança de base

  • Compare os valores dos log5 25 e log25 5.

  • Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.

  • Que conclusão se pode tirar dessas comparações?

  • Se logx y = 3/5, calcule logy x.

log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2

log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3

logb a = 1/loga b

logy x = 5/3


Generalizando

Generalizando

  • Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos:

loga a

logb a =

loga b

1

logb a =

loga b


Propriedades dos logaritmos

Propriedades dos logaritmos


Propriedades dos logaritmos1

Propriedades dos logaritmos

  • O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples.

  • Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar:

    • multiplicações em adições;

    • divisões em subtrações;

    • potenciações em multiplicações;

    • radiciações em divisões.


Logaritmo do produto

Logaritmo do produto

  • Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.

log 3 = 0,477

⇒ 100,477 = 3

log 7 = 0,845

⇒ 100,845 = 7

log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7

log 21 = x

⇒10x = 21

⇒ 10x = 3.7

⇒ 10x = 100,477.100,845

⇒ 10x = 100,477 + 0,845

⇒ x = 0,477 + 0,845

⇒ x = 1,322


Logaritmo do produto1

Logaritmo do produto

  • De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base.

Loga (x.y) = loga x + loga y

Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.


Exemplos19

Exemplos

  • A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.

  • log 26 = log (2.13)

= log 2 + log 13

log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415

  • log 2000 = log (2.1000)

= log 2 + log 1000

log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301


Exemplos20

Exemplos

  • Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy) numa soma de logaritmos.

log3 (9xy) =

log3 9 + log3 x + log3 y

log3 (9xy) =

2 + log3 x + log3 y


Exemplos21

Exemplos

  • Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.

= log (4.5.50)

log 4 + log 5 + log 50

= log 1000

= 3

log 4 + log 5 + log 50


Logaritmo do quociente

Logaritmo do quociente

  • Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.

log 2 = 0,301

⇒ 100,301 = 2

log 3 = 0,477

⇒ 100,477 = 3

log (3/2) = log 3 – log 2

log (3/2) = x

⇒10x = 3/2

3

100,477

⇒ 10x =

=

= 100,477 – 0,301

2

100,301

⇒ x = 0,477 – 0,301

⇒ x = 0,176


Logaritmo do quociente1

Logaritmo do quociente

  • De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base.

x

Loga = loga x – loga y

y


Exemplos22

Exemplos

  • A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.

10

log 5 = log

= log 10 – log 2

= 1 – 0,301

2

⇒ log 5 = 0,699


Exemplos23

Exemplos

  • Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/4y).

x

log2

= log2 x – log2 4y

4y

= log2 x – (log2 4 + log2 y)

= log2 x – (2 + log2 y)

= log2 x – 2 – log2 y

= log2 x – log2 y – 2


Exemplos24

Exemplos

  • Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2.

E = log m – log 3 + log 100 – log n

E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)

E = (log 100m) – (log 3n)

100m

E = log

3n


Logaritmo da pot ncia

Logaritmo da potência

  • Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477.

log 3 = 0,477

⇒ 100,477 = 3

log 34 = x

⇒10x = 34

⇒ 10x = (100,477)4

⇒ x = 4 . 0,477

⇒ x = 1,908

log 34 = 4 . log 3


Logaritmo da pot ncia1

Logaritmo da potência

  • Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base.

Loga xk = k . loga x


Exemplos25

Exemplos

  • A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.

9

log 0,009 = log

= log 9 – log 100

100

= log 32 – 2

= 2 . log 3 – 2

= 2 . 0,477 – 2

= 0,954 – 2

= – 1,046


Exemplos26

Exemplos

13√3

  • Calcular log , a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.

4

13√3

log

= log 13 + log √3 – log 4

4

= log 13 + log 31/2 – log 22

1

= log 13 + . log 3 – 2 . log 2

2

= 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301

= 1,144 + 0,2385 – 0,601

= 0,7505


Exemplos27

Exemplos

  • Compor e simplificar a expressão

    E = 2.log3 12 – log3 8 – 2

1

3

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2).

1

E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9

3

E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9

= log3 144 – log3 (2.9)

E = log3 144 – log3 2 + log3 9

144

E = log3 144 – log3 18

⇒ E = log3

= log3 8

18


Utilizando as propriedades dos logaritmos complete a tabela de logaritmos decimais

Utilizando as propriedades dos logaritmos complete a tabela de logaritmos decimais.

n

log n

n

log n

n

log n

n

log n

1

0

11

D

21

B + C

31

J

2

A

12

2A + B

22

A + D

32

5A

3

B

13

E

23

H

33

B + D

4

2A

14

A + C

24

3A + B

34

A + F

5

1 – A

15

1 + B – A

25

2(1 – A)

35

1–A + C

6

A + B

16

4A

26

A + E

36

2(A+B)

7

C

17

F

27

3B

37

K

8

3A

18

A + 2B

28

2A + C

38

A + G

9

2B

19

G

29

I

39

B + E

10

1

20

1 + A

30

1 + B

40

1 + 2A


Exemplos28

Exemplos

  • (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente,

  • 2,1.

  • 2,3.

  • 2,5.

  • 2,7

  • 2,9


Exemplos29

Exemplos

  • Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b.

log 23.32

log 72

log2 72 =

=

log 2

log 2

log 23 + log 32

3.log 2 + 2.log 3

=

=

log 2

log 2

3a + 2b

=

a


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