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Equilibre d’un solide. Statique analytique. III – Isolement et équilibre d’un solide. STATIQUE DU SOLIDE. S = F 1 + F 2 + ...+ F i = 0. 1 ere condition d’EQUILIBRE d'un solide :. « Théorème des FORCES ». Équilibre d’un solide.

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Equilibre d’un solide

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Presentation Transcript


Equilibre d un solide l.jpg

Equilibre d’un solide

Statique analytique


Quilibre d un solide l.jpg

III – Isolement et équilibre d’un solide

STATIQUEDUSOLIDE

S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0

1ere condition d’EQUILIBRE d'un solide :

« Théorème des FORCES »

Équilibre d’un solide

La somme vectorielle des FORCES EXTERIEURES appliquées à un solide en équilibre est NULLE


Quilibre d un solide th or me des forces l.jpg

III – Isolement et équilibre d’un solide

STATIQUEDUSOLIDE

F filY objet

P

A mainYfil

avec F = - P

F objetYfil

Prenons l’exemple d’un objet soutenu avec un fil :

Que subit l'objet ?

Équilibre d’un solide

Théorème des forces

Le fil, comme l'objet, est

enéquilibre

sous l'action de

deux forces

qui sont

"égales et opposées"

Que subit le fil ?


Quilibre d un solide4 l.jpg

III – Isolement et équilibre d’un solide

STATIQUEDUSOLIDE

F1 = - F2

Les forces s’équilibrent…

F1

F2

F1 et F2 sont opposés donc les moments s’opposent aussi mais ne s’équilibrent pas car d2 < d1

M(F2)

M(F1)

Reprenons l’exemple de la porte…

Mais qu’en est-il des moments ?

M(F1) = d1 xF1

Équilibre d’un solide

M(F2) = d2 xF2

Donc la porte s’ ouvre


Quilibre d un solide5 l.jpg

III – Isolement et équilibre d’un solide

STATIQUEDUSOLIDE

MA =MA (F1) + MA (F2) + ...+ MA (Fi) = 0

2eme condition d’EQUILIBRE d'un solide

« Théorème des MOMENTS »

Équilibre d’un solide

La somme des MOMENTS DES FORCES EXTERIEURES appliqués à un solide en équilibre est NULLE


Quilibre d un solide6 l.jpg

III – Isolement et équilibre d’un solide

STATIQUEDUSOLIDE

S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0

MA =MA (F1) + MA (F2) + ...+ MA (Fi) = 0

On s’aperçoit donc que pour être en équilibre, il faut que la somme des forces extérieures et la somme des moments extérieurs appliqués sur un solide soient nulles.

Ceci nous amène à formuler le…

PRINCIPE FONDAMENTAL

DE LA STATIQUE (PFS) :

Équilibre d’un solide

Dans un repère GALILEEN, pour tout système isolé (S) en équilibre par rapport à ce repère, la somme de toutes les actionsmécaniques extérieures exercées sur (S), est nulle.


M thodes de r solution l.jpg

IV –Résolution des problèmes de statique

STATIQUEDUSOLIDE

L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre.

Pour résoudre de tels problèmes, nous disposons de plusieurs méthodes de résolution, réparties en 2 « familles »

Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D)

Graphique (Utilisée pour les problèmes plans )

Méthodes de résolution

Solide soumis à deux forces

Théorème des forces

(cas de trois forces colinéaires)

Solide soumis à trois forces

Théorème des moments

(cas de trois forces parallèles)

Méthode des torseurs (elle n’est pas au programme)


M thodes de r solution8 l.jpg

IV –Résolution des problèmes de statique

STATIQUEDUSOLIDE

Cette séquence est à retenir

Quel que soit le problème à résoudre, vous devrez commencer par la séquence qui suit afin de bien choisir la méthode de résolution.

Isoler le système étudié

Aidez-vous du graphe des liaisons

Modéliser les actions extérieures et les nommer

N’oubliez pas les actions à distance !

Faire le bilan de ces actions

On utilise généralement un tableau sur ce modèle :

Méthodes de résolution

Dans les cases de ce tableau, on écrit tout ce qui est connu.

Lorsque l’information est manquante, on y note un point d’interrogation.

Résoudre le problème

Choisir la bonne méthode : Analytique ou graphique


Statique analytique l.jpg

IV –Résolution des problèmes de statique

STATIQUEDUSOLIDE

Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D)

S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0

z

Toutes ces forces sont alignées

Cette méthode est à retenir

Théorème des moments

Méthode des torseurs

P1 + P2 + T = 0

P2

P1

T

Le théorème des forces est généralement utilisé dans le cas, le plus simple, où toutes les forces appliquées à un solide sont alignées.

Théorème des forces

La somme vectorielle est alors suffisante.

Exemple : passager dans un ascenseur :

l’ascenseur+câble+passager

  • Choix du solide à isoler :

- Poids du passager P2=750 N

  • Bilan des actions :

Statique analytique

- Poids de l ’ascenseur P1 3000 N

- Tension du câble T = ?

  • Application du théorème des forces :

Attention, l’application numérique n’est pas directe ! Il faut projeter les vecteurs forces sur l’axe z (arbitraire).

- P1 - P2 + T = 0

  • Application numérique :

T = P1 + P2 = 3750 N


Statique analytique10 l.jpg

IV –Résolution des problèmes de statique

STATIQUEDUSOLIDE

P2 =?

P1 =?

P1 =?

P2 =?

M A =M A(P1) + M A(P2) + ...+ M A(T) = 0

Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D)

M/A(T)

M/A(P2)

Théorème des forces

A

Méthode des torseurs

P1 + P2 + T = 0

T

T

Le théorème des moments est utilisé lorsque l’on a plusieurs forces parallèles.

Théorème des moments

En effet le théorème des forces, seul, s’avère insuffisant car des moments de forces apparaissent.

Statique analytique

Il faut donc aussi exprimer les moments de ces forces par rapport à un point (judicieusement choisi, par exemple le point A).


Statique analytique11 l.jpg

IV –Résolution des problèmes de statique

STATIQUEDUSOLIDE

+

0,5m

3m

3,5m

Toutes ces forces sont parallèles

Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D)

Théorème des forces

Cette méthode est à retenir

Méthode des torseurs

M A =M A(P1) + M A(P2) + M A(A02) + M A(B02) = 0

A

G1

G2

B

B02

A02

P1

P2

Exemple : La barrière

Théorème des moments

  • On choisit le solide à isoler :

La lisse (2) avec son contrepoids (1)

  • Bilan des actions :

- Poids du contrepoids P1=1000 N

- Poids de la lisse P2 = 200 N

- Action du pivot A02= ?

Statique analytique

- Action de la butée B02= ?

  • Application du théorème des moments :

Attention, pour passer de la relation vectorielle à la relation algébrique, il faut tenir compte du signe du moment par rapport au sens choisi (arbitraire mais de préférence direct) et projeter la relation vectorielle sur un axe (ici z).

M A = M A(P1) – M A(P2) + M A(A02) + M A(B02) = 0

0,5xP1 -3xP2+ 0 + 6,5xB02 = 0

  • Application numérique :

B02 = (AG2. P2 - AG1.P1) / AB

= (3*200 - 0.5*1000) / 6.5 = 15.38 N


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