ELG3575

1. ELG3575 10. La modulation FM à large bande

2. La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM) • La modulation FM à bande étroite exige que bF << 1. • Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont considérés d’être la modulation à large bande. • Cependant, typiquement bF > 1 • Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que Dfmax est plus grande. • Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.

3. Signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt et son enveloppe complexe. • Prenons l’exemple où m(t) = Amcos2pfmt. • Le signal FM est :

4. La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. • L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale fm. où

5. La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. • En remplaçant 2pfmt par x, devient • La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn(b) est donnée par : • Alors

6. La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. • Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par • Et le signal FM est:

7. Le spectre du signal WBFM quand m(t) = Amcos2pfmt. • Le spectre de ce signal est : • Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm. • Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie. • Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM. • Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.

8. La fonction Jn(b)

9. Les propriétés de Jn(b) 1) Si n est un entier : Jn(b) = J-n(b) pour n paire et Jn(b) =-J-n(b) pour n impaire Quand b << 1 J0(b) ≈ 1 J1(b) ≈ b/2 et Jn(b) ≈ 0, n > 1 4) Im{Jn(b)}=0 2) 3)

10. Puissance du signal FM • La puissance d’un signal FM est : • Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on trouve:

11. Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur de bande. Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0.99× la puissance de sFM(t). où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations : et

12. La puissance de x(t) est : • Alors, on doit choisir X pour que : • On sait que Jn2(bF) = J-n2(bF).Alors

13. Valeurs de la fonction Jn(b).

14. Exemple • Le signal m(t) = Amcos(2pfmt) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour (a) Am = 5V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V (b) Am = 10V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V. • SOLUTION (a) Dans cette exemple, bF = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X pour que S = . Du tableau, si X = 1, S = (0.7652+2×0.442)=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.1152 = 0.9912. Alors X = 2 et B = 4fm. (b) Ici, bF = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0.994. Alors B = 12fm.

15. La règle de Carson • Pour m(t) = Amcos(2pfmt), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque b où b est un entier, on trouve que X = b+1. • Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2(bF+1)fm. • Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver. • Mais le pire cas, c’est quand c’est quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une onde sinusoïdale). • Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit : (*****)