ELG3575

1. ELG3575 2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier

2. Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe • Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. • Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :

3. La série de Fourier trigonométrique • Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient Xn est donnée par :

4. La série de Fourier trigonométrique 2 • Donc la partie imaginaire du coefficient Xn quand x(t) est réel est : • Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :

5. La série de Fourier trigonométrique 3 • Si x(t) est réel, X-n = Xn*,

6. Exemple donc X0 = 0, Re{Xn} = 0 et Im{Xn} = -2A/pn pour les valeurs impaires de n. Donc bn = 4A/pn pour les valeur impaires de n.

7. Exemple suite La sommation représente les N premières harmoniques de x(t).

9. Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique

10. Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire • Supposons que x(t) est une fonction paire. • C'est-à-dire que x(t) = x(-t). • Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de l’expression

11. La série de Fourier trigonométrique d’une fonction paire

12. Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire • Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a0 et an sont 0.

13. Composantes paire et impaire • Si x(t) est réel et périodique,

14. Composantes paire et impaire

15. Exemple Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série de Fourier trigonométrique.

16. Solution • La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale fo = ¼. • La série de Fourier trigonométrique est donc :

17. Solution

18. Solution

20. Introduction à la transformée de Fourier • Prenons un signal périodique • Alors • Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T → ∞ et f0 → 0. Donc 1/T devient df, nfo devient f et la sommation devient une intégrale.

21. La transformée de Fourier • La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t). • X(f) décrit le contenu spectral de x(t). • X(f) = F{x(t)} • x(t) = F-1{X(f)} =

22. Exemple • Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = P(t). • Solution • La transformée de x(t) est :

23. Exemple 2 • Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = L(t). • Solution

24. Exemple 3 • Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = d(t). • Solution

25. Les propriétés de la transformée de Fourier • Linéarité • La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est-à-dire que si X1(f) =F{x1(t)} et X2(f) = F{x2(t)}, pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), X3(f) = F{x3(t)}=aX1(f) + bX2(f). • Décalage temporel • Supposons que la transformée de Fourier de x1(t) est X1(f). La transformée de Fourier de x2(t) = x1(t-to) est  • Rééchelonnement temporel • Si F{x(t)} = X(f), F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a). • Dualité temps-fréquence • Si F{x(t)} = X(f), F{X(t)} = x(-f).

26. Les propriétés de la transformée de Fourier 2 • Décalage fréquentiel • Si X(f) = F-1{x(t)}, X(f-fo) = F-1{x(t) } • Convolution en temps • Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f). • Multiplication en temps • Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f). • Dérivation temporelle • F{ } = 2pfX(f) • Intégration temporelle • F

27. Les propriétés de la transformée de Fourier 3 • Transformée du conjugué complexe • F{x*(t)} = X*(-f)

28. Des exemples • Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2d(t-3) + 3P(2t). • Solution • F{d(t-3)} = 1×e-j6pf (propriété 2) • F{P(2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3) • F{2d(t-3) + 3P(2t)} = 2e-j6pf + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1) • On sait que L(t) = P(t)*P(t). Trouvez F{L(t)} • Solution • F{L(t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc2(f) (propriété 6)

29. Des exemples • Trouvez F{cos(2pfot)} et F{sin(2pfot)} • Solution • cos(2pfot) = • F{1}=d(f) (propriété 4) • F{1× } = d(f-fo) et F{1× } = d(f+fo) (propriété 5) • Alors F{cos(2pfot)} = (1/2)d(f-fo) +(1/2)d(f+fo) (propriété 1) • Aussi on peut démontrer que F{sin(2pfot)} = (1/2j)d(f-fo) - (1/2j)d(f+fo)