LE SPIRALI

1. LE SPIRALI Una delle curve che frequentemente capita sotto i nostri occhi nella vita quotidiana è senza dubbio la spirale ... CLASSE III TB ANNO SCOLASTICO 02/03

2. …ruotando si mantiene sempre simile a se stessa ... … ma allo stesso tempo va allargandosi e distendendosi all’infinito ... CLASSE III TB ANNO SCOLASTICO 02 - 03

3. Le metafore del linguaggio comespirale del vizio o della follia ci mostrano come in questa curva il movimento si possa trasformare da un’espansione ad una contrazione continua che ipnoticamente fa precipitare nel centro CLASSE TERZA TB ANNO SCOLASTICO 02 -03

4. A dispetto di ciò è semplicissimo generare spirali e, forse, questo fattore è stato determinante nello spingere i matematici a studiarne le proprietà fin dall’antichità CLASSE TERZA TB ANNO SCOLASTICO 02 03

5. LA SPIRALE ARCHIMEDEADEFINIZIONE FISICA Archimede definì la spirale come la traiettoria di un punto che si sposta uniformemente in una semiretta che è in moto rotatorio intorno alla sua origine fissa. Geri - Rossi

6. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA SPIRALE ARCHIMEDEA Geri - Rossi

7. La spirale di Archimedepuò essere rappresentata da una fune che un marinaio avvolge sul ponte di una nave: poiché la corda ha spessore uniforme, ogni giro della spirale avrà la stessa altezza di quello che lo precede e di quello che lo segue. • In termini matematici, se una semiretta (o vettore radiale) muove uniformemente intorno alla sua estremità fissa, un punto sulla semiretta che allo stesso modo si muove di moto uniforme lungo di essa, descriverà una spirale uniforme. Geri - Rossi

8. DEFINIZIONE MATEMATICA • La spirale Archimedea è la curva che descritta da un punto la cui distanza dal centro (POLO) rimane proporzionale all’angolo coperto durante lo spostamento • Ha la seguente equazione polare: ρ = a φ dove a è una costante qualsiasi e φ è l’angolo espresso in radianti. Geri - Rossi

9. COORDINATE POLARI Per rappresentare i punti su un piano e per disegnare i grafici delle funzioni, oltre alle coordinate cartesiane, possono servire anche altre tipologie di coordinate, in particolare le coordinate polari. Preso un punto O detto polo, ed una semiretta orientata Ox dettaasse polare, fissato inoltre un verso positivodelle rotazioni intorno al polo, e fissata un’unità di misura lineareu, allora un punto P del piano è individuato da due numeri: (ρ, φ) Il primo è detto modulo, si indica con ρ e rappresenta la distanza del segmento PO Il secondo è detto anomaliadi P, si indica con φ e misura (in radianti o gradi) l’angolo orientato xỒP a meno di multipli di 2π. Geri Rossi

10. SCHEMA GRAFICO DELLE COORDINATE POLARI Geri - Rossi

11. ARCHIMEDE Matematico e fisico siracusano (287 a. C.-212 a. C.). Figlio di un astronomo, compì i suoi studi ad Alessandria. Svolse la sua attività di matematico sotto la protezione di Gerone (tiranno di Siracusa) per il quale costruì le numerose macchine per impiego bellico, ideate per resistere all'assedio dei Romani. Nonostante una difesa protrattasi per oltre tre anni, Siracusa dovette soccombere e si racconta che, proprio durante il saccheggio, un soldato romano uccise il grande scienziato mentre era intento nei suoi calcoli. Gli studi di A. abbracciano vasti campi della scienza, tuttavia la sua fama resta essenzialmente legata alle scoperte di geometria. Gli studi dedicati alla geometria piana sono esposti soprattutto nelle opere Sulla misura del cerchio e delle spirali. Geri Rossi

12. LA SPIRALE LOGARITMICA • La spirale Archimedea è la curva descritta da un punto che, invece di viaggiare a velocità uniforme, si muove lungo il vettore radiale aumentando la sua velocità man mano che si allontana dal punto fisso, allora esso verrà tracciare una curva a spirale equiangolare (o logaritmica) • studiata nel 1638 da Cartesio: "ogni figura piana che proceda da un punto fisso o polo tale che l’area vettoriale di qualsiasi settore sia sempre una porzione aggiunta della figura precedente è detta spirale logaritmica”. Abrami Pilatone

13. LA SPIRALE LOGARITMICA Definizione matematica: Possiamo esprimere questa curva con un equazione matematica rappresentata dalla seguente formula… r = A v Abrami -Pilatone

14. LA SPIRALE LOGARITMICA Il grafico della curva… Abrami-Pilatone

15. LA SPIRALE LOGARITMICA Definizione fisica Questo tipo di spirale non parte dal centro come le altre, ma si trova inizialmente (cioè per v=0), a distanza 1 da questo. Abrami-Pilatone

16. Cosa succede quando vcresce? Via via che v cresce, la spirale logaritmica si allontana dal centro. Abrami-Pilatone

17. e… se v diventasse negativo… Quando v diventa negativo, aumentando il valore assoluto, il punto descrive infinite rivoluzioni avvicinandosi sempre più al centro, senza mai giungervi CONSEGUENZA... …LA SPIRALE LOGARITMICA E’INFINITA NEI DUE VERSI… Abrami-Pilatone

18. BERNOULLI • Il matematico Johann Bernoulli fu affascinato dalla “spiralis mirabilis" • ne scoprì molte proprietà fra le quali quella che la spirale logaritmica si trasforma in una curva uguale per qualunque inversione avente il suo centro nel polo, • la sua podaria, l'evoluta, l'evolvente, le caustiche (sono tutte curve generate dalla spirale) sono sempre spirali fra loro identiche. Abrami-Pilatone

19. Evoluta di una spirale Abrami Pilatone

20. LA STORIA… • Questa facoltà di "riprodursi" la fece vedere un simbolo della resurrezione a Bernoulli che, per questo, volle che fosse scolpita sulla sua pietra tombale a Basilea con la scritta “Eadem mutata resurgo semperdem" (restando la stessa risorgo immutata). Purtroppo, lo scultore incaricato non era un buon matematico e così la spirale logaritmica fu sostituita con una archimedea. • In natura possiamo trovare moltissime spirali logaritmiche, in particolare ogni volta che si ha un accrescimento; ne sono esempi tipici la conchiglia del Nautilus, le pigne nonché i semi nel centro di un girasole. Abrami-Pilatone

21. Equazione della spirale logaritmica :L' equazione della curva è R = r kq Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

22. SEZIONE AUREA : definizioneA M B| 1-x | x |Il segmento AB viene diviso dal punto M in modo tale che il rapporto tra le due parti, la più piccola con la più grande (AM e MB), è uguale al rapporto della parte più grande (MB) con tutto AB.Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento MB, allora la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione:(1 - x) : x = x : 1e cioè 1-x = x2Il reciproco di x (1/x) viene indicato con Ø e corrisponde a circa 1,618. Molto spesso questo rapporto viene indicato come rapporto aureo e viene utilizzato nella costruzione del rettangolo aureo.La costruzione della sezione aure suggerisce la possibilità di realizzare un processo di crescita in cui si conservano costantemente i rapporti, cioè la crescita dà luogo ad organismi che rimangono sempre simili a se stessi. Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

23. Costruzione del rettangolo aureo :Il rettangolo Ø (fi), fu descritto da Johannes Keplero comeuno dei "due grandi tesori della geometria" (l'altro era il teorema di Pitagora).Il rettangolo aureo, di dimensioni Ø e 1, si può costruire facilmente con riga e compasso secondo la tecnica indicata nell'immagine di lato.A partire dal rettangolo aureo si può costruire la spirale aurea. Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

24. La spirale aurea :La spirale aurea è quella spirale basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo.Per iniziare la costruzione bisogna disegnare un arco dal un angolo del rettangolo fino ad intersecare il lato adiacente. Quindi conduci un segmento perpendicolare al lato che è stato intersecato, dal punto d'intersezione al lato opposto.Bisogna in seguito , ripetere il procedimento per formare un altro quadrato...Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può costruire la spirale logaritmica nota come Spirale Aurea Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

25. I conigli di Fibonacci strettamente connessi alle spirali auree sono i cosiddetti numeri di Fibonacci.Il problema da cui partì Fibonacci (anno 1202) era “come una famiglia di conigli si poteva sviluppare in circostanze ideali”Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina). I conigli sono in grado di riprodursi all'età di un mese, per cui alla fine del suo secondo mese una femmina può produrre un'altra coppia di conigli. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano maie che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio ed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il problema posto da Fibonacci fu: quante coppie ci saranno dopo un anno? Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

26. Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 sola coppia. • Alla fine del secondo mese la femmina produce una nuova coppia, per cui ora ci sono 2 coppie di conigli. • Alla fine del terzo mese la femmina iniziale produce una seconda coppia, dando luogo a 3 coppie in tutto. • Alla fine del quarto mese la femmina originale ha prodotto una nuova coppia e la femmina nata due mesi dopo produce la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie. • Il numero delle coppie di conigli all'inizio di ciascun mese sarà 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...E' evidente che ciascun termine della serie si può ottenere sommando i due termini immediatamente precedenti, per cui il termine successivo nella serie indicata sopra sarà dato da 21 + 34 = 55. Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

27. Diagramma dei CONIGLI DI FIBONACCI : Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

28. Un programma in linguaggio Pascal per la rappresentazione di spirali:1) parte variabile e definizione delle variabili; 2) input dell' unità di misura; 3) inizializzazione grafica; 4) rappresentazione degli assi con unità di misura assegnate; 5) rappresentazione della funzione; 6) funzione (modificando l'argomento del logaritmo si generano diverse spirali); 7) trasformazione coordinate da polari in cartesiane; 8) traslazione nel centro dello schermo; 9) programma principale program spirale;uses crt,graph;var pilgr,modegr,dx,dy,ux,uy,k,xn,yn:integer;a,x,y,i,r,z:real; procedure assi; beginclrscr; writeln('fissa unità di misura(divisore di 640) asse x -->1=n. pixels? ');readln(ux);writeln('fissa unità di misura(divisore di 480) asse y -->1=n. pixels? ');readln(uy); pilgr:=detect;initgraph(pilgr,modegr,'');setcolor(4); dy:=round(480 div uy);line(0,round(dy*uy div 2),639,round(dy*uy div 2));dx:=round(640 div ux);line(round(dx*ux div 2),0,round(dx*ux div 2),479);outtextxy(630,round(dy*uy div 2),'x'); outtextxy(round(dx*ux div 2)-10,0,'y');for k:=0 to dx doline(k*ux,round(dy*uy/2)-2,k*ux,round(dy*uy/2)+2); for k:=0 to dy doline(round(dx*ux/2)-2,k*uy,round(dx*ux/2)+2,k*uy);end; procedure funzione;begin;z:=-20;repeatz:=z+0.01; r:=exp(z*ln(1.1)) y:=r*sin(z);x:=r*cos(z); xn:= round(x*ux+320);yn:=240-round(y*uy);putpixel(xn,yn,2);until z>30;end; beginassi;setbkcolor(15);funzione;readln;closegraph;end. 4 1 5 6 2 3 9 Nicolò Ferrari, Roberto Marconi

29. Questa spirale è prodotta con la seguente formula parametrica tridimensionale: • x = 2*(1 - E^(u/(6*Pi))) *Cos[u]*Cos[v/2]^2, • y = 2*(-1 + E^(u/(6*Pi)))*Cos[v/2]^2*Sin[u], • z = 1 - E^(u/(3*Pi)) - Sin[v] + E^(u/(6*Pi))*Sin[v]} (x,y,z) coordinate (u,v) parametri Nicolò Ferrari Roberto Marconi

30. SPIRALI E NATURA Osservando la natura si scoprono espressioni di eleganza ed armonia: ciò che è aggraziato e regolare è utile e perfetto. Il tratto comune che riunisce forme geometriche naturali è che obbediscono a precise leggi matematiche. Come la spirale. Ambrosioni . Bonetti

31. LA FILLOTASSI Con il termine fillotassi si intende il numero e la disposizione delle foglie sui rami di un determinato vegetale. Questa disposizione segue una determinata sequenza numerica detta serie di Fibonacci. Bonetti - Ambrosioni

32. La fillotassi 2 Le foglie si dispongono a spirale sui rami degli alberi. Esempio:Partendo dalla foglia n° 1 in senso orario arrivando alla foglia n° 6 compiamo in tutto 3 giri, la distanza tra ognuno dei 3 giri corrisponde a un numero della sequenza di Fibonacci Bonetti - Ambrosioni

33. LA MARGHERITA • Nella maggior parte dei casi il numero dei petali delle margherite è un numero di Fibonacci. Le margherite comuni (quelle dei nostri giardini) hanno 21 petali (numero di Fibonacci), ma possiamo anche dire che a specie diverse appartengono un numero solitamente diverso di petali. Bonetti Ambrosioni

34. LA PIGNA • Anche le brattee delle pigne seguono la serie di Fibonacci per la loro disposizione. Le brattee di alcune pigne, come quelle dell’abete, formano un ugual numero di spirali in senso orario e in senso antiorario. Bonetti Ambrosioni

35. LA PIGNA MARITTIMA • Alcuni tipi di pigne come quelle del pino marittimo hanno un certo numero di spirali i senso orario (nel pino marittimo sono 13) e un altro numero di spirali in senso antiorario (8). • Il numero delle spirali nei due sensi, varia da specie a specie. Bonetti Ambrosioni

36. ANANAS • Sulla buccia di un ananas le placche lignee si organizzano in spirali che si dispongono sia in senso orario che in senso antiorario. Il numero delle spirali che formano le placche lignee è sempre un numero di Fibonacci. Bonetti Ambrosioni

37. IL CAVOLFIORE • Anche in questo ortaggio, i fiori (quelli che noi generalmente mangiamo) e le foglie si dispongono intorno all’asse centrale della pianta secondo la sequenza numerica di Fibonacci. Bonetti Ambrosioni

38. IL GIRASOLE • Il numero delle spirali su cui si dispongono i semi dei girasoli, segue solitamente questo schema: • 89 spirali in senso orario; • 55 spirali in senso antiorario; • altre 34 spirali in senso orario. • Questi numeri fanno parte della serie di Fibonacci. Bonetti Ambrosioni

39. Le spirali nella zoologia La spirale è l’espressione matematica della bellezza della natura Granata - Gallani

40. Questo simbolo grafico nel mondo animale è rappresentato dalla forma delle corna, dalle ragnatele, dalle lumache e dalle conchiglie…. Le corna del muflone sono quelle che meglio seguono una struttura ad elica conica. Granata Gallani

41. I ragni utilizzano le spirali Anche i ragni usano le spirali: I ragni usano la spirale archimedea perché risponde all’esigenza di ricoprire il più fittamente e regolarmente possibile lo spazio presente tra i raggi della sua ragnatela. Granata Gallani

42. Conchiglie : il più bell’esempio di spirale in natura • La conchiglia è un nicchio o un guscio calcareo,per lo più esterno che protegge e adorna l’animale. • I vari aspetti che assumono le conchiglie sono dovuti a tre figure di base: circolare,spirale e piramidale che combinandosi variamente ne determinano la forma finale. • Esse rispondono a ben precise leggi matematiche: • spirale logaritmica rispetto ad un piano per i bivalvi, • spirale logaritmica rispetto ad un asse per i gasteropodi. Granata

43. Le conchiglie nell’arte Le numerose forme e varietà di conchiglie hanno ispirato molti artisti che hanno trasfuso nelle loro opere l’armonia e la perfezione della struttura delle conchiglie. Leonardo Da Vinci ispirandosi alla struttura dei gasteropodi tracciò il disegno di una scala ad andamento elicoidale. Ricordiamo però molte altre opere tra cui la nascita di Venere del Botticelli e la fontana di Trevi del Salvi. Granata Gallani

44. La chiocciola usa la spirale logaritmica La lumaca esce dall’uovo già con la chiocciola a forma di spirale: normalmente (guardandola dall’alto) gira in senso orario, ma una su 20.000 circa nasce con una chiocciola antioraria! Gallani

45. La chiocciola usa la spirale logaritmica La spirale logaritmica della lumaca risponde ad esigenze di crescita all’interno di essa. Infatti la chiocciola fa parte della lumaca che, crescendo,ha bisogno di maggior spazio che la spirale archimedea non consentirebbe. Gallani

46. SPIRALI e …DNA umano • Le spirali sono alla base del mondo vivente. • Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. • Alessandro Bassani, Giuseppe Cibelli, Marco Ravarelli

47. DNA umano Nei filamenti del DNA, è inscritto il patrimonio genetico di ogni individuo. E' conservato nei cromosomi, particolari formazioni contenute nel nucleo di ogni cellula e costituisce la molecola in cui sono contenute tutte le informazioni necessarie per la crescita, la specializzazione e la vita di ogni cellula. Il DNA è costituito da una successione ordinata di nucleotidi formati dall’unione di una base azotata Adenina , Guanina, Citosina e Timina; di uno zucchero a 5 atomi di carbonio (desossiribosio) e di un gruppo fosfato. In natura il DNA si presenta sotto forma di dimero (DNA a doppia catena), conseguenza dell’associazione di due singoli filamenti. L’unione delle 2 catene avviene attraverso la formazione di ponti ad idrogeno, facilmente scindibili, che uniscono le basi azotate, al centro della struttura. Cibelli Bassani Ravarelli

48. DNA a doppia elica Dall'opposizione di 2 sequenze di nucleotidi dalla formazione di legami ad idrogeno tra basi complementari, deriva la molecola di DNA a doppia elica in cui ogni coppia dista da quelle vicine 0.34 nm. • Il giro completo dell’elica equivale a 3.4 nm, con 10 coppie di basi in ogni giro completo. disposte in maniera tale che all'osservatore apparirebbero avvolgersi in senso orario. • Nel DNA il numero dei giri della spirale aumentano per i legami che si formano tra i diversi gruppi del polimero. • L’avvolgimento del DNA su se stesso è favorito da particolari proteine basiche, dette istoni (dal greco istos, telaio per tessere), fulcro dell'arrotolamento. Cibelli Bassani Ravarelli

49. Spirali e …l’organo uditivo • L'orecchio è sede di due importanti funzioni sensoriali: l'organo dell'udito e dell'equilibrio; • E’ diviso in tre parti: orecchio esterno, orecchio medio e orecchio interno • nell'orecchio esterno riconosciamo il padiglione auricolare e il condotto uditivo esterno, • nell'orecchio medio la cassa del timpano comprensiva della catena degli ossicini dell'udito (martello, incudine e staffa), la tuba di Eustachio e la mastoide • nell'orecchio interno il labirinto anteriore o coclea (organo dell'udito), il labirinto posteriore o vestibolo (organo dell'equilibrio) ed il condotto uditivo interno. Cibelli Bassani Ravarelli

50. Le onde sonore vengono raccolte dal padiglione auricolare, percorrono il condotto uditivo esterno e mettono in vibrazione la membrana del timpano. • Nella membrana timpanica è inglobato il manico del martello che a sua volta prende contatto con l'incudine che si articola con la staffa. • In tal modo le onde sonore vengono trasmesse allacoclea(organo dell'udito) ove vengono trasformate in segnali nervosi che, dopo opportuna elaborazione, raggiungono la corteccia cerebrale ove avviene la percezione, cioè il riconoscimento, del suono. Cibelli Bassani Ravarelli