Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE_04_PVP_224_Sed Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. kvadratické ROVNICE

4. Definice: • Kvadratická rovnice s neznámouxje každá rovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru • = koeficienty (reálná čísla; ) • x = neznámá (x R) • = kvadratický člen • = lineární člen • c = absolutní člen • = kvadratický trojčlen • jedná se o algebraickou rovnici 2. stupně

5. Typy kvadratických rovnic A. Ryze kvadratická: B. Bez absolutního členu: C. Úplná kvadratická rovnice:0; c 0

6. Tvary kvadratických rovnic Anulovaný tvar = pravá strana rovnice je rovna nule; všechny členy se převedou na levou stranu a seřadípodle vzorce pro úplnou kvadratickou rovnici (kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen). Např.:

7. Tvary kvadratických rovnic Normovaný tvar = úplná kvadratická rovnice, ve které je koeficient a kvadratického členu roven jedné. Odvození: Substituce:

8. A. Ryze kvadratická rovnice • Řeší se odmocněním, případně rozkladem:

9. Řešení ryze kvadratické rovnice • Příklad č. 1: • Případně rozkladem: • 1. • 2.

10. Řešení ryze kvadratické rovnice • Příklad č. 2: • |+170

11. B. Rovnice bez absolutního členu • Řeší se vytýkáním; jeden kořen je vždy roven 0: • Poznámka: • Součin je nulový, je-li alespoň jeden z činitelů roven 0!

12. Řešení rovnice bez absolutního členu • Příklad č. 3:

13. Řešení rovnice bez absolutního členu • Příklad č. 4:

14. C. Úplná kvadratická rovnice • Kořeny rovnice se určí užitím vzorce: • D = diskriminant kvadratické rovnice

15. Diskuse řešení kvadratické rovnice Je-li 0, má rovnice 2 reálné kořeny Je-li = 0, má rovnice 1 reálný kořen dvojnásobný Je-li D , nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Řešení ale existuje v oboru čísel komplexních.

16. Řešení úplné kvadratické rovnice • Příklad č. 5:

17. Řešení úplné kvadratické rovnice • Příklad č. 6:

18. Řešení úplné kvadratické rovnice • Příklad č. 7:

19. Vietovy vzorce Jsou-li kořeny kvadratické rovnice v normovaném tvaru, pak pro ně platí dva vztahy: Jsou-li kořeny úplné kvadratické rovnice ve tvaru , pak pro ně platí obdobné dva vztahy:

20. Kořenoví činitelé Má-li úplná kvadratická rovnice kořeny , pak platí: Jedná-li se o kvadratickou rovnici v normovaném tvaru, pak obdobně platí: Výrazy se nazývají kořenoví činitelé.Používají se při rozkladu kvadratického trojčlenu

21. Rozklad kvadratického trojčlenu • Využívá se zejména při řešení normované kvadratické rovnice: • Nejrychlejší a nejjednodušší způsob jejího řešení. • Na základě Vietových vztahů se určí kořeny . • Musí pro ně platit, že jejich součin se rovná číslu q a jejich součet je číslo opačné ke koeficientu p.

22. Příklady na rozklad

23. Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli • Postup je obdobný jako při řešení lineárních rovnic. • Při požadavku použití ekvivalentních úprav je nutné předem stanovit definiční obor rovnice. • Pokud se definiční obor nestanoví, pak je nezbytné důsledně provádět zkoušku u všech získaných kořenů. • Lomené výrazy mají smysl pouze tehdy, jsou-li výrazy ve jmenovatelích nenulové (nulou nelze dělit). • Takže např. v rovnici: stanovíme podmínky: • Zápis definičního obor rovnice: • Jiná forma zápisu:

24. Řešení kvadratické rovnice s neznámouve jmenovateliPříklad č. 8: • |.3(x-4).(x+5) x4 ∧ x-5 • :2 • 0

25. Příklady na procvičení – I. část

26. Příklady na procvičení – II. část

27. Výsledky příkladů

28. LITERATURA: • POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8. • HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Agentura Rubico, s.r.o., 2012. ISBN 80-7346-149-2. • VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8. • VOŠICKÝ, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce: [pro střední školy]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, c1999, 208 s. ISBN 80-720-0251-1

29. LITERATURA: • KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. • SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky : základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. Sbírky úloh pro společnou část maturitní zkoušky. ISBN 80-211-0400-7. • ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.

30. LITERATURA: • KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 5. upr. vyd. Svitavy: SOFICO-CZ, 2005, 168 s. • PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. • Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.