Distribución de poisson

1. Distribución de poisson Paula Isabel García Morán Adriana Reyes Orozco

2. Concepto • Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

3. Distribución de Poisson • Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matièrescriminelles et matièrecivile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

4. Propiedades • La función de masa de la distribución de Poisson en donde: • k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. • e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

5. Propiedades • Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

6. Propiedades • La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1. • La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

7. Propiedades • Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. • La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

8. Ejemplo: • Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8.

9. Ejemplo: • Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? • a)      • x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, etc. •  = 6 cheques sin fondo por día •  = 2.718 • b) • x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, etc. •  = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos.

10. Ejemplo: • En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. • a)  • x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. •  = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

11. Ejemplos: • b) • x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3 etc. •  = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata • c) • x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. •  = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

12. Soluciones • 1.- • 2.- a) • b) • 3.- a) • b) 1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 • c) 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106